让概念课长上探究的翅膀

1、让概念课长上探究的翅膀 条件概率探究课型实录及思考概念教学是数学教学的重要内容，也是其他内容的基础，但笔者在实际的教学中发现，老师们在教学过程中，常常给概念课“瘦身”，不太“情愿”关注概念的形成过程、挖掘概念的内涵本质，往往就事论事，将概念简单“塞”与学生，使得学生无法真正领悟概念，走进概念，体验概念带给我们的学习乐趣。笔者在一次教学比赛中，上了一堂概念课条件概率（人教社高中数学选修2-3中2.2.1），在设计时，笔者尝试师生以探究者的姿态，走近概念，努力追求：使概念“来的自然”，“辨的清晰”，“用的方便”，“提的高远”。一、激发冲突，展现概念，体会“来的自然”。问题1 三张奖券中只有一张能中

2、奖，现分别由三名同学无放回地抽取，（1）问最后一名同学抽到中奖奖券的概率；（2）如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率。（2）小题发现有两种解法：同学1（解法1）：设“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件，设“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件，则所求概率为； 同学2（解法2）：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，即他抽了一张非中奖奖券，剩下两张奖券中只含一张中奖奖券，所以后面每位同学抽到中奖奖券的概率均为老师：两个同学给出了两个不同的解法，得到的答案也不相同，看上去也各有道理！现在请大家发表一下看法！同学3：我觉得如果按照解法1，似乎（1）（2）两小题就

3、没有差别，因为（1）小题中的第一名同学也肯定没有抽到中奖奖券，但我感觉两小题应该是不同的，不过我说不出原因？同学4：我认为解法2是正确的，如果我是最后一名同学，当得知第一名同学没有抽中奖券，我肯定高兴！因为，那样就只有我和第二名同学“独享”奖券了，而且很明显是老师：两位同学的回答好像都倾向于解法2，但解法1又错在哪里？同学5：因为（2）小题有一个前提，在这个前提下，后两名同学抽奖时，应该已经知道第一名同学没有抽中奖券了，解法1没有正确理解这个条件。老师：很好！同学3认为解法1出错关键在忽视了条件，为了更具说服力，我们是否可以把基本事件列举一下？设三张奖券为，其中为中奖奖券同学6：四个基本事件老

4、师：对！如果我们将（2）小题的事件记为，不难看出，中包含的基本事件为：，所以（解法3），确定解法2正确；但还有一个疑问，既然事件的概率不等同于“交事件”的概率，那么事件的概率到底是什么概率？几分钟过去，同学们还在沉思中老师：看样子这个概率是一个陌生的概率，之前我们没有接触过，那好！就有我们给它定义！大家看取一个什么名字好？同学7：前提概率或者称条件概率老师：前提概率是否“土”点，教科书上，我们将它称为条件概率：若用表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，用表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则（2）中的概率称为条件概率，记为设计思考：一个新概念的诞生有各种不同的途径，有些可以归纳，有些可以类

5、比，有些却要比较。概念教学从何处切入是要精心设计的！二、对比概念，深入挖掘，使概念“辨的清晰”老师：刚刚我们引入了新的概念：条件概率，为了更好地认识这位新朋友，下面请大家来描述一下这个概念同学6：条件概率是概率的一种同学7：条件概率一般在题设中有一个前提（条件）同学8：条件概率在条件的限制下，包含的基本事件个数减少了。老师：说的很详尽，通过上面分析，我们易知：（1） （2）条件概率的表象：加了条件（前提）（3）条件概率的特征：包含的基本事件的个数减少了。老师：认识了条件概率，现在研究一下如何计算条件概率？同学9：由问题1解法3的式子可知（公式一）老师：从式子中不难发现条件概率与“交事件”概率仍

6、有联系，我们来看一下它们的联系。同学10：因为，所以，即同学11：因为，所以（公式二）老师：很好！我们得到了条件概率的两个计算公式，通过公式二，我们发现，条件概率与“交事件：”概率既有区别，又有联系，这个很有意思。设计思考：概念的内涵与外延，通过辨析变得清晰，也有利于新概念的内化，概念教学中设计辨析环节是必不可少的。三、活用新知，释疑旧知，体会“用的方便”问题2 在5道题中有3道理科题和2道文科题，求第1次和第2次都抽到理科题的概率？有人用了下面解法：设“第1次和第2次都抽到理科题的概率”为事件，则，请你叙述此种解法的理由？同学12：如果设“第1次抽到理科题”为事件，“第2次抽到理科题”为事件

7、，则，有前面的公式二：，可知，问题（3）的解法应该用了这个公式，但我没有验证具体的数据。同学13：可以验证，,设计思考：问题2中的解答是同学解概率题的一个普遍解法，在古典概型时，我们没法给它一个合理的解释，通过引入条件概率，让道理清晰明了！在举证新概念的意义时，这个例子恰当好处。四、朴素问题，深邃沉厚，体会“提的高远”问题3（论述题）：在5道题中有3道理科题和2道文科题，若不放回地依次抽取3道题，已知在第1次和第2次都抽到理科题的条件下，求第3次抽到理科题的概率；有同学给出了两种解法：解法1 设“第1次抽到理科题且第2次也抽到理科题”为事件，“第3次抽到理科题”为事件，则所求为解法2 设所求事

8、件为，在第1次和第2次都抽到理科题的条件下，第3次抽题时只有3个题可选，两题文科，一题理科，则抽到理科题的概率请你比较两种解法，并论述由此给你的启示？同学14：两种解法应该都对，第一种解法用了条件概率，第二种解法没有用条件概率，直接列举了。同学15：难道此题可以看成条件概率也可看成非条件概率？有点犯糊涂了。老师：分析概率最好的办法是列举事件。同学16：设三个理科题分别为，文科题设为，则解法1中含基本事件有，共12个，含的基本事件有，共6种；但解法2不好列举。 同学17：假定第1，2两位同学分别抽了理科题后，剩下的理科题记为，则总体含的基本事件为3个：，含的基本事件为老师：可以发现解法2中基本事

9、件对应了解法1中的6个基本事件（三位同学都抽到理科题），也同样分别对应了解法1中的6个基本事件，可以看出两种解法列举的基本事件只是层面不同，解法1更细，解法2直接考虑第3次抽取情况，但由于对应的倍数相同，所以两种解法都有效。由此说明条件概率与非条件概率是相对的，基本事件在不同层次定义，两个概率是可以转化的。设计思考：这两种解法都是学生中经常出现的解法，这个问题情景的设计，既在大家的视野内，又在大家的意料外，探究味十足，挑战性很强，论述题的形式使问题更为“开放”，所有这些吊足他们的胃口，很好地激发了学生的思维，当认识到条件概率与非条件概率是相对的，基本事件的不同层面思考，就可以使同一问题呈现“条件概率态”与“非条件概率态”时，认识变得更为深刻，更为开阔，当从更大的范畴中思考问题时，学习变得更具思想性。笔者在最近一届学生的数学教学中，坚持尝试以探究的形式组织概念教学