2022年2022年随机微分方程

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载随机微分方程在水库防洪中的应用本学期有幸跟着袁老师学习随机微分方程这门课程,收成甚丰,感受颇多； 在此之前, 我从未接触过任何关于随机的概念,在听完袁老师的课程, 特殊为袁老师在中间穿插的讲诉随机微分方程在某些领域的实际应用案例,让我感觉在水利工程中的确有许多问题都应当通过随机这个概念来解决；在阅读过相关的一些文献过后,发觉在水库的防洪中随机微分方程可以利用的价值特殊高；水库的防洪为水利工程流域治理的重要内容,其中各环节都存在诸多的不确定性；包括水雨情信息采集中由于设备故障.通讯不畅. 误码和量程不足等缘由导致的信息无法猎取或无法准时传达. 信息错误,实时洪水

2、预报中水文气象条件.模型结构.模型参数等导致的预报误差, 调洪演算中的水库泄流和库容曲线等水力不确定性等； 由于各环节的多种不确定性因素,随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析,近年来,这方面的许多讨论工作都认为洪水过程为一随机点过程, 随机微分方程被引入和运用、 为解决这一难题供应了有效的数学工具,以概率论 和微分方程为基础的随机微分方程模型、 可以对调洪过程中的随机现象和规律进 行数学描述和分析 、 可以正确地综合各种随机输人过程和随机初始条件对泄洪风险率的影响 、为经济合理地挑选大坝泄洪建筑物规模和调度运行方式、供应科学的依据；传统的确定性调洪演算方法, 依据的为简洁的水库蓄量平稳关系,

3、建立有如下的微分方程：（ 1）如令 d/dhg h 、 并加入初始条件 、 就有：（2）式中, ht为库水位, h0为初始库水位, qt 为调洪过程任一时刻的来洪流量, qh、c为相应时刻的泄洪流量,在泄洪建筑物规模确定的情形下,可表述为h和流量系数等水力参数 c的函数, wh 为水库的库容量；上述的各函数均精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为确定性的变量；因此,我们无法通过式2 来考虑调洪的随机过程中各种不确定性因素的影响 、运算求解的也只能为库水位的确定性函数ht；为了从传统的确定性观点转到随机的观点来分析水库的调洪过程、必需建立包含有随机元素的随机微分方程；为此,必需第一对调

4、洪过程的随机特性进行考察；在整个调洪过程中,水库蓄洪量wt 的随机变化最为关键 、它制约着库水位的随机消长,同时又受制于洪水输人.输出随机过程的作用,详细可从三方面进行分析：第一为人库洪水的随机过程qt ：水文资料.设计洪水过程线推求方法等 多种因素的不确定性,打算了入库洪水必定为一连续的随机过程；可以认为、 设计给出的洪水过程线即为这一随机过程的均值线,在过程的任一时刻qt 的概率密度符合正态分布；其次为出库泄量的随机过程qh、c：在泄洪建筑物规模确定的情形下,受h.c的不确定性影响 、出库泄量亦可表述为一随机过程；但在调洪过程的随机 分析中,只有 c独立影响 q的随机变化； c的离散程度相

5、对较小,因此q的独立随机变化亦相对较小；最终为水位库容的随机过程wt ：现场量测和绘图运算的误差.运行多年的泥沙淤积等,都会引起水位库容关系的不确定性；其均值线与原设计给定的w-h曲线一样 、在任一库水位 h上的wh 的概率密度亦可符合正态分布；以上三方面随机因素的综合作用,打算了在整个调洪过程中水库蓄洪量wt 也必定为一随机过程；很明显,这一过程为markov过程、 也为一个状态连续的平稳独立增量过程；直观上看,wt 为符合 wiener过程定义条件的,起始时刻位于原点,在不同的时间间隔中w的随机变化为独立的；在肯定的时间间隔中, w环绕其均值过程线作随机游走,其概率分布听从正态分布；在扣除

6、了wt的均值偏移后,就存在一无偏的wiener过程bt、其均值为 0；即：（ 3）式中的 qo和qo分别为来流和泄洪的均值过程线；对式（3）微分,并除以gh ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）从形式上看,式（ 4）仅比一般的微分方程式式（2）多了一项精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dbt /dtg h ,但增加了这一项,就表示方程中引入了随机变量,于为ht 不再精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为一般的确定性函数,而为一个随机过程了,这样就把随机微分方程引入了调洪过程的分析；再将式（4）简化：（5） 这为一个典型的 ito 方程,它带有着一个随机

7、作用项（输人项）,并可具有随机初始条件,其解过程为markov过程；如前所说,式（ 4）中的 bt 为一个wiener过程, dbt/dt为一个正态白噪声； bt 的一维概率密度函数 fb 为：（ 6）此式说明, bt 的均值 ebt=0,方差 dbt=2t ；其中 2为常数,成为随机过程的强度；它取决于wt 的离散程度,亦即取决于入库洪水.库泄量和库容量自身的变异性；通过实际调查和资料分析,给出以上三个随机过程 的标准差 qt. qt和 wt；并且考虑到这三个随机输入过程其实为互不相关的,就可输出过程的方差dbt为：（ 7）22取如干个不同的 t i ,以运算确定均值的作为式（ 6）的过程强

8、度参数,t 反应了q.q和w对bt 的综合作用；式（ 4）的初始条件 h0,可以为确定性的,也可以为随机性的,这为由起调时刻库水位的掌握条件所打算的,间接包蕴着洪水过程开头时间的影响,通常 不行防止地带有着不确定性；对于水库调洪过程中的泄洪风险极限状态,应规定明确的极限标志和限值；通常,这一极限状态可直接地以库水位ht 不超过坝顶高程 z为标志,即满精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载足极限状态方程：（ 8）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由此确定的泄洪风险率 pf 可表述为：在肯定的洪水重现期和泄洪建筑物设计规模条件下,在各种可能的水库自然.工程和运行条件下,发生洪水

9、漫越坝顶大事的机率：（ 9）为了更便利地表达 pf h z ,可采纳牢靠指标来代替pf ；和 pf 成一一对应的关系：（10）式中, -1 （）为标准正态分布函数的反函数；以洪水漫顶的概率 pf 来详细度量水库的泄洪风险率,其物理概念更为明确.清楚,能够较好地反映问题的本质；式（15）所示,影响泄洪风险率的主要随机 因子为 z和h：其中坝顶高程 z的不确定性较易分析；施工量测的误差以及水库风浪的影响,导致了 z的随机性；一般认为它听从正态分布、其均值拜 z可取为设计给定的坝顶高程,标准差z相对较小；库水位 ht 为一随机过程；如前所述,在各种随机因素的影响下,调洪过程不同时刻的ht 可有不同概

10、率分布,通过下式：即可求解不同时刻的 fh、t和相应的 h和 h；ht 的不确定性分析,考虑了过程的作用并综合了多种随机因素的影响,具有较高的可信程度；泄洪风险的极限状态方程式（8）为一线性方程,但其基本变量之一的ht 并不肯定听从正态分布；为了提高运算精度,防止误判,采纳jc运算方法；在这一运算方法中,通过迭代求解设计验算点,使其满意极限状态方程式（8）,并与可能最大失效率相对应；同时,需将非正态基本变量h进行当量正态化处 理,即依据在设计验算点处 初选h = h 当量正态变量与原非正态变量的概率精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分布函数值相等以及概率密度函数值相等的条件,按下式求出当量正态变量 h的 h和h；（11）式中, -1 （）为标准正态分布函数的反函数,（）为标准正态概率密度函数；在已知运算节点上fh、t的情形下, h 处的概率密度函数值 fh 、t和概率分布函数值 f（h 、l,可分别通过插值和数值积分的运算方法确定,而不必先行确定 h的概型；在此基础上,依据jc的运算方法,可求得调洪过程不同时刻的 t和相应的 pf t；一般可选取 min和相应的 pfmax作为方案比较的依据；以概率论和微分方