中值定理与导数的应用答案

1、选择15 BCBDB计算与证明1若 x 0，证明 exx。证明：令 F x ex 1，则当 x 0 时，0，因为 F 00，故F2设 x0，证明ln证明：10：令 fln因x0 ，则 f20：令 gx ln 1 x x当x故g由 10、20 知，选择14 CBDD 二 计算与证明习题 3.1（A）从而 F x0，即0,单增xx0 ，从而 f0 ，即 x0 时， g x2x1x2x ln 12ln0,单减。则g x 110 ，从而 g即 ln 1 xxxB）x在0,单减11 arctan arctan 1求 limn n f x1 x 2 x1x 2 x1x 2 x1n11n n 1解：令 F

2、x arctanx ，则 F x 在上连续，在 1 , 1 可导，故n 1 n由拉格朗日定理知，存在一点，使 f1n11n1arctan1 arctan n 1 n当 n时，则 01故原式 lim0 flim01 1 22设 f x 在 0,1 上可导，且 0 fx 1 ，对于任何 x0,1，都有 f1，试证：在 0,1 内，有且仅有一个数 x ，使 f证： 令 F x， 因 为 F x 在 0,1 上 连 续 ，0，F1f 1 1 0，则由零点存在定理在 0,1 内至少存在一点，使Fx，即 f x x 。下证唯一性。设在0,1 内存在两个点 x1与 x2，且 x1 x2 ，使 f x1x1，

3、f x2 x2 ，在 x1,x2 上运用拉格朗日中值定理，则有x1,x2，使f x2Fx这与题设 f x1矛盾，故只有一个 x 使 f x3设 f x 在 1,2 上具 有二 阶 导数 fx，x 1 f x ，证明至少存在一点 1,2 ，使F证明：由题设知 F x 在 1,2 上满足洛尔定理条件，x。f20。则至少存在一点 a如果1,2 ，使得 f a 0因为 F x f x x 1 f x ，则由题设知 F x 在 1,a 上连续，在 1,a 内 可导，且 F 1 f 1 0，故 F x 在 1,a 上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使 F 0 ，4设 f x 在 a,b 上连续，在 a,

4、b 内二阶可导且 f a f b 0 ，且存在点 c a,b ，使得 f c 0，试证至少存在一点 a,b ，使得 f 0 。证： f x 在 a,c 及 c,b 上都满足拉格朗日定理条件，则存在 a,c ，c,b ，使得ffcfaf ccac affbfcf cbcb c因为 f c 0，则 f0 ， f因 f x 在 a,b 内二阶可导，则 f x 在 , 上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点 , ，使 f习题 3.2 选择15 CBABD计算1求 limx0ln 1解：0型 原式 0limx02x1 lim x 0 21 x2求 limx01ln 1 x解：原式lxim0x ln 1

5、xxln 1 x0型10 limx0ln 111xxx1xlxim0 1 x lnx10型0 limx x x 0 ln1221 2sin x3求 limx cos3x60型解：原式 0 limx02 cos x3sin3x4求lxim0 1解：令 y1x ，则 ln yln 1 x 2lim ln1x00型0xlim012x2x原式1ln x5求 limxarctgx解：令2arctgx t ，则x ctgt故原式 lim t ln ctgtt0令y1t ln ctgt ，则lnlntln ctgt limt0型ln ylim01t12csc tctgtlimt0sinttcostlimt0

6、sinttlim costt0原式6求极限lim x x 。x0解：令 yxx，则 ln y xln x1lim xln xln x 型 lim limxx0x 0 1 x 012xx原式 e010xsin x7求 lim eex 0 x sinx解：原式0 x sin x0型e e cosx0 limx 0 1 cosx0型0x lim e x0sin x2 sin xe cos x e sin xsinx0 型x sin x 3sin xsin x0型e e cos x 3e sin xcosx e cosx0 lim 1 x 0 cosx习题 3.3略习题 3.4 3.6（A）一 选择1

7、8 CACBC DCD二 计算1求函数 y x3 3x2 9x 14 的单调区间。解： y 3x 2 6x 9 3 x 1 x 3当 x 1时， y 0 ，当 1 x 3 时， y 0当 x 3 时， y 0故y在 , 1及 3, 单增，在 1,3单减2求函数 y 2ex e x 的极值。解： y 2ex e x令y0 得 x当x1ln2时，2当x1ln2 时，2故x1ln2 时，y 取极小值 01ln22y 0 ，从而 y 单增y 0 ，从而 y 单减3求函数y ln x 的单调区间与极值。 x解：y 2 ln2x lnxx2令 y 0，得 x 1或 e2故可疑极值点 1， e2x0,111

8、,e22 e2 e,y-+-y极小值 0极大值 42e214当 a为何值时， y asin x 1sin3x在 x处有极值？求此极值，并说33明是极大值还是极小值。解： y acosx cos3x由于y在x 3处有极值，则 y 30 ，从而 a 2当 x时， y 0，从而 y 单增3当 x时， y 0 ，从而 y 单减3 故y在 x 处取得极大值。3 x2 y25求内接于椭圆 x2 y2 1，而面积最大的矩形的边长。 ab解：设矩形在第一象限的顶点坐标为 x,y ，则x a cos y b sin故矩形面积为 S 4 xy 4 ab sincos 2ab sin 2当4时，S取最大值 2ab，

9、矩形边长分别为 2 x 2a 和 2y2a。6函数 y ax 3 bx2 cx d a 0的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。解： y 3ax2 2bx c ，因 a 0，则 y是开口向上的抛物线要使 y没有极值，则必须使 y 在是单增或单减即必须满足 y 0 或 y 02故只有 2b 2 4 3ac 0 时，才能使0 成立即b2 3ac时， y没有极值。7试证 y xsin x的拐点在曲线4x24 x 2上。x sin x设 a,b 是 y xsin x 的拐点，则2cosa a sin a 0 b asin a证： y sin x x cos x ， y 2cos x即 a 2ctga

10、b 2 cosa22b24a 2 4 2ctga 2 22 2 4 cos a4 a 2 4 2ctga 2y xsin x的拐点在曲线 y2 44xx2 上。x18试证明曲线 yx2 1x1有三个拐点位于同一直线上。x 2 2x 1证： y 2 22x 1 x 2 4x 1x2 1 3x1令 y 0 得： x1 1， x2 2 3 ， x3 2 3y 1 1，y 2 3 3 3 5，y 2 3 3 3 5故三个拐点 A 1, 1 ， B 2 3, 5 3 3 ， C 2 3, 5 3 3 容易验证： A、 B 、C 在同一直线上。29试决定 y k x2 3 2中的 k 的值，使曲线的拐点处

11、的法线通过原点解： y 4kx x2 3 ， y 12k x2 1令 y 0 ，得 x 1 或-1则拐点为 1,4k 及 1,4k10在拐点 1,4k 处切线斜率为 y 1 8k从而在拐点 1,4k 处法线斜 率为18k，这样法线方程为14k 84k 81k x 1 ，因法线过原点，所以k x 1 ，因法线过原点，所以20在拐 点 1,4k 处切 线斜率为 y 18k ， 这样法 线方程为故k282时，曲线的拐点处的法线通过原点。B)选择16 DBDDC二 计算与证明1试证当ab1 0 时， f x2x ax b 取得极值。 x1证： f x2x a bx 1 2b1x 1 2故a0 时， f

12、0 有解 x 1 a b 1当x1ab1时，f x 0 ，从而 fx 单增当1ab1x1a b 1 时， fx 0 ，则 f x当x1ab1 时，f x 0 ，则 f x单增故fx在x1ab 1 处取得极大值fx在x1ab 1 处取得极小值单减短距离。2求由 y 轴上的一个给定点 0, b 到抛物线 x2 4y 上的点的最12解：设 M x,1 x2 是抛物线上任一点，则 0,b 到 M 的距离为422 1 2 2d x2 x2 b 241 1 3 b从而 dx x 3x从而x2 1 x2 b 2 8 2x x b4令 d 0 ，得 x 0 或 x2 4b 810当 b 2时，只有一个驻点 x

13、 0当 x 0 时， d 0 ，从而 d 单减当 x 0 时， d 0 ，从而 d 单增故x 0是d 的极小值点，极小值为 |b|2当b 2时，有三个驻点 x 0， 2 b 2， 2 b 2当 x 2 b 2时， d 0，从而 d 单减 当 2 b 2 x 0时，d 0，从而 d 单增 当0 x 2 b 2时， d 0，从而 d单减当 x 2 b 2 时， d 0 ，从而 d 单增 故x 2 b 2 是极小点，极小值为 2 b 2习题 3.7一 选择1. B二 计算略一 选择自测题13 BDC二 解答x3x 2 x sin2 x 11求 lim3x 1 x 1 3解：令 y3xx则 ln3x2

14、 ln x，从而 y3x 2x23ln xx3x3ln x3x lim x x 1 x 1x 0 型x 0 limx10型0 limx13x 2 x3x 2 x2 3ln x 1 x2 x 123ln x232xx故原式 limx1x13x 2x x sin2 x 1limx13xxx12sin2 x 1lim1 x 1322求lxim0解：令 yx1x x ，则 ln y1ln 1 xxFx1x 1 x ln1 x y 1 x x x2 1 x0型 故原式 0 lim y x00型elim xx01 x ln 1 xx 1 2 1 x0型1 10 elim ln 1 x xx 0 3x 23

15、设函数fxxln e2x 二 次可微， 有 f x0， f 0 0，证明函数x0是单调增函数xf x f xFx2 x连续F0 x F 0F x f 0limlimx0xx 0 x证：当 x 0 时，由于 F 0lixm0x xf 0 0 型2xlixm0f x f 02x0型0lixm0因为 lxim0 F xlim xfx00型0lim xf x x 0 2 xxf x f x2 x 0x所以 F x 在 x 0 处连续，故 F x 在 , 上连续令gx xfxfx，则gx xf x当x0时，gx0，gx单增，从而 g xg 0 0当x0时，gx0，gx单减，从而 g xg 0 0故x0时

16、，gx0，从而Fx0因为f00，则F00，从而x,有F x 0， 故 F x 是单调增函数 4研究函数 f x xe x 1 的极值。解： 10当 x 0时， f xxex 1，从而 f x ex 1 x 1令 f x 0 得 x 1当 x 1 时， f x 0 ，则 f x 单增当 x 1 时， f x 0 ，则 f x 单减故 x 1 是 f x 的极大值点，极大值为 e 220当 0 x 1 时， f x xex 1，从而 f x ex 1 x 1 0 说明 f x 单增，故 x 0 是极小值点，极小值为 030当 x 1 时， f x xe x 1 ，从而 f x e1 x 1 x 0

17、说明 f x 单减，故 x 1是极大值点，极大值为 15若 f x 在 a,b 上有二阶导数 f x ，且 f a f b 0 ，试证在 a,b 内至少存在一点 ，满足 f证：由泰勒展式 aa,b，有1f2121x2x2a，b21x2b令x a b ，2ab2faab2于是 f bmax，则1 b a2814 b故结论成立。6设 f x 在 0,1 上具有二阶导数， 且 f 01 0，0mxin1 fx 1 ，证明：存在一点 0,1 使 f8。证：设 x c 是 f x 的最小值点，因为 f x在 0,1 上具有二阶导数，由题设故fc 处的泰展式为fx即f1若0即f121 ，则 f 02c22 8c122c2c，在c 与x之间2若121 ，则 f 112f即f2c 2 8 c故存在一点0,1 ，使f仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study