随机向量及其概率分布实用教案

1、定义 设随机试验的样本空间为，X、Y为定义在上的随机变量(su j bin lin)，则称(X,Y)为一个二维随机向量。若(X,Y)是一个二维随机变量(su j bin lin)，则称函数 F(x,y)=P(Xx,Yy)(等式右边表示随机事件Xx、Yy的乘积的概率)为随机变量(su j bin lin)(X,Y)的(联合)分布函数。第1页/共39页第一页，共39页。二维随机(su j)向量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质：0F(x,y)1且F(-,y)=F(x,-)=0，F(+,+)=1；当x固定时F(x,y)是y的单调不减函数，当y固定时F(x,y)是x的单调不减函数；F(x,y)最多

2、有可列个间断点，且在间断点(x0,y0)处关于x和y都是右连续。第2页/共39页第二页，共39页。例 已知(X,Y)的分布函数(hnsh)为求：A、B；概率P(0X1,0Y5)。离散型随机向量的联合(linh)概率分布的性质：pij0；p11+p12+p1n+p21+p22+p2n+pn1+pn2+pnn+=1。第6页/共39页第六页，共39页。 4.1.3 二维连续型随机向量 定义 对二维随机向量(X,Y)，若存在非负可 积函数f(x,y)，有 则称(X,Y)为二维连续型随机向量，f(x,y)为X与Y 的联合概率密度(md)函数或(X,Y)的密度(md)函数，简记 为(X,Y)f(x,y)。

3、 xydtdstsfyxF),(),(第7页/共39页第七页，共39页。连续型随机向量的密度(md)函数f(x,y)的性质：f(x,y)0； 例 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度(md)函数为求：A；P(X+Y1)。1),(2Rdxdyyxf其他010),(xyAxyxf第8页/共39页第八页，共39页。定理 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数(hnsh)为f(x,y)，联合分布函数(hnsh)为F(x,y)。则有例 随机向量(X,Y)的联合概率密度函数(hnsh)为求：A；P(XY)；(X,Y)的联合分布函数(hnsh)F(x,y)。dtdstsfyxFxy ),(),(yxy

4、xFyxf),(),(2其他其他00, 10),(2yxAxeyxfy第9页/共39页第九页，共39页。例 随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为求：A；P(XY)。定义(dngy) 若随机向量(X,Y)的密度函数为则称随机向量(X,Y)服从D上的均匀分布。其他其他011, 10),(yxAyxf其他其他0),(1),(DyxSyxfD第10页/共39页第十页，共39页。定义 若随机(su j)向量(X,Y)的密度函数为则称随机(su j)向量(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)N(1,2,12,12,r)。)()(2)()1(2122122221212112121),(yyxrxrer

5、yxf第11页/共39页第十一页，共39页。4.2 边缘(binyun)分布 4.2.1 边缘分布函数(hnsh) 定义 对二维随机向量(X,Y)，随机变量X、Y 的分布函数(hnsh)称为(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数(hnsh)。 定理 若(X,Y)的联合分布函数(hnsh)为F(x,y)，则 (X,Y)关于X的边缘分布函数(hnsh)为FX(x)=F(x,+)， (X,Y)关于X的边缘分布函数(hnsh)为FY(y)=F(+,y)。第12页/共39页第十二页，共39页。 4.2.2 二维离散型随机向量的边缘分布律 定义 若(X,Y)是二维离散型随机向量，则随 机变量X、Y的概率分布称

6、为(X,Y)关于X、Y的边 缘概率分布。 定理(dngl) 若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概 率分布为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,，则 (X,Y)关于X的边缘概率分布为 pi=P(X=xi)=pi1+pi2+pij+，i=1,2,3,， (X,Y)关于Y的边缘概率分布为 pj=P(Y=yj)=p1j+p2j+pij+，j=1,2,3,，第13页/共39页第十三页，共39页。求边缘概率分布时，可在表格上直接(zhji)进行： YX y1y2yjpix1p11p12 p1jp1x2p21p22 p2jp2 xipi1pi2pijpi pjp1p2pj第14页/共39

7、页第十四页，共39页。例 若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布如右求(X,Y)关于X、Y的边缘(binyun)概率分布。例 若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布如右求(X,Y)关于X、Y的边缘(binyun)概率分布。 YX 23410.20.25 0.05200.25 0.053000.2 YX 23410.10.25 0.1520.06 0.15 0.0930.040.10.06第15页/共39页第十五页，共39页。 4.2.3 二维连续型随机向量的边缘密度 定义 若(X,Y)为二维连续型随机向量，则称 随机变量X、 Y的概率密度为(X,Y)关于(guny)X、Y的边 缘概率密度。

8、 定理 若(X,Y)f(x,y)，则(X,Y)关于(guny)X、Y的边缘 概率密度分别为：dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(第16页/共39页第十六页，共39页。例 若二维连续型随机(su j)向量(X,Y)的联合概率密度为：求：c的值；(X,Y)关于X、Y的边缘概率密度。其他其他00 , 10)2(),(xyxxcyyxf第17页/共39页第十七页，共39页。4.3 条件(tiojin)分布 4.3.1 条件分布函数(hnsh) 定义 (X,Y)为二维随机向量，若对固定的x， 极限 存在，则称之为在X=x下Y的条件分布函数(hnsh)，记 为FY|X(y|x)。)(),(

9、lim)(0 xXxxPyYxXxxPxXyYPx第18页/共39页第十八页，共39页。定义 (X,Y)为二维随机向量，若对固定的y，极限存在，则称之为在Y=y下X的条件(tiojin)分布函数，记为FX|Y (x|y)。)(),(lim)(0yYyyPyYyyxXPyYxXPy第19页/共39页第十九页，共39页。 4.3.2 二维离散型随机向量(xingling)的条件分布律 定义 设(X,Y)为二维离散型随机向量(xingling)， 若对固定的xi，有PX=xi0，则称 为在条件X=xi下Y的条件分布列。 若对固定的yj，有PY=yj0，则称 为在条件Y=yj下X的条件分布列。, 2

10、, 1,jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij，, 2 , 1,ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji，第20页/共39页第二十页，共39页。例 若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布如右，求：边缘(binyun)分布；在条件Y=2下X的条件分布；条件X=2下Y的条件分布。 YX12300.10.05 0.1510.05 0.15 0.0520.150.1030.100.1第21页/共39页第二十一页，共39页。 4.3.3 二维连续型随机变量的条件分布密度(md) 定义 设(X,Y)为二维连续型随机向量， 若对固定的x，有fY(y) 0，则称 为在条件X=x下Y的条

11、件分布。 若对固定的y，有fY(y) 0，则称 为在条件Y=y下X的条件分布。)(),()(xfyxfxyfXXY)(),()(yfyxfyxfYYX第22页/共39页第二十二页，共39页。例 若二维连续型随机(su j)向量(X,Y)的联合概率密度为：求：(X,Y)关于X、Y的边缘密度函数；在条件X=0下Y的条件密度函数；条件密度函数fX|Y(x|y)。其他其他0142),(22yxyxf第23页/共39页第二十三页，共39页。4.4 随机变量(su j bin lin)的独立性定义 设(X,Y)为二维随机向量，若对任意x、yR，有F(x,y)=FX(x)FY(y)则称X与Y相互(xingh

12、)独立。定理 若X与Y相互(xingh)独立，则FX|Y (x|y)=FX(x)；FY|X (y|x)=FY(y)。第24页/共39页第二十四页，共39页。 若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为 PX=xi ,Y=yj=pij，i,j=1,2,3,， 则X与Y相互独立的充要条件为：对任意(rny)i,j， pij=pipj 例 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率分布 如右图： 且X与Y相互独立， 求a、b的值。 YX01210.080.20.122a0.3bjijiijpp第25页/共39页第二十五页，共39页。 若连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)，则X与Y相互独

13、立(dl)的充要条件为： f(x,y)=fX(x)fY(y) 例 已知随机向量(X,Y)的联合概率密度为 判断X与Y是否相互独立(dl)。 例 已知Xe(1)，Ye(2)，且X与Y相互独立(dl)， 求P(XY)。dxyxfdyyxf),(),(其他其他00 , 108),(xyxxyyxf第26页/共39页第二十六页，共39页。定义 设随机试验的样本空间为，X1、X2、Xn为定义在上的随机变量，则称(X1,X2,Xn)为一个n维随机向量。若(X1,X2,Xn)是一个n维随机向量，则称函数F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn)为随机向量(X1,X2,Xn)的(联合)分布(f

14、nb)函数。函数FXi(x)=P(Xix)为随机向量(X1,X2,Xn)关于Xi的的边缘分布(fnb)函数。第27页/共39页第二十七页，共39页。定义 若随机向量(X1,X2,Xn)的(联合(linh)分布函数F(x1,x2,xn)及其边缘分布函数FXi(x)满足F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn)则称X1、X2、Xn相互独立。定理 若X1、X2、Xn相互独立，则其中任意k个随机变量也相互独立，2kn 。第28页/共39页第二十八页，共39页。定义 若随机向量(X1,X2,Xm)、(Y1,Y2,Yn)和(X1,X2,Xm,Y1,Y2,Yn)的(联合(linh)分

15、布函数分别为F1(x1,x2,xm)、F2(y1,y2,yn)和F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)，且F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn)则称(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立。定理 若(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互独立，对任意函数g和h，则g(X1,X2,Xm)与h(Y1,Y2,Yn)相互独立。第29页/共39页第二十九页，共39页。定理 若(X1,X2,Xm)与(Y1,Y2,Yn)相互(xingh)独立，记则Ak与Ak、Ak与Bk、Bk与Ak、Bk与Bk相互(xingh)独立。niiXnX11)(1

16、1211kmkkmikikXXXnXnA)()()(1)(1211kmkkkmiikXXXXXXnXXnB)(11211knkknikikYYYnYnA)()()(1)(1211knkkkniikYYYYYYnYYnB第30页/共39页第三十页，共39页。4.5 随机(su j)向量函数的分布定义 设(X,Y)是二维随机(su j)变量，Z是随机(su j)变量。对连续函数g(x,y)，若X=x和Y=y描述的事件发生时，Z=g(x,y)描述的事件一定会发生，则称随机(su j)变量Z为(X,Y)的函数，记为Z=g(X,Y)。求二维随机(su j)变量(X,Y)的函数Z的分布时，常把Z描述的事件

17、转化为用(X,Y)表示。第31页/共39页第三十一页，共39页。 4.5.1 二维离散型随机变量(su j bin lin)函数的分布 例 设二维离散型随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率分布 为 求X+Y、X-Y、XY、X/Y的概率分布。 YX-11200.10.20.110.150.30.15第32页/共39页第三十二页，共39页。总结 求离散型随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的概率分布的步骤为：把(X,Y)的取值代入z=g(x,y)中得到Z的所有(suyu)取值；对Z的每一个取值z0，找出所有(suyu)满足g(x,y)=z0的(x,y)，把对应的概率PX=x,Y

18、=y相加得到P(Z=z0)。例 设Xg(p1)，Yg(p2)，且X与Y相互独立，求X+Y的概率分布。第33页/共39页第三十三页，共39页。定理 对和的分布，重要的离散型分布的结果：设XB(n1,p)，YB(n2,p)，且X与Y相互独立，则X+YB(n1+n2, p)； 设XP(1)，YP(2)，且X与Y相互独立，则X+YP(1+2)。定义(dngy) 若两个同种分布的随机变量的和仍服从这种分布，并且和的参数等于参数的和，则称这种分布具有可加性或再生性。第34页/共39页第三十四页，共39页。 4.5.2 二维连续型随机向量函数的分布 已知(X,Y)f(x,y)，g(x,y)为已知函数，求 Z=g(X,Y)的概率密度的步骤为： 把FZ(z)转化为用(X,Y)表示(其中(