(完整word版)2014暑期三升四奥数辅导教案

1、 2014 暑期三升四奥数辅导教案 目录 第一讲速算与巧算 . . . . 2 第二讲应用题综合（一） . . . 9 第三讲应用题综合（二） . . . 14 第四讲行程问题初步 . .19 第五讲奇数与偶数 . .24 第六讲计数问题 . . . .29 第七讲体育比赛中的数学 . . . .34 第八讲期中测试 . .38 第九讲余数与周期 . . . .40 第十讲简单的抽屉原理 . . . .45 第十一讲巧求周长 . .50 第十二讲数字谜 . . . .55 第十三讲趣题巧解 . . . . . .60 第十四讲逻辑推理 . . . . . .64 第十五讲期末测试 . . .

2、. . . .68 第一讲 速算与巧算 亲爱的同学们，你想一见到算式就能张口说出得数吗？你想让自己变得更聪明吗？学了今天的速算技 巧后你就可以梦想成真了！还等什么？来吧，一起出发！ 匚二你还记得吗？ i ： . J z 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加, 再与第一个数相加，它们的和不变 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变， 即 ax b=bxa,其中 a, b 为任意数. 4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数

3、相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即 ax bx c=(a x b) x c=ax (b x c). 1. 计算：378+26+609 分析：原式=(378+22) + ( 600+9) + (26-22 ) =400+600+9+4 =1013. 拓展计算：1998+198+18 分析：原式=(2000-2 ) + ( 200-2 ) + (20-2 ) =2220-6 =2214. 2. 计算：1000-90-80-20-10 分析：原式 =1000- ( 90+ 80 + 20+ 10) =1000-200 =800. 3. 计算：1) 63 x 11 ； 2 ) 852 x 11 分析

4、：在这个数的首尾之间添上相邻两数依次相加的和(和满 10 要进 1).即“两边一拉，中间相加” 1) 63 x 11=693 (其中 9 是 6+3), 2) 852 x 11=9372 (7=5+2 3=5+8 末尾 9=8+1 ). 分析：建议教师先介绍个位数字为 5 的数的平方速算规律：首数加 1 的和乘以首数，尾数相乘，两积连起 来即为所求的积.15 X 15=225 ； 25X 25=625 ； 35X 35=1225. / 1.商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变 在连除时，可以交换除 ! 数的位置，商不变，即 a* b* c=a * c* b ! 2.乘除法

5、混合运算的性质 ； (1)在乘除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同数字前面的运算符号一起交换位置， ! 例如 a X b* c=a* c X b=b* c X a I (2)在乘除混合运算中，去掉括号的规则以及去括号的情形 I aX (b X c)=a X bX c I aX (b * c)=a X b* c I a * (b *c)=a * bX c ； (3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即 (a X b) * (c X d)=(a * c) X (b * d)=(a * d) X (b * c). 在乘除运算中， 要做到既正确又迅速， 首先要熟练地掌握乘除的各种运算

6、定律， 性质和运算中积商的 变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件，选用合理，灵活的计算方法，下面我们通过一些例题介绍 一些运算的速算和巧算的方法 【例 1 】 计算：456 X 2 X 125 X 25X 5 X 4 X 8 分析：解题关键是观察题目可以发现 25X 4 得 100, 125 X 8 得 1000,将它们分别合并便可达到速算 原式=456X( 2 X 5)X( 25X 4)X( 125X 8) =456 X 10X 100X 1000 =456000000. 巩固 计算：19X 25X 64X 125 分析：原式=(25 X 4)X( 125X 8)X( 19X 2) =1

7、00 X 1000 X 38 =3800000. 【例 2 】 计算：5 * (7 * 11) * (11 * 15) * (15 * 21) 分析：原式=5* 7X 11* 11X 15* 15 X 21 =5X( 11* 11)X( 15* 15)X( 21* 7) =5X 3 =15. 前铺计算：5400 十 25 十 4 :暑假精讲 I- 4. 计算：15X 15 ; 25X 25 ; 35X 35 分析：根据除法性质知一个数分别除以两个数，等于除以这两个数的积 原式=5400+( 25 X 4) =5400 - 100 =54. 【例 3】 计算：333333 + 37 + 3-36

8、25 + 125+125X 50 分析：运用 a+ b+ c=a+ (b X c). 原式=333333+( 37 X 3) -29+6250 =333333+ 111+ (6250-29 ) =3003+6221 =9224. 【例 4】 53 X 46+71 X 54+82 X 54 分析：可以把 53, 199 拆分. 原式=(54-1 ) X 46+71 X 54+82 X 54 =54 X 46+71 X 54+82 X 54-46 =54X( 46+71+82) -46 =54 X 199-46 =54 X( 200-1 ) -46 =54X200 =54-46 =10800-10

9、0 =10700. 【例 5】 (873X 477-198 ) + ( 476X 874+199) 分析：观察到 873 与 874, 476 与 477 的关系，可以考虑把整数进行拆分 原式=873 X( 476+1) -198 + 476 X( 873+1) +199 =873 X 476+873-198 + 476 X 873+476+199 =873 X 476+675 + 476 X 873+675 =1. 【例 6】 1111111111X 9999999999 分析：原式=1111111111 X( 10000000000-1 ) =11111111110000000000-11

10、11111111 =11111111108888888889. =112. 分析：原式=99999 X 26+33333 x 3X 8 =99999X 26+99999X 8 =99999X( 26+8) =(100000-1 )X 34 =3399966. 【例 8】 计算：1+1 X 2 X 2+l X 2 X 3X 3+l X 2X 3X 4X 4+1 X 2X 3X 4X 5X 5 分析：原式=1 X (2-1)+l X 2 X (3-1)+1 X 2X 3X (4-1)+1 X 2 X 3X 4X (5-1)+l X 2X 3X 4 X 5X (6-1) =l X 2-1+1 X 2

11、 X 3-1 X 2+l X 2X 3X 4-1 X 2X 3+l X 2X 3X 4X 5-1 X 2 X 3X 4+l X 2 X 3X 4X 5X 6-l X 2X 3X 4X 5 =l X 2X 3X 4 X 5X 6-l =720-l =719. 【例 9】 计算：2006+2005-2004-2003+2002+2001-2000-1999+1998+ +5-4-3+2+1 分析：(法 1)我们观察可以发现，题目中每 4 个数一组可以相互抵消，将这些数先分组，简化计算 原式=2006+( 2005-2004-2003+2002)+( 2001-2000-1999+1998)+ +(

12、 5-4-3+2)+1 =2006+0+0+0+1 =2007. (法 2)根据符号规律，可以 4 个数一组. 原式=(2006+2005-2004-2003 ) + + (6+5-4-3 ) +2+1 =4X( 2004- 4) +3 =2007. 拓展 计算：1992-1-2+3+4-5-6+7+8- -1989-1990+1991 分析：原式=(1992+1991-1990-1989 ) + + (4+3-2-1 ) =4 X( 1992 - 4) =1992. 【例 10】 计算：(11 X 10X 9X-X 3X 2X 1)-( 22 X 24 X 25X 27) 分析：原式=(11

13、 X 2 - 22)X( 10 X 5-25 )X( 9 X 6-27 )X( 8 X 3 - 24)X 7 X 4 =2X 2X 7X 4 分析：前铺分配律的逆运算是个难点，建议教师先从简单题讲清楚再讲本题 计算 1 : 36 X 19+64X 19 =(36+64)X 19 =1900. 计算 2: 36 X 19+64 X 144 =36X 19+64X( 19+125) =(36+64)X 19+64X 125 =1900+8X 8X 125 =1900+8000 =9900. 例题原式=9X 17-5 X 17+91 - 17+45 - 17 =(9-5 ) X 17+ (91+45

14、) - 17 =4 X 17+136- 17 =68+8 =76. 【例 12】 计算：765 X 213-27+765 X 327 - 27 分析：原式=765 X( 213+327)+ 27 =765 X 540 + 27 =765X20 =15300. 【例 13】 计算：(123456+234561+345612+456123+561234+612345 )+ 7 分析：前铺建议教师先讲解拆数法： 123456=1 X 100000+2 X 10000+3 X 1000+4 X 100+5 X 10+6 X 1 , 234561=2X100000+3X10000+4X 1000+5X1

15、00+6X 10+1X 1， 或者观察竖式发现：每个数位上的和 =(1+2+3+4+5+6)X相应的数量单位.讲 清楚拆数这个问题，题目就迎刃而解了 . 原式=(1+2+3+4+5+6)X (100000+10000+1000+100+10+1) + 7 =21 X 111111 + 7 =3X 111111 =333333. 【例 14】 计算：12121212 + 3030303 分析：前铺建议教师先给学生讲清楚周期性数字的规律 1001001， 分析：原式 =12 X 1010101+( 3 X 1010101) =(12+ 3)X( 1010101+1010101) =4X 1=4.1

16、 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 4 + )6 1 2 3 4 5 .如 123123=123 X 1001, 123123123=123 X 分析：1）原式=5643 ; 2）原式=16983. =2. 【例 15】 2004 X 200320032003-2003 X 200420042004 分析：原式=2004 X 2003 X 100010001-2003 X 2004X 100010001=0. 【附 1 】 计算：99999 X 22222+33333X 33334 分析：原式=99999 X 222

17、22+33333 X( 33333+1) =99999X 22222+99999X 11111+33333 =99999X 33333+33333 =33333X(99999+1) =33333X 100000 =3333300000. 【附 2】 计算：888X 125-( 1000 - 73) +999 X 73 分析：原式=8X 125X 111-( 1000- 73) +999 X 73 =1000X 111- 1000X 73+999X 73 =73X( 111+999) =1110X( 70+3) =77700+3330 =81030. 大显身手 1. 25X 17X 32X 12

18、5 分析：原式=(25X 4)X 17X( 8X 125) =1700000 2. 1) 57X 99 ; 2) 17 X 999(45+53)X 101-49 - 101 (45+53)- 49 附加内容 分析：不及格人的平均分是（85 X 50-93 X 40） + （ 50-40 ） =53 （分）. 分析：原式=15000 - 15- 125=1000 - 125=8. 4. 56000+( 14000 - 16) 分析：原式=64. 3. 15000 - 125 - 15 :数学迷宫 I- 仔细看看图中有几只猴子? 春季班同学们已经学习了平均数的应用题，其中包括以两组数的平均数和它们

19、的总平均数间的关系为 内容的问题求解时应恰当选取基准数并注意权重暑假我们学习的平均数问题包括算术平均数、加权平 均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数 解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、 一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数 首先，让我们先回顾一下 吧！ 1. 小强为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周 （一周为 7 天）平均每天做 4 道数学竞赛训练题.星期一至星期三每天做 3 道，星期四不做，星期五、六两天共做了 13 道.那么，星期 日要做几道题才能达到自己规定的要求？ 分析：综合列式为 4X 7-（3 X 3

20、 + 13） = 6（道）. 2. 小明家先后买了两批小猪，养到今年 10 月.第一批的 3 头每头重 66千克，第二批的 5 头每头重 42 千 克.小明家养的猪平均多重？ 分析：两批猪的总重量为 66 X 3+ 42X 5 = 408（千克）.两批猪的头数为 3+ 5= 8（头），故平均每头猪重 408 十 8 = 51（千克）. 3. 中强期末考试，数学 92 分，语文90 分，英语成绩比这三门的平均成绩高 4 分问：英语得了多少分？ 分析：英语比平均成绩高的这 4 分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为 （92 + 90 + 4） 十 2 = 93（分），由此可求出英语成

21、绩.综合列式为（92 + 92 + 4）十 2 + 4 = 97（分）. 分析：5 个数的平均数从 26 变成 22,平均每个数减少了 4，一共减少了 4X 5=20，说明原来那个数减少 20 变为 18，所以原来的数是 38. 第二讲 应用题综合（一） 你还记得吗? 4. 有 5 个数的平均数是 26,如果把其中的一个数改为 18,则平均数变成 22,未改动前的这个数是多少? 分析：不及格人的平均分是（85 X 50-93 X 40） + （ 50-40 ） =53 （分）. 暑假精讲 【例 1】 学而思三升四竞赛班 50 人考试，全班平均分为 是 93 分，那么不及格人的平均分是多少分？8

22、5 分，其中有 40 的人及格，及格人的平均分 因此最多同时使用 3 台空调.这样，在 24 小时内平均每户最多可使用空调几小时? 分析：平均每户最多可用空调 24 X 3 - 4=18 （小时）. 【例 3】 一个房间里有 9 个人，平均年龄是 25 岁；另一个房间里有 11 个人，平均年龄是 45 岁.两个 房间的人合在一起，他们的平均年龄是几岁？ 分析：（25X 9+45 X 11） + （ 9+11） =36（岁）. 【例 4】 某校有 100 名学生参加第四届小学“祖冲之杯”数学竞赛，平均分数是 63 分，其中参赛男同 学平均分为 60 分，女同学平均分为 70 分，那么该校参赛男同

23、学比女同学多几人？ 分析：参赛女同学人数为：100 X （63-60） +（70-60）=30（人），所以参赛男同学比女同学多 100-30-30=40 （人）. 下面我们要学习一类新的应用题一一盈亏问题 盈亏问题就是把一定数量的物品分给若干对象，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求被分配 的物品数与分配的对象数.解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额 （盈数+亏数），由此得到求解盈 亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额+两次分配数之差 需要注意的是，两种分配方案的结果会出现一盈 一亏、两盈、两亏等情况，所以我们要灵活把握 【例 5】 六一儿童节到了，李老师给同学们准备了一些漂亮的贴画作

24、礼物，如果每人分 3 张就会多出 29 张，如果每人分 5 张则少 19 张，那么李老师给几个学生发礼物呢？ 分析：学生的人数：（29+19） + （5-3）=24（个）. 【例 6】 杨老师到新华书店去买书， 若买 5 本则多 3 元；若买 7 本则少 1.8 元.这本书的单价是多少？ 顾老师共带了多少元钱？ 分析：买 5 本多 3 元，买 7 本少 1.8 元.盈亏总额为 3+ 1.8=4.8 （元），这 4.8 元刚好可以买 7-5 = 2 （本） 分析：不及格人的平均分是（85 X 50-93 X 40） + （ 50-40 ） =53 （分）. 书，因此每本书 4.8 + 2=2.4

25、 （元），顾老师共带钱 2.4 X 5 + 3 = 15 （元）. 【例 7】 学校组织四年级师生去参观清华、北大，原计划租用 45 个座位的客车，但这样有 5 人没座, 如果租用同样数量的 55 个座位的客车，则正好多出 1 辆车.那么，原计划租用 45 座客车几辆？ 分析：租 55 个座位的客车，正好多出 1 辆车，也就是少了一车的人，即 55 人，所以，原计划租用的客车 数量（55+5） + （55-45）=6（辆）. 【例 8】 兰兰参加暑假的英语夏令营，老师为她们安排住宿，如果每个房间住 5 人，则多出 18 人，如 果每个房间住 7 人，则有 2 个房间空着.那么，参加英语夏令营的

26、同学有几人？ 分析：房间数量：（18+7 X 2） - （7 5）=16（个），参加夏令营的人数：16X 5+18=98（人）. 【例 9】 海尔兄弟约好在动物园门口见面， 弟弟从家去动物园，如果每分钟走 30 米，就要迟到 5 分钟， 如果每分钟走 40 米，可以提前 2 分钟到动物园，那么，海尔兄弟家到动物园的距离是几米？ 分析：迟到 5 分钟相当于少走了： 30 X 5=150（ 米），提前 2 分钟到相当于多走了： 40 X 2=80（ 米），所以， 如果不迟到也不早到，弟弟走的时间为： （150+80）十（40-30）= 23（分钟），家到学校的距离为： 30 X （23+5）=84

27、0（米）. 【例 10】 早晨陈奶奶去超市买菜， 如果她买 6 千克鱼肉则还差 10 元.如果买 8 千克猪肉则还剩 2 元.已 知每千克鱼肉比猪肉贵 5 元.那么陈奶奶带了多少钱 ？ 分析：由于每千克鱼肉比猪肉贵 5 元，6 千克鱼肉应该比 6 千克猪肉贵：6 X 5=30（元），这时，买 6 千克猪 肉应该剩下：3010=20（元），所以，每千克猪肉的价钱为： （20 2） - （8 6）=9（元），陈奶奶所带钱数： 8X 9+2=74（元）. 【例 11】 百货商店委托搬运站运送 100 只花瓶双方商定每只运费 1 元，但如果发生损坏，那么每打 破一只不仅不给运费，而且还要赔偿 1 元，

28、结果搬运站共得运费 92 元问：搬运过程中共打破了几只花 瓶？ 分析：假设 100 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费 1X 100=100（元）实际上只得到 92 100-92=8（元）.搬运站每打破一只花瓶要损失 1 +仁 2（元）.因此共打破花瓶 8-2=4（只）. 【附 1】100 名学生参加数学竞赛，平均分数是 63 分，其中参赛男同学平均分为 60 分，女同学平均分为 70 分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？ 分析：参赛女同学人数为：100 X （63-60） - （70-60）=30（人）所以参赛男同学比女同学多 100-30-30=40 （人）. 【附 2】 学

29、而思竞赛班举行歌唱比赛，五位评委打分计分时，先去掉一个最高分和一个最低分，在算出 平均分作为该选手的最后得分下面是嘟嘟同学的得分： 79, 83, 86, 81,（第五个分数被盖上了） 最后得分 82 .请你算算第五位评委打多少分？ 分析：如果第五位评委的分数是最高分获最低分， 那么另一个去掉的分数就是 的平均分不等于 82,不合题意所以第五位评委的分数是没有被去掉的， 86,第五位评委的分数是 82 X 3- （83+81） =82 （分）元，少得 附加内容 79 或 86,剩下的 3 个分数 去掉的是 79 和 分析：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走 50 米，则要迟到 8 分钟，

30、也就是到上课时间时， 他离学校还有 50 X 8=400（米）；若每分钟多走 10 米，即每分钟走 60 米，则到达学校时离上课还有 5 分钟, 如果一直走到上课时间，那么他将多走 （50+10） X 5=300（米）所以盈亏总额，即总的路程相差 400+300=700（米）.两种走法每分钟相差 10 米，因此所用时间为 700-10=70（分），也就是说，从乐乐改变 速度起到上课时间有 70 分钟所以乐乐家到学校的距离为 50 X （2+70+8）=4000（米）. 【附 4】 四（2）班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号为了奖励同学们，班主任刘老师买了 一些铅笔和橡皮刘老师把这些铅

31、笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生如果每堆有 1 块橡皮 2 支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩 5 块；如果每堆有 3 块橡皮和 5 支铅笔，橡皮分完时还剩 5 支铅笔.那 么，刘老师一共买了多少块橡皮 ？多少支铅笔？ 分析：如果增加 10 支铅笔，则按 1 块橡皮、2 支铅笔正好分完；而按 3 块橡皮、5 支铅笔分，贝 U 剩下 10+5=15（支） 铅笔，但如果按 3 块橡皮、6 支铅笔分，则正好分完，可以分成： 15+（6 5）=15（堆），所以，橡皮数为： 15X 3=45（块），铅笔数为：15X 6 10=80（支）. 1. 暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录

32、如果他在暑假的最后一天游 670 米，则 平均每天游 495 米；如果最后一天游 778 米，则平均每天游 498 米；如果他想平均每天游 500 米，那么最 后一天应游多少米？ 分析：（778-670） + （ 498-495） =108+ 3=36 （天），说明小强一共游了 36 天要想平均游 500 米的话，他 最后一天应该游 670+36 X（ 500-495 ） =670+180=850 米 2. 甲班 51 人，乙班 49 人，某次考试 2 个班全体同学的平均成绩是 81 分，乙班平均分比甲班高 7 分, 那么乙班的平均成绩是多少分？ 分析：甲、乙 2 班总分为 81 X（ 51+

33、49） =8100 （分），由于乙班平均分比甲班高 7 分，如果甲班每人提高 7 分，那么 2 班平均分即为乙班现在的平均分（ 8100+7 X 51） + （ 51+49） =84.57 （分）. 大显身手 【附 3】 乐乐从家去学校上学，每分钟走 50 米，走了 2 分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会 迟到 8 分钟于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走 10 米，结果到达学校时离上课还有 5 分钟问: 乐乐家离学校有多远？ 3. 用绳子量一口井的深度，把绳子折两折来量，多 50 厘米；折三折来量，还差 30 厘米，求绳长和井深 各是多少？ 分析：根据题意，（50X 2+30X 3

34、） + （ 3-2） =190 （厘米）.（190+50） X 2=480 （厘米）或（190-30） X 30=480 （厘米） 分析：这道题也可以理解为：原来每条船坐 4 人正好，后来减少了 2 条船，每条船坐 6 人所以，租的船 的数量为：6X (1 + 1)十(6 4)=6(条)，去颐和园的总人数为： 6X 4=24(人). 永远看得起自己 有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，但几个小时过 去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着. 最后，这位农夫决定放弃，他想这头驴子年纪大了，不值得大费周章去把它救出来，不过无论如何， 这口井还是得填起来于是农夫便请来左

35、邻右舍帮忙一起将井中的驴子埋了，以免除它的痛苦. 农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中当这头驴子了解到自己的处境时，刚开始哭得 很凄惨但出人意料的是，一会儿之后这头驴子就安静下来了.农夫好奇地探头往井底一看，出现在眼前 的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部时，驴子的反应令人称奇 - 它将泥土抖落在一 旁，然后站到铲进的泥土堆上面！ 就这样， 驴子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底， 然后再站上去.很快地， 这只驴子便得意 地上升到井口，然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！ 成长故事 4.王老师带班里的学生去颐和园春游，他们租了一些船在昆明湖上划船，如果增加 1 条船

36、，正好每条船 坐 4 人，如果减少 1 条船，正好每条船坐 6 人，那么，他们总共有几人去了颐和园？ 第二讲应用题综合（二） 年龄问题和还原问题春季班都学习过基础的知识：年龄问题的解题要点是分析题意从表示年龄间倍数 关系的条件入手理解数量关系 关键抓住“年龄差”不变应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系 式解决；还原问题我们学习了用倒推法解单、多个变量的还原问题 今天我们再提高和拓展一下来吧，我 们出发！ 1. 小明今年 8 岁，他与爸爸、妈妈年龄的和是 81 岁，多少年后他们的平均年龄是 34 岁？这时，小明是 多少岁？ 分析：三人的平均年龄是 （年） ， 这时小明的岁数： 34 岁时

37、，三人的年龄和为： 34X 3=102 （岁），经过的时间是：（102-81 ）+ 3=7 8+7=15 （岁）. 2. 今年爸爸 48 岁，儿子 20 岁，几年前爸爸的年龄是儿子的 5 倍？ 分析：今年爸爸与儿子的年龄差为“ 48 20=28 ”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当 爸爸的年龄为儿子的 5 倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法当爸爸的年 龄是儿子年龄的 5 倍时，他们的年龄差是儿子年龄的 4 倍，所以儿子的年龄是：（48 20） + （ 5 1）= 7 （岁），由 20- 7= 13 （岁），推知 13 年前爸爸的年龄是儿子年龄的 5 倍.

38、 3. 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物.第一天运出总数的一半少 12 克.第二天运出剩下的一半少 12 克，结 果窝里还剩下 43 克.问蚂蚁家原有食物多少克 ？ 分析：（倒推法）教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出 12 克，就是剩下的一半，所以第一 天运出后，剩下的一半重量是 43-12=31（克）；这样，第一天运出后剩下的重 31 X 2=62（克）.那么，一半 的重量是 6212=50（克），原有食物 50X 2=100（克）.即（43-12） X 2-12 X 2=100（克）. 4. 小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的 5 看作 9，把十位上的 8 看作 3，结果所得的

39、和是 123.正 确的答案是多少？ 分析：（倒推法）把个位上的 5 看作 9,相当于把正确的和多算了 4，求正确的和，应把 4 减去；把十位上 的 8 看作 3,相当于把正确的和少算了 50,求正确的和，应把 50 加上去.所以正确的和是 123+50- 4=169.即： 123+（80-30）- （9-5）=169. 【例 1】 父亲 15 年前的年龄相当于儿子 12 年后的年龄.当父亲的年龄是儿子的 4 倍时，父亲多少岁？ 分析：父亲比儿子大 15+12=27 岁.儿子是 27 十（4 1）=9 岁.父亲是 9X 4=36 岁. 【例 2】 姐姐对妹妹说：“当我是你今年的岁数时，你才 6

40、岁”妹妹对姐姐说：“当我的岁数是你现在 的岁数时，你将 21 岁”求姐姐和妹妹今年各几岁 ？ 分析：姐姐和妹妹的年龄差为 （21 6）十 3=5（岁）.妹妹今年的年龄为 6+5=11（岁）.姐姐今年的年龄为 11+5=16（岁）. 【例 3】 小明一家有 4 人：爷爷、爸爸、妈妈和小明爷爷比爸爸大 26 岁，妈妈比小明也大 26 岁已知 这家人今年的年龄之和为 126 岁，而 5 年前的年龄之和为 107 岁，那么小明与他爷爷的年龄之差是几岁？ 分析：5 年来，小明家的年龄之和增加了 126-107=19 岁.这家现有 4 口人，而 193=102（千米）. 【例 3】 甲乙两人同时从两地相向

41、而行甲每小时行 5 千米，乙每小时行 4 千米两人相遇时乙比甲 少行 3 千米两地相距多少千米？ 分析：两人行驶的时间为 3+（ 5-4） =3 小时，所以两地相距（5+4） X 3=27 千米. 【例 4】 两地相距 900 米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走， 甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 100 米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟 ？ 分析：甲、乙二人开始是同向行走， 乙走得快，先到达目标.当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行， 把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时间乙到达目标时所用时 间：900+ 100=9（

42、分钟）甲 9 分钟走的路程：80X 9=720（米）甲距目标还有：900 720=180（米）相遇时间：180 十 7（100+80）=1（分钟），共用时间:9+1=10（分钟）. 简便解：画图可知两人总共走了 2 个全程，所以总全程为 1800,所以时间为 1800 + （80+100）=10 分钟. 【例 5】 一个圆形操场跑道的周长是 500 米，两个学生同时同地相背而行甲每分钟走 66 米，乙每分 钟走 59 米.经过几分钟才能相遇 ？ 分析：500+（ 66+59） =500 十 125=4 分钟. 【例 6】 甲乙两辆汽车同时分别从 A、B 两地相对开出，甲车每小时行 42 千米，

43、乙车每小时行 45 千 米甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达 B、A 两地后，立即按原路原速返回两车 从开始到第二次相遇共用 6 小时求 A、B 两地的距离. 分析：甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个 AB 间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到 B、 A 两地后，又共同行完一个 AB 间的路程.当甲、乙两车第二次相遇时， 又共同行完一个 AB 间的路程.因 此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行 3 个 AB 间的路程甲、乙速度和 42+45=87（千米）,3 个 AB 间 路程 87 X 6=522（千米），A、B 相距 522 - 3=174（千米）. 【例 7】 阿

44、呆和阿瓜同时从距离 20 千米的两地相向而行， 阿呆每小时走 6 千米，阿瓜每小时走 4 千米. 阿瓜带着一只小狗，狗每小时走 10 千米这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时候，它就掉头朝阿瓜这边 走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米 ？ 分析：要求狗走的路程，由于狗在两人之间要跑多少个来回， 每一次所用的时间是多少， 这些量无法确知， 所以不可能把每次狗与两人相遇走的路程分别求出再相加仔细分析整个过程，抓住其中不变的关系：不 论狗在两人之间跑了多少个来回，狗走的路程所用的总时间等于两人相遇所用的时间所以，只要求出两 人相遇所用的时间，就可以求出狗所走的路程这样，

45、问题就转化为求志强与蓝利亚两人相遇时间的问 题.相遇时间 20 珂 6+4）=2 （小时），狗共跑路程 10X 2=20（千米）. 【例 8】 甲骑自行车每小时行 18 千米，乙步行每小时行 6 千米，如果两人同时在同一地点同一方向出 发，甲走了 48 千米到达某地，立即按原路返回，在途中和乙相遇 问：从出发到相遇共经过多少时间？ 分析：由题意知，甲走了 48 千米到达某地说明全程为 48 千米，甲乙从出发到相遇共行了两个全程，则再 依两人的速度和， 求出相遇时间所以甲乙速度和为 18+6=24 （千米）.甲乙的相遇时间为 48X 2 十 24=4 （小 时）. 【例 9】 一辆汽车和一辆摩托

46、车同时从甲乙两地相对开出， 摩托车每小时行 54 千米。汽车每小时行 48 千米.两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回 汽车到甲地立即返回两车在距离中 点 108 千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？ 分析：第二次相遇距中点 108 千米，说明两车共有 108 X 2=216 （千米）的路程差，由此可知两车共行 216 + （ 54-48 ） =36 （小时）.又因为第二次相遇两车共走了 3 个全程，所以走一个全程用 36 十 3=12 （小时） 记可求出甲乙两地的路程是（ 54+48）X 12=1224 （千米） f I i 附加内容 j 【附 1】甲乙两人同

47、时从 AB 两地相向而行，第一次相遇在距 A 地的 75 米，两人到达 AB 后又立即返回, 第二次相遇距离 B 地 50 千米.求 AB 两地的距离. 分析：相同时间内（两个人都没有停过） ，两个人每走过与全程的距离相等的时候，所经过的距离都和第 一次相遇时所走过的距离是相等的在第二次相遇时两个人一共走了相当于三个全程的距离，这时甲应该 是走过了 75X 3=225 （千米），而从图上可知甲走过全程后又走过 50 米，所以全程距离 应该是 225-50 = 175 千米 2 分析：甲走 10 千米的时间为10-：-45 （小时），车队走的时间也是 9 35 2 = 70 （千米），此时车队与

48、甲相距 10 一空二一0 （千米），甲掉头返回与车队相遇的时间为 9 9 9 9 20 1 （35 45） （小时）. 9 36 1. 某工程兵修铁路开凿山洞的长是 300 米， 两个班从两端开始凿山洞，甲班每天凿出 5 米，乙班每天凿 出 6 米，同时开凿多少天后，还差 80 米没有凿通？ 分析：(300-80 )-( 5+6) =20 (天) 2. 两列货车从相距 450 千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行 38 千米，乙货车每小时行 40 千米, 同时行驶 4 小时后，还相差多少千米没有相遇？ 分析：450- (38+40 )X 4=138 (千米) 3. 甲乙两列客车同时由相距 6

49、80 千米的两地相对出发， 甲客车每小时行 42 千米，经过 8 小时后相遇.问 乙列客车每小时行多少千米？ 分析：680 - 8-42=43 （千米 / 时）. 4. 甲乙两列火车从相距 366 千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行 37 千米，乙列火车每小时行 36 千米，甲列火车先开出 2 小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？相遇时两 列火车各行多少千米？ 分析：(366-37 X 2)-( 37+36) =4 (小时)（小时） ， 车队走的路程是: : 大显身手 【附 2】有一个自行车队，以每小时 35 千米的速度前进，甲选手突然发力，以每小时 45 千米的

50、速度前进, 车队速度不变，当甲选手行进了 10 千米后掉头返回，问再过多久可以与自行车队相遇？ 砌墙工人的命运 三个工人在砌一堵墙有人过来问： “你们在干什么？ ”第一个人没好气地说： “没看见吗？砌墙.”第二 个人抬头笑了笑，说：“我们在盖一幢高楼.”第三个人边干边哼着歌曲，他的笑容很灿烂开心： “我们正 在建设一个新城市.” 10 年后，第一个人在另一个工地上砌墙；第二个人坐在办公室中画图纸，他成了工 程师；第三个人呢，是前两个人的老板. 第五讲 奇数与偶数 春季班我们在学习能被 2, 3, 5 整除的数的特征时介绍能被 2 整除的数的个位数是 0, 2, 4, 6, 8, 称为偶数；不能

51、被 2 整除的数的个位数是 1, 3, 5，7 9,称为奇数那么今天我们就具体来学习一下奇数 与偶数的重要性质 1. 不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数: (1) 1 + 2+ 3 + 9 + 10; (2) 1 + 3+ 5 + 21 + 23; 分析：奇数；(2)偶数. 2. 不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？ 分析：根据奇偶数的运算性质：因为 524, 42 是偶数，所以(524+42)是偶数.又因为 429 是奇数，所以 (524+42-429)是奇数. 提示：在全部是加、减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数

52、的个数是奇数，则结果是奇数 3. 1 x 3X 5X 7x 9X 11 x 12X 13 的积是偶数还是奇数？ 分析：1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 都是奇数，由 1X 3 为奇数，推知 1 x 3X 5 为奇数推知 1 x 3X 5x 7x 9 x 11 x 13 为奇数.因为 12 为偶数，所以(1 x 3x 5x 7x 9x 11x 13) x 12 为偶数，即 1x 3x 5x 7x 9x 11 x 12x 13 为偶数. 4. 在 1199 中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？ 分析：由于 1, 2, 3, 4,，197, 198, 199

53、 是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对： (1 , 2) , (3 , 4)，(197 , 198)，还剩一个 199,共有 198- 2=99(对)，还剩一个奇数 199.所以奇数的个数=198 十 2+仁 100(个)，偶数的个数=198-2=99(个).因为每对中的偶数比奇数大 1, 99 对共大 99，而 199-99=100 , 所以奇数之和比偶数之和大，大 100. 分析：不能.5 个奇数的和是奇数，不可能等于 20. r奇数和偶数的表示方法： I 偶数表示方法：如果我们用 n表示整数，n=0, 1, 2, 3,那么 2X n就表示偶数，简写成 2n. i 奇数表示方法：因为 2

54、n为偶数，比 2n 多 1 或少 1 的数为奇数所以我们用 2n+1 或 2n-1 表示 i 奇数. 【例 1】 有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意一刀，假设剪出偶数个断口问：这根毛线被分成的段 数是偶数还是奇数？ 分析：奇数分成的线段数比断口数多 1. 【例 3】 数列 1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55的排列规律：前两个数是 1,从第三个数开始, 每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波契数列，在斐波契数列前 2004 个数中共有几个偶数？ 分析：根据奇数，偶数交替变化的规律，可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶这样的变化规律，所以 2004 个数有 200

55、4 - 3=668 个偶数. 【例 4】 用数字 1, 3, 0 可以组成多少个奇数和偶数 ？ 分析：因为偶数的个位是偶数，所以只有 0 可作个位数组成偶数；因为奇数的个位是奇数，所以只有 1 和 3 可作个位数组成奇数.偶数有： 0, 10, 30, 130, 310 共 5 个；奇数有：1, 3, 13, 31, 103, 301 共 6 个.注意 0不可以作首位数. 【例 5】 任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于 999? 分析：不能.两数和为 999，各位数相加时必定没有向上进位，又因为新三位数与原三位数只是三个数字 的排列顺序不同，所以把两

56、个三位数的个位、十位、百位数字加在一起一定是偶数，而 9+9+9=27 是奇数, 矛盾. 【例 6】 有 12 张卡片，其中有三张上面写着 1，三张写着 3,三张写着 5，三张写着 7.问：能否从中 选出五张，使它们上面的数字之和为 20?为什么？ I 暑假精讲 【例】 有一本 500 页的书，从中任意撕下 20 张纸，这 20 张纸上的所有面码之和能否是 1999? 分析：不可能.每张纸上的两个页码之和是奇数, 20 个奇数之和是偶数. 填在这个方格中，例如 a=5+3=8 .问：填入的 81 个数字中是奇数多还是偶数多 ？ 分析：此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数

57、各有多 少然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论显然花时间很多， 不能在口试抢 答中取胜.我们应该从整体上去比较奇偶数的多少.易知奇数行偶数多一个，偶数 行奇数多 1 个.所以前 8 行中奇偶数一样， 余下第 9 行奇数行， 答案可脱口而出.偶 数多. 拓展如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如: 中是奇数多还是偶数多 ？ 分析：奇数行奇数多 1 个偶数行全是偶数，显然偶数多得多. 【例 8】 小明爷爷钓鱼回来，小明问： “爷爷您今天钓了多少鱼呀 ？”爷爷说：“我今天甩出鱼杆和提起 鱼杆共 100 次，可是有 17 次提起鱼杆时没钓着鱼，其余每提一次就钓了一条鱼，你说我今天钓

58、了多少鱼 呀？ 分析：小明爷爷每甩出一次鱼杆都要收回来一次，所以甩出鱼杆次数和收回鱼杆次数相等.其总次数必为 偶数，故可被 2 整除.于是收回鱼杆次数为 100-2=50（次），收回鱼杆 50 次有 17 次没钓着鱼，所以共钓 鱼 50-17=33 （条）. Z奇数和偶数的运算性质 / 奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数； I 奇数-奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数； I 奇数X奇数=奇数；奇数X偶数=偶数；偶数X偶数=偶数 I I 奇偶数加减法的几个常见结论. I 结论 1:任意个偶数的和是偶数. 我们根据偶数加法的性质，可以把任意个偶数两两

59、结合在一起相加之后再相加，如果还多 ; 1 个就接着加.即：（偶数+偶数）+（偶数+偶数）+（偶数+偶数）=偶数+偶数+偶数=（偶 , 数+偶数）+偶数=偶数+偶数=偶数 I I 结论 2:奇数个奇数的和为奇数. i 假设有 2n+1 个奇数，那么我们把前面 2n个奇数两两结合在一起相加，由奇数加法性质可 I 知，它们都是偶数，再把这些偶数加起来还是偶数，最后与剩下的一个奇数相加，所以结 果为奇数. I a=5X 3=15.问填入的 81 个数 2 3 4 5 6 7 8 9 123567 8 9 ： 结论 3:两个数的和加上这两个数的差，得到的一定是偶数 分析：1-99 都出现了 2 次因此

60、是偶数，而 100 是偶数，所以这个和是偶数. 【例 10】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上 出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由. 分析：由结论 3 可知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加 1000 还是偶数，所以它们的和不能等 于奇数 1999. 【例 11】 桌子上有 11 个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的 6 个，问能否经过若干次翻动， 使得 11 个杯子的开口全都向下？ 分析：不能，杯子要翻过来的翻奇数次， 11 个杯子都要翻过来，要把所有被子都翻过来则总共需要翻动奇 数次杯子，而每次同时翻动 6 个，那总次数是偶数，偶数不可能