50知识梳理不等式的综合应用提高

1、不等式的综合应用【考纲要求】1 在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2 掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式（组），会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3 通过复习不等式的性质及常用的证明方法（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等），使学生较灵活的运用常规方法（即通性通法）证明不等式的有关问题；4 通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；5 能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解

2、决有关不等式的问题.6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部 分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本 知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识.【知识网络】【考点梳理】考点一：不等式问题中相关方法1. 解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式， 通过构造

3、函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运 用图解法可以使得分类标准明晰.2. 整式不等式（主要是一次、二次不等式）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们 有机地联系起来，相互转化和相互变用.3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数

4、的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解 变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用.4 比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差（商）t变形t判断符号（值）5 证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择 适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等 式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出

5、待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的.6 .证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的 基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思 维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.考点二：不等式与相关知识的渗透1.不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体 现了一定的综合性、 灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用. 在解决问题时，要依据题设、题

6、断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解 或证明.不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最 小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。2 .不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等 式；另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定 值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件.利用不等

7、式解应用题的基本步 骤：审题，建立不等式模型，解数学问题，作答。要点诠释：解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一 元二次不等式(组)来求解，。解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选 用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。【典型例题】类型一：不等式求解问题 例1 .解关于x的不等式竺1 .x 2【思路点拨】考虑转化为整式不等式。解：不等式竺 1可化为(a 1)

8、x 若同时满足、的 x值也满足，求 m的取值范围； 若满足的x值至少满足和中的一个，求m的取值范围。 解：记的解集为A，的解集为B，的解集为C。解得 A= (-1, 3)；解得 B= 0,1)(2,4 , A B 0,1)(2,3)(1)因同时满足、的 x值也满足，ABC设f (x) 2x2 mx 1，由f (x)的图象可知：方程的小根小于0,大根大于或等于3时，即可满足0 .x 2x 21) 当a=1时，原不等式的解集为x|x 2;22) 当a 1时，原不等式的解集为x|x或x 2；a 12x3) 若a 10,则原不等式可化为 一0 ,x 2故当0 a 1时，原不等式的解集为x|2 x ;1

9、 a当a 0时，原不等式的解集为；2当a 0时，原不等式的解集为 x|丄x 2.1 a【总结升华】 分式不等式应移项、通分，转化为整式不等式。这是解决分式不等式的基本方法和思路。举一反三：【变式1】己知三个不等式： 2x 45 xx 2x2 3x 22 2x mx 10173f(0) 0即1 0f(3) 0 3m 17 0(2)因满足的x值至少满足和中的一个，CA B,而 A B ( 1,4 因此C ( 1,4 方程2x2 mx 10小根大于或等于-1，大根小于或等于 4,因而f( 1)1 m 0f(4) 4m 310,解之得31m4【高清课堂：基本不等式394889典型例题一】【变式2】已知

10、函数f(x) ax2 2x 1(a R)(1) 若f (x)的图像与x轴恰有一个公共点，求 a的值;(2) 若方程f(x) 0至少有一个正跟，求 a的范围。解：(1)当a 0时函数f (x)为一次函数，符合题意;当a 0时，函数f (x)为二次函数，则4 4a 0，所以 a 1 综上，a 0或1.(2)当a 0时，f (x)0为一次方程，不符合题意;0时，f(x) 0为二次方程，显然 f(0)1所以当aa 0时有一正一负根，符合题意;0时，x1x2的范围综上，类型二：不等式证明a 0.例2.已知 ABC的三边长是a, b,c，且m为正数，求证:【思路点拨】寻找各项的统一性，可以从函数单调性方面

11、来考虑。证明：设f(x) -(m 0)，易知(0,)是f(x)的递增区间c, f (ab) f (c)，即bb mbb m【总结升华】函数是高中数学的重要知识，很多问题都可以从函数的角度来思考和分析。举一反三：【变式1】设函数f(x)定义在R上，对任意 m、n恒有f(m+n)=f(m) f(n),且当(1) 求证：(2) 求证：(3) 设集合取值范围证明：令取 m=m,f(0)=1，且当 XV 0 时，f(x) > 1；f(x)在R上单调递减；A= (x, y)|f(x2) f(y2) >f(1)，集合 B=(X, y)|f(ax g+2)=1 , a R, f(m)=m>

12、0, n=0 得：f(m)=f(m) f(0). / f(m)丰 0,二 f(0)=1 n= m, (mv 0),得 f(0)=f(m)f( m)1,T mv 0, m> 0,二 0v f( m)v 1 , f(m)> 1 f ( m)证明：任取 X1, X2 R，则 f(X1) f(X2)=f(X1) f (X2 X1)+X1= f(X1) f(X2 X1) f(X1)=f(X1) 1 f(X2 X1),T f(X1 ) > 0 , 1 f(X2 X1) > 0 , f(X1) > f(X2),函数f(x)在R上为单调减函数由f(xf (axy2) f(1) 得

13、 y 2)1 f( )x2ax，由题意此不等式组无解,0数形结合得:一|2|一 > 1，解得、a2 1a2w 3X > 0 时,0 V f(x)v 1.若A n B=,求a的类型三：不等式与相关知识的融合例3.(2015 甘肃一模)已知函数f xIn1 x(其中常数m>0)x(1) 当m=2时，求f X的极大值.(2) 时谈论f X在区间0,1上的单调性当m 3, 时，曲线yx上总存在相异两点,Q x2, f x2,使得曲线y f xx1x2的取值范围【解析】(1)当 m=2 时，f 51f xIn x x2x151x 2 2x 1f X2 12X 02xX2x2在点P,Q处

14、的切线互相平行，求2x 0可得x 0解得2,上单调递减,单调递增x的极大值为f1m -mx当m 1时，则此时0,m当1时,此时0,1当1时,x20,-时,m此时0,m ,上单调递减，在m,11 故 x 0,1 有 f x上单调递减x 0； x 丄,1 m上单调递增2X 12Xx在0,丄m(3)由题意，可得mX112X1Q x1X11x m x m2X1上单调递减，在一,1上单调递增.mX2X2由不等式性质可得X2m,1 时，f x 00恒成立,X212X2NX2X1,X21所以X-|x2x21mx1x2m恒成立又x1, x2 ,m 0X12X22即X1X24 对m 3, 恒成立13易知在3,上

15、单增1gm g 3XiX2X)x2的取值范围为举一反三：【变式】(2015 辽宁二模)已知a b 1，对14(1)求的最小值；a b14a,b 0,，+ 2x 1 x 1 恒 成立a b【解析】(1) Qa0,b0且ab114,14b4aa b-55a babab(2)求X的取值范围1 23，b 2时，等号成立隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。:总宝-直)14故一一的最小值为9.a b因为对a,b140,使一+ 2x 1 lxa b所以|2x 1x 19当x1时，2x97 x 1当1 x 丄时，3x 91 x -221当x 时，1x 2 9 x 1122当且仅当b 2a时等号成立，又a b 1即a综上可知x的取值范围是7,11 .1恒成立类型四：不等式相关应用题例4 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道全长2.5千米，(1) 若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽I是多少？(2) 若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高 h和拱宽I ,才能使 半个椭圆形隧道的土方工程最小？(半个椭圆的面积公式为s=|h,柱体体积为：底面积乘以高，_421.414 , - 72.646本题结果均精确到 0.1米)【思路点拨】显然本题是一个椭圆模型的实际问题，应该考虑从椭圆方面入手。【解析】1)建立如图所示直角坐标系，贝UP (11, 4.5 )椭圆方程为:将