Dandelin双球证明定理圆锥曲线

1、平面与圆锥面的截线一、教学目标：1. 知识与内容：（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理 2（2）利用Dandelin双球证明定理2中情况（1）（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解2. 过程与方法：利用现代计算机技术，动态地展现 Dan del in两球的方法，帮助学生利用几 何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于 发现，逻辑用于证明。3情感态度价值观：通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启 发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。二、教学重点难点重点：（1）定理2的证明（2）椭圆准线和离心率的探究难点

2、：椭圆准线和离心率的探究三、教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。生成椭圆的方法 有许多，例如：（1） 圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；（2）椭圆的定义（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数 （0<e<1）的点的轨迹（4）一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；（5）圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图 2x如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。PBD思考：如图3-9 1 , AD是等腰三角形ABC底边上的高, .BAD二:.直线I与AD相交于点P,且与AD的夹角 为1

3、 （0 J :：:）试探究：当与满足什么关系?1 I 与AB或AB的延长线、AC都相交；2 I与AB不相交；3 I与BA的延长线、AC都相交利用几何画板实验探索.如图3-9 2 ,可以有如下结论：1当I与AB或AB的延长线、AC都相交时，设I与AB（或AB的延长线）交于E,与AC交于F.因为是AEP的外角，所以必然有“：_：:;C反之，当“匸二时,I与AB（或AB的延长线卜AC都相交.3当I与BA的延长线、AC都相交时,设I与BA的延长线交于G,D39(2)2当I与AB不相交时，则I /AB,这时有;反之，当时,I/AB,那么I与AB不相交.因为是APG的外角,所以:;如果:,那么I与BA的延

4、长线、AC都相交思考：将图3-9中的等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面，则得到图3-10.会出现如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点 哪些情况呢?如果平面与一条母线平行(相当于图3-9 2中的二：),那么(1) 平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是一条抛物线；如果平面不与母线平行，那么会出现两种情形：(2) 平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为椭圆；(3) 平面与圆锥的两部分都相交，这时的交线叫做双曲线.归纳提升：定理 在空间中，取直线I为轴，直线r与I相交于0点，其夹角为a, I'围绕I旋转得 到以0为顶点，r为母线的圆锥面，任取平面 n，若它与轴I交角为3

5、 ( n与I平行，记住3 = 0),贝V：(1) 3 > a，平面n与圆锥的交线为椭圆；(2) 3 = a，平面n与圆锥的交线为抛物线；(3) 3 V a，平面n与圆锥的交线为双曲线。思考:你能仿照定理1的证明方法证明定理2的结论1吗？问题：利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面n的上方，一个位于平面的下方，并且与平面n及圆锥均相切)证明：3> a,平面n与圆锥的交线为椭圆讨论：点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1).证明1:利用椭圆第一定义，证明 FA+AE=BA+AC=定值，详见课本.证明2：上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与

6、圆锥的底面平行， 记这个圆所在平面为n；如果平面n与平面彳的交线为m,在图中椭圆上任取一点A,该Dandelin 球与平面n的切点为F,则点A到点F的距离与点A到直线m的距离 比是（小于1）.（称点F为这个椭圆的焦点，直线 m为椭圆的准线, 常数为离心率e.）点评：利用可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准.探究:如图3-12,1找出椭圆的准线；2探讨P到焦点F1的距离与到两平面交线 m的距离之比.图 3-12如图3 -12，上面一个Dandelin球与圆锥的交线为圆 S,记圆S,所在的平面为 二 设二与二'的交线为m在椭圆上任取一点P,连接PF1.在二中过P作m的垂线

7、,垂足 为A.过P作二'的垂线,垂足为B,连接AB,则AB是PA在平面二'上的射影.容易证明，m _ AB.故.PAB是平面二与平面二'交成的二面角的平面角.在 Rt ABP中，APB 二所以 PB = PAcos 1 .1设过P的母线与圆S交于点Q1，则在Rt'PQB中,Q1PB,所以 PB 二 PQ2OS： .2由 12 得二 COS .因为 0，故 cos ： : cos ,贝V 二 COS : 1.PA cos。2PA cos®由上所述可知，椭圆的准线为m,椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为 常数co,因此椭圆的离心率为e = co,

8、cos。cos«即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比 讨论：我们延用讨论椭圆结构特点的思路，讨论一下双曲线的结 构特点.图 3-13如图3-13,当一：:时,平面二与圆锥的两部分相交在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面二的两个切点分别是Fi、F2,与圆锥两部分截得的圆分别为S1、S2.在截口上任取一点 P,连接PFi、PF2 过P和圆锥的顶点0作母线，分别与两个球切于 Qi、Q2,则母线P0为两圆的公共切线。又 P在平面n内，F1, F2为平面n内两个切点，因此PF1, PF2,分别为两圆的切线，所以PFi =PQi,PF2 二PQ

9、2.所以 | PFi PF? |=|PQi _PQ2 戶Q1Q2.由于QiQ2为两圆Si、S2所在平行平面之间的母线段长，因此QQ2的长为定值.由上所述可知，双曲线的结构特点是:双曲上任意一点到两个定点即双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为常数.拓展：i .请证明定理2中的结论（2）2. 探究双曲线的准线和离心率3. 探索定理中（3）的证明，体会当B无限接近a时平面n的极限结果四、自我检测练习i. 平面截球面和圆柱面所产生的截线形状是 .分析：联想立体几何及上节所学，可得结论，要注意平面截圆柱面所得的截线的 不同情况.答案：平面截球面所得的截线为圆；平面截圆柱面所得的截线为圆或椭圆；2. 判断

10、椭圆、双曲线、抛物线内一点到焦点距离与到准线距离之比与1的关系？分析：首先通过画图寻找规律，然后加以证明.答案：略.五、课外研究材料材料1.阅读，和你的同学一起探讨文后的问题：运动的天体受向心力和离心力的作用，天体运行的速度不同，它所获得的合 力也不同，这样就导致形成不同的运行轨道，如人造卫星发射的速度等于或大于 7.9km/s （第一宇宙速度即环绕速度）时，它就在空中沿圆或椭圆轨道运行；当 发射的速度等于或大于11.2 km/s （第二宇宙速度即脱离速度）时，物体可以挣 脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其它行星上去；当速度等于或大于16.7 km/s （第三宇宙速度即逃逸速度

11、）时，物体将挣脱太阳引力的束 缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。例如：人造卫星、行星、慧星等由于运动的 速度的不同，它们的轨道是圆、椭圆、抛物线或双曲线。（1）从天体运行的轨迹看，圆锥曲线也存在着统一，难道在冥冥宇宙中， 有什么神奇的力量，使天体运行也遵循着一种统一的规律吗？（2）邀请你们的物理老师、地理老师，请他们上一节天体运行课，更深入 的理解圆锥曲线材料2.圆锥截线，是一个平面截正圆锥面而得到的曲线.设圆锥轴截面母线与轴的夹角为a，截面和圆锥的轴的夹角为二当截面不过顶点时，（1）当a时，即截面和一条母线平行时，交线是抛物线；（2）当aVV 时，即截面不和母线平行，且只和圆锥面的一叶相交时,2交线是椭圆特别地，当，即截面和圆锥面的轴垂直时，交线是圆.2（3）当0W二V a时，即截面不与母线平行，且和圆锥面的两叶都相交时，交线是双曲线.当截面过顶点时，（1）当r=a时，截面和圆锥面相切，交线退化为两条重合直线.（2）当aVW丄时，截面和圆锥面只相交于顶点，交线退化为一个点.2（3）当OW v Va时，截面和圆锥面相交于两条母线，交线退化为两条相交 直线.前一类情况中，抛物线、椭圆（包含圆）和双曲线这