2022年2022年高考圆锥曲线经典真题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载高考圆锥曲线经典真题学问整合：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题.压轴题显现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题.最值问题.对称问题.轨迹问题等. 突出考查了数形结合.分类争论.函数与方程.等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的才能.运算才能较高,起到了拉开考生“档次”,有利精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于选拔的功能 .1. （江西卷 15）过抛物线2x 2 py p0 的焦点 f 作倾角为 30o 的直线,与抛物线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载af1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2分

2、别交于 a . b 两点（ a 在 y 轴左侧）,就fb 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 2021年安徽卷 如过点a4、0的直线 l 与曲线 x线 l 的斜率的取值范畴为2 2y 1 有公共点 、 就直精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 、3 3 、3 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.3、3b.3、3c.33d.33精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载32021年海南 -宁夏卷 设双曲线916的右顶点为 a、 右焦点为 f、 过点 f精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

3、载平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点b、 就三角形afb 的面积为 - .热点考点探究：考点一：直线与曲线交点问题例 1. 已知双曲线 c： 2x2y2=2 与点 p1 ,2(1) 求过 p1 ,2 点的直线 l的斜率取值范畴,使l与 c分别有一个交点,两个交点,没有交点 .解： 1 当直线 l的斜率不存在时, l的方程为 x=1、 与曲线 c 有一个交点 . 当 l第1页 共12页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的斜率存在时,设直线l的方程为 y2=kx 1、 代入 c的方程,并整理得2 k2x2+2k2 2kx k2+4k 6=0* 当 2 k2=0、 即 k=

4、77;2 时,方程 *有一个根, l与 c有一个交点 当 2 k2 0、 即 k±2 时 =2k2 2k 242 k2 k2+4k 6=163 2k3当 =0、 即 3 2k=0、k= 2 时,方程 *有一个实根, l与 c有一个交点 .33当 0、 即 k 2 、 又 k±2 、 故当k2 或2 k2 或2 k 2时,方程 *有两不等实根, l与 c有两个交点 .3当 0,即 k 2 时,方程 *无解, l与 c无交点 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3综上知：当 k=±2 、 或 k= 2,或 k 不存在时, l与 c只有一个交点；精品学习资料

5、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3当2 k 2、 或2 k2 、 或 k2 时, l与 c 有两个交点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3当 k 2时, l与 c没有交点 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 假设以q 为中点的弦存在,设为ab,且ax1、y1、bx2、y2, 就 2x12y12=2、2x22 y22=2 两式相减得： 2x1 x2x1+x2=y1y2y1+y2 又 x1+x2=2、y1+y2=2 2x1 x2=y1 y1精品学习资料精选学习资料 - -

6、 - 欢迎下载y1即 kab=x1y2x2 =2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载但渐近线斜率为±2 、 结合图形知直线ab与 c无交点,所以假设不正确,即以q为中点的弦不存在 .第2页 共12页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 如 q1, 1 ,试判定以 q为中点的弦为否存在 .考点二：圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系.相互制约的变量,从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系,此时,用函数思想与函数方法处理起来非常便利；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2直线 m ：ykx1和双曲线x 2y

7、21 的左支交于 a.b 两点,直线 l 过 p（2、0 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载和 ab线段的中点 m,求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范畴；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：由ykx1 xx 2y 211消去 y得 k 21 x22 kx20 ,由题意,有：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4k 22xx812kk 2 00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x1 x21k 221k 201k0x x1x22y kx12k1k21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 m（x0 、 y0 ）,就00k、11k

8、2b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 p（2、0 ）.m（ 1k 21k 2 ）.q（ 0、 b ）三点共线,可求得2k 2k2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 f k2k 2k22k1 24178 ,就f k 在 1、2 上为减函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 f 2f k f 1 ,且f k 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以22 f k1所以 b22 或 b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点三：弦长问题涉及弦长问题,应娴熟地利用韦达定理设而不求运算弦长,涉及垂直关系往往也为利用韦达定理,设而不求

9、简化运算.第3页 共12页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3. 如下列图, 抛物线 y2=4x 的顶点为 o,点 a 的坐标为 5 ,0 ,倾斜角为 4 的直线 l与线段 oa相交 不经过点 o或点 a 且交抛物线于 m.n两点,求 amn面积最大时直线 l的方程,并求 amn的最大面积 .解：由题意,可设l的方程为 y=x+m、 5m 0.2yxm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由方程组y4 x、 消去 y、 得 x2+2m 4x+m2=0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直线 l与抛物线有两个不同交点m.n,方程的判别式 =2m42 4m2=16

10、1 m 0、解得 m 1、 又 5 m 0、 m的范畴为 5, 0设 mx1、y1、nx2、y2就 x1+x2=42m, x1· x2=m2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 |mn|=421m .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5m点 a 到直线 l的距离为 d=2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s=25+m1m 、 从而 s2=41 m5+m2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22m5m5m=22 2m·5+m5+m 233=128. s 82 、 当且仅当 22m=5+m即、m= 1 时取等号 .故直线 l的方

11、程为 y=x 1, amn的最大面积为 82 .考点 4：圆锥曲线关于直线对称问题例4.已知椭圆的中心在圆点、 一个焦点为f2、0、且两条准线间的距离为4 、(i) 求椭圆的方程 ;(ii) 如存在过点 a1、0的直线 l 、 使点 f 关于直线 l 的对称点在椭圆上 、 求的取值范畴 .第4页 共12页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222xy1ab0【解析】 i设椭圆的方程为 ab2a 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c由条件知2、且cx2、 所以 ay 2、 b2a2c24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故椭圆的方程为144精品学习资料精选

12、学习资料 - - - 欢迎下载ii依题意 、 直线 l 的斜率存在且不为0、 记为 k 、 就直线 l 的方程为yk x1 、 设精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lf / x、 y 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 f2、0关于直线的对称点为00、 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y0k x021x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22解得01k 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y0k1x022ky01k 212 2k22k21k2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f / x 、 y 41精品学习资料精选

13、学习资料 - - - 欢迎下载由于00在椭圆上 、 所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即4 k426k 24 20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2故 kt 、 就4t 24 226t4 20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4、 所以由于04精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2624430、260、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为 、 当且仅当4*精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上述方程存在正实根 、 即直线 l 存

14、在 .16 、16精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解*得3所以4463416精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即的取值范畴为3规律总结1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时、 应将直线 l 方程与圆锥曲线c 的方程联立 、第5页 共12页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载消去 y 也可消去 x 得一个关于变量 x 的一元方程ax 2bx20.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 a0 时、 如有0、 就 l 与 c 相交; 如0、 就 l 与 c 相切; 如0 、 就 l 与 c 相离.当 a0 时、 得到一个一元一次方程、 如方程有解 、 就有直

15、线 l 与 c相交、 此时只有一个公共点 ; 如 c 为双曲线 、 就 l 平行于双曲线的渐近线 ; 如 c 为抛物线 、 就 l 平行于抛物线的轴 . 所以只有当直线与双曲线.抛物线只有一个公共点时 、 直线与双曲线.抛物线可能相切 、 也可能相交 .2. “设而不求”的方法如直线 l 与圆锥曲线 c 有两个交点 a 和 b 时、 一般地 、 第一设出交点 a x1、 y1 .b x2 、 y2 、它们为过渡性参数、 不须求出 、 有时运用韦达定懂得决问题、 有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 韦达定理与弦长公式斜率为 k 的直线被

16、圆锥曲线截得弦ab、如 ax1 、 y1 、bx2 、 y2 就 | ab | | x1x2 |1k 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2| y1y2 |11 k0k、 然后再结合韦达定理可求出弦长等.专题才能训练：一.挑选题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 21. 斜率为 1 的直线 l与椭圆 4+y2=1 相交于 a.b 两点,就|ab| 的最大值为 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载45410810精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.2b.5c. 5d. 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 抛物线 y=ax2 与直

17、线 y=kx+bk 0 交于 a.b 两点,且此两点的横坐标分别为x1、x2、直线与 x 轴交点的横坐标为x3、 就恒有 a.x3=x1+x2b.x1x2=x1x3+x2x3第6页 共12页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c.x1+x2+x3=0d.x1x2+x2x3+x3x1=02245t4101. 解析：弦长 |ab|=55.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案： c2. 解析：解方程组代入验证即可 . 答案： byax2ykxk b 、 得 ax2kx b=0、 可知 x1+x2= ab、x1x2= ab、x3= k 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

18、迎下载x23. 斜率为 2 的直线 l 过双曲线 a 2y2b21a0、 b0的右焦点 、 且与双曲线的左.右精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两支分别相交 、 就双曲线的离心率 e 的取值范畴为 d 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. e2b. 1e3c.1e5d.e5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 过点 a4、0的直线与抛物线2y4 x 交于另外两点b.c、o 为坐标原点 、 就三角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载形 boc 为 c a. 锐角三角形b. 钝角三角形c.直角三角形d.

19、 外形不确定二.填空题555. 已知两点 m1,4 .n 4, 4 ,给出以下曲线方程： 4x+2y1=0、 x2+y2=3、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2x2 2+y2=1、 2 y2=1、 在曲线上存在点p 满意 |mp|=|np| 的全部曲线方程为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 . 解析：点 p 在线段 mn的垂直平分线上,判定mn的垂直平分线于所给曲线为否存在交点 .答案：6. 正方形 abcd的边 ab在直线 y=x+4 上,c.d两点在抛物线y2=x 上,就正方形第7页 共12页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abcd的面积为 .7

20、. 在抛物线y2=16x内,通过点 2 , 1 且在此点被平分的弦所在直线的方程为 .6 解析：设 c.d所在直线方程为 y=x+b、 代入 y2=x、 利用弦长公式可求出 |cd| 的长,利用 |cd| 的长等于两平行直线 y=x+4 与 y=x+b 间的距离,求出 b 的值,再代入求出 |cd| 的长 .答案： 18 或 507. 解析：设所求直线与y2=16x 相交于点 a.b,且 ax1、y1、bx2、y2、代入抛物线方程得 y12=16x1、y22=16x2、两式相减得, y1+y2 ） y1 y2=16x1 x2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y1y2即 x1x21

21、6y1y2kab=8.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故所求直线方程为y=8x 15.答案： 8xy 15=0三.解答题8. 已知抛物线y2=2pxp 0、 过动点 ma、0 且斜率为 1 的直线 l与该抛物线交于不同的两点a.b,且|ab| 2p.1求 a 的取值范畴 .2如线段 ab的垂直平分线交x 轴于点 n,求 nab面积的最大值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载219. 知中心在原点,顶点a1.a2 在 x 轴上,离心率 e=3的双曲线过点p6,6.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第8页 共12页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

22、载(1) 求双曲线方程 .(2) 动直线 l经过 a1pa2的重心 g,与双曲线交于不同的两点m.n,问：为否存在直线 l、使 g平分线段 mn,证明你的结论 .10. 已知双曲线c 的两条渐近线都过原点,且都以点a2 ,0 为圆心, 1 为半径的圆相切,双曲线的一个顶点a1与 a 点关于直线 y=x 对称 .(1) 求双曲线 c 的方程 .(2) 设直线 l过点 a,斜率为 k、 当 0k 1 时,双曲线 c的上支上有且仅有一点 b 到直线 l的距离为2 ,试求 k 的值及此时 b 点的坐标 .x2y2111. 已知过双曲线方程42(1) 过 m1、1 的直线交双曲线于a.b 两点、 如 m

23、为弦 ab的中点 、 求直线 ab的方程;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 为否存在直线 l 、 使n 1、1 2为 l 被双曲线所截得弦的中点、 如存在 、 求出直线 l 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方 程 ; 如 不 存 在 、 请 说 明 理 由 . 8 解： 1 设直线 l的方程为： y=xa、 代入抛物线方程得 x a2=2px、 即 x2 2a+px+a2=0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 |ab|=24ap24a2 2p. 4ap+2p2 p2、 即 4ap p2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p又 p 0、

24、a 4 .2 设 ax1、y1.bx2、y2,ab的中点 cx、y、由1 知, y1=x1 a、y2=x2 a、x1+x2=2a+2p、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1x2就有 x=2ap、 yy1y22x1x2 22a=p.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线段 ab的垂直平分线的方程为y p= x ap、 从而 n点坐标为 a+2p、0 ）第9页 共12页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| a点 n到 ab的距离为2 pa |2 p2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1从而 s nab=2

25、24ap24a22 p2 p2app2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p当 a 有最大值 4时, s 有最大值为2 p2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 229. 解： 1 如图,设双曲线方程为ay 26222b=1. 由已知得 a61、 e22b2a2b 2a2213 、 解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载得 a2=9、b2=12.x 2y2所以所求双曲线方程为912 =1.2p .a1.a2 的坐标依次为 6、6.3 , 0 . 3, 0）,其重心 g的

26、坐标为 2 , 2）2假设存在直线 l ,使 g2,2 平分线段 mn,设 mx1、y1 , nx2、y2.就有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2212x19 y1108精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载212x29 y2108y1y2124精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1x24y1y24x1x2934, kl=3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 l的方程为 y= 3x 2+2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12x 29 y 2

27、108精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y4 x2由3、 消去 y、 整理得 x24x+28=0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 =16 4× 28 0、 所求直线 l不存在 .|2k |210. 解： 1 设双曲线的渐近线为y=kx、 由 d=k1 =1、 解得 k=±1.第10页 共12页精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即渐近线为 y=± x、 又点 a 关于 y=x 对称点的坐标为 0 ,2 . a=2 =b、 所求双曲线 c的方程为 x2 y2=2.2 设直线 l ：y=kx 2 0 k 1 、 依题意 b 点在平

28、行的直线l 上,且 l与l 间的距离为2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载|2km |2设直线 l ： y=kx+m、应有k12、 化简得 m2+2 2 km=2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载把 l 代入双曲线方程得 k2 1x2+2mkx+m2 2=0、由 =4m2k2 4k2 1m2 2=0. 可得 m2+2k2=2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 . 两 式 相 减 得k=2 m、 代 入 得m2=510、 解 设m=525、k=5、 此 时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mkx= k 2122、y=10 . 故 b22 、10 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11. 解析1 设ax1、y1、 b x2 、 y2 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m x1就x2x2 、 y12y2y2 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载111就有 42x2y2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22142.精品学习资料精选