概率3_二元随机变量与相关性

1、概率论基础（）2009年3月山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性1二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性2一、多维随机变量（随机向量）二、二维随机变量的特征数u 协方差u 相关系数三、样本相关系数的计算u 皮尔逊积矩相关系数u 斯皮尔曼等级相关系数相关概念相关概念山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性3n维随机变量（随机向量）的形式：n维随机变量的联合分布函数：二维离散型随机变量的联合分布列：二维连续型随机变量的联合分布函数：1

2、2()(),(),()nXXXX121122(,)(,)nnnF x xxP Xx XxXx(,),1,2,ijijpP Xx Yyi j，( ,)( , )xyF x yp u v dvdu 二维随机变量的二维随机变量的协方差协方差山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性4设（X，Y）是一个二维随机变量，如果存在，则称其为X与Y的协方差，或称为X与Y的相关（中心）矩，并记为 特别地：协方差 0，称X与Y正相关，即同增同减；协方差 0 ；当Corr(X,Y)=1，有a0。1(, )1Corr X Y 1不相关与独立不相关与独立山西大学数学科学学院山西大学

3、数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性8一般场合，独立必然导致不相关，但不相关推不出独立。但在正态场合下两者等价。TH. 在二维正态分布 场合，不相关与独立是等价的。221212(, )N 相关与因果相关与因果山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性9两变量有较强的相关关系（相关系数较大），并不意味着两者之间有因果关系。例如某年的降雨量与出生率有很强的相关性，但不能说高降雨量导致了高出生率，也不能说高出生率导致了高降雨量。即使两者有因果关系，也要特别注意：导致一件事情发生的原因很多，不能说完全由它引起，所以要进一步考虑多元线性回归问题。相关

4、性的相关性的描述与表示描述与表示山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性10变量间的两类基本关系：确定性关系与相关关系。前者可以用函数关系表示出来，但后者没有确切的函数关系。例如身高与体重的关系，相关但不确定。相关关系又分为线性相关与非线性相关。（图略）根据两变量变化的同向性，可以分为正相关与负相关；根据线性相关的强弱又可分为强相关和弱相关。相关但不线性相关称为非线性相关。没有任何相关关系称为不相关。只有线性相关的两变量我们才能做线性回归。相关性的相关性的量化量化山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性11前面所讲

5、的协方差和相关系数是两个基本的相关性指标。以下讲：1、皮尔逊积矩相关系数Pearson product-moment correlation coefficient2、斯皮尔曼等级相关系数Spearman rank correlation coefficient皮尔逊积矩皮尔逊积矩相关系数相关系数山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性12适应于正态样本，满足相关系数的一般性质。计算公式：显然，两样本容量应该相同。1111222211111iiijNxyiNNNiiijiijNNNNiiiiiiiixyijz zrNNx yyNNzzxyxxyxy 其中

6、，和分别表示 和 的标准分。皮尔逊积矩皮尔逊积矩相关系数的相关系数的假设检验假设检验山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性131、陈述原假设与备择假设：2、设定显著性水平alpha；3、计算检验统计量r（如两变量服从正态分布）；4、查“检验表”，的临界值C;5、拒绝域为：010101:0:0,:0:0,:0:0HHHHHH2WCrWrCWrC因为原假设中选用总体分布的相关系数，因此属于参数假设检验。皮尔逊积矩皮尔逊积矩相关系数相关系数示例示例山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性14考察两位教师的判分标准是否一

7、致。（P127）两位教师对20个学生的英语作文判分给出，通过计算两组分数的相关系数，来考察之间的相关性。作文编号1-20教师甲的分数总分1（256）平方和1（3498）教师乙的分数总分2（265）平方和2（3713）相应分数相乘后求和（3534）皮尔逊积矩皮尔逊积矩相关系数相关系数示例（续）示例（续）山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性15相关系数计算式为：11122221111222035342562652034982562037132650.672NNNiiijiijNNNNiiiiiiiiNx yyrNNxxyxy 正值，且接近于1。斯皮尔曼等

8、级斯皮尔曼等级相关系数相关系数山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性16适应于顺序样本，首先计算出样本的相应等级。计算公式：等级的确定：从小到大升序排列，最小的数等级为1，依次递增，如遇并列数据则取他们所在等级的平均数。注意：过多的并列数据可能导致过高估计相关系数。此时，一种更精确的方法是计算等级序列的Pearson相关系数。21261,(1)NiisidrdN N 为相应等级之差。斯皮尔曼等级斯皮尔曼等级相关系数的相关系数的假设检验假设检验山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性171、陈述原假设与备择假设：2

9、、设定显著性水平alpha；3、计算检验统计量 （如两变量服从正态分布）；4、查“检验表”，的临界值C;5、拒绝域为：010101:0:0,:0:0,:0:0rrrrrrHHHHHH2sssWrCWrCWrC因为不涉及总体分布和总体分布参数，因此属于非参数假设检验。sr斯皮尔曼等级斯皮尔曼等级相关系数相关系数示例示例山西大学数学科学学院山西大学数学科学学院二维随机变量与相关性二维随机变量与相关性18同前例（P130）。数据如下：T甲R1T乙R2dT甲R1T乙R2d171715151314121581210715171816151615127716161014101612101010111519151413981811214.514.515.59.581219.59.56.519.516.51.59.54.512.5814.59.55.51914.5175.55.520312.512.51.516.56.516.516.54.512.5