检测与估计理论-第二章

1、1 目录目录概论概论第一章第一章 信号的矢量与复数表示信号的矢量与复数表示第二章第二章 噪声和干扰噪声和干扰第三章第三章 假设检验假设检验第四章第四章 确知信号的检测确知信号的检测第五章第五章 具有随机参量信号的检测具有随机参量信号的检测第八章第八章 信号的参量估计信号的参量估计第九章第九章 信号参量的最佳线性估计信号参量的最佳线性估计2 噪声和干扰噪声和干扰u噪声：与有用信号无关的一些破坏性因素；噪声：与有用信号无关的一些破坏性因素；如：通信中的各种工业噪声、交流声、脉冲噪声、银河系如：通信中的各种工业噪声、交流声、脉冲噪声、银河系噪声、大气噪声、太阳系噪声、热噪声等；噪声、大气噪声、太阳系

2、噪声、热噪声等；u干扰：与有用信号有关的一些破坏性因素；干扰：与有用信号有关的一些破坏性因素；符号间干扰符号间干扰ISI (Inter-symbol Interference)ISI (Inter-symbol Interference)多址干扰多址干扰MAI (Multiple Access Interference) MAI (Multiple Access Interference) 共信道干扰共信道干扰(Co-channel Interference)(Co-channel Interference)多小区干扰、邻信道干扰多小区干扰、邻信道干扰ACI (Adjacent Cell In

3、terference or ACI (Adjacent Cell Interference or Adjacent Channel Interference)Adjacent Channel Interference)人为干扰等；人为干扰等； 3 信号信号u信号信号荷载信息的一个时间波形或其他函数；荷载信息的一个时间波形或其他函数；随机信号：一些参数受所荷载信息支配；随机信号：一些参数受所荷载信息支配；u噪声和干扰噪声和干扰用随机过程的理论来描述噪声和干扰；用随机过程的理论来描述噪声和干扰；随机过程的复表示；随机过程的复表示；4 噪声和干扰噪声和干扰第一节第一节 随机噪声随机噪声第二节第二节

4、高斯噪声高斯噪声第三节第三节 复高斯过程复高斯过程5 随机噪声随机噪声u在电子信息系统中，描述噪声的统计特性的数学模型在电子信息系统中，描述噪声的统计特性的数学模型有很多种，其中十分重要、也是最常用的数学模型是有很多种，其中十分重要、也是最常用的数学模型是时域的高斯噪声和频域的白噪声时域的高斯噪声和频域的白噪声；6 白噪声白噪声u噪声过程的频域描述是其功率谱密度；噪声过程的频域描述是其功率谱密度；u随机噪声：随机噪声：u如按平稳噪声过程如按平稳噪声过程n(t)的功率谱密度分类，在理论和的功率谱密度分类，在理论和实际中具有重要意义的是经过理想化的白噪声；实际中具有重要意义的是经过理想化的白噪声；

5、u白噪声：白噪声：u白噪声可以定义为均值为白噪声可以定义为均值为0 0，自相关函数为，自相关函数为 函数的噪函数的噪声随机过程；声随机过程；)()(ft00( )( )2( )2NtNf 7 热噪声热噪声u热噪声的功率谱：热噪声的功率谱：其中：其中： 是噪声器件的电导率，是噪声器件的电导率，R R是其电阻；是其电阻； 是玻尔兹曼常数；是玻尔兹曼常数； 是绝对温度；是绝对温度； 是噪声器件中电子的平均碰撞率；是噪声器件中电子的平均碰撞率； u热噪声：热噪声：在在 ， 范围内功率范围内功率谱是平坦的；谱是平坦的；噪声的单边功率谱为：噪声的单边功率谱为： 2)2(12)(fKTGf1 RG161.3

6、8 10/K尔格 度1410KT013410( 10)HzGHz13410(10)HzGHzKTGN208 白噪声的特性白噪声的特性u白噪声在频域上的功率谱密度为均匀分布，在时域上白噪声在频域上的功率谱密度为均匀分布，在时域上的自相关函数是的自相关函数是 函数，因此函数，因此任意两个时刻的随机变任意两个时刻的随机变量量n(ti)和和n(tj)是不相关的是不相关的；u如果一个噪声过程时域的随机变量的概率密度函数是如果一个噪声过程时域的随机变量的概率密度函数是高斯分布，频域的功率谱密度是均匀分布，则称这样高斯分布，频域的功率谱密度是均匀分布，则称这样的噪声过程是的噪声过程是高斯白噪声过程高斯白噪声

7、过程；u高斯白噪声过程的重要特性：高斯白噪声过程的重要特性：任意两个或两个以上时刻的随机变量任意两个或两个以上时刻的随机变量n(tk)(k=1,2,)不仅不仅是是互互不相关不相关的，而且是相互的，而且是相互统计独立的统计独立的；9 有色噪声有色噪声u有色噪声：有色噪声：如果噪声过程的功率谱密度在频域上的分布不是均匀分布，如果噪声过程的功率谱密度在频域上的分布不是均匀分布，则称为有色噪声。则称为有色噪声。在有色噪声中通常采用具有高斯功率谱密度的模型，即在有色噪声中通常采用具有高斯功率谱密度的模型，即2002()( )( )exp()2nfffff 1020N20)(2fHN)( fH)(th线性

8、滤波器线性滤波器 白族噪声白族噪声u当滤波器是由电阻、电容、电感组成时，线性系统的当滤波器是由电阻、电容、电感组成时，线性系统的传输函数为：传输函数为：11()( )Re0,Re0()MlllkNkkfjhH fhmNMfjm11 白族噪声白族噪声u噪声的功率谱为：噪声的功率谱为：u这样产生的噪声称为白族噪声。这样产生的噪声称为白族噪声。2201221()( )Re0,Re02()MllnlkNkkfhNfhmNMfm12 白化滤波器白化滤波器u若有色噪声的功率谱密度是频率的若有色噪声的功率谱密度是频率的有理函数有理函数 ，就可以将它分，就可以将它分解成：解成：其中的零极点全部位于实轴之上；其

9、中的零极点全部位于实轴之上；物理可实现网络的传输函数。物理可实现网络的传输函数。u白化滤波器：白化滤波器：*0( )( )( )2NfH f Hf 0( )2Nf1( )Hf20( )( )2NfH f白族噪声白族噪声 白噪声白噪声 13 噪声和干扰噪声和干扰第一节第一节 随机噪声随机噪声第二节第二节 高斯噪声高斯噪声第三节第三节 复高斯过程复高斯过程14 中心极限定理中心极限定理 u在一般条件下，在一般条件下，NN个相互统计独立的随机变量个相互统计独立的随机变量nk之和之和 在在NN时，其概率密度函数趋于高斯分布，时，其概率密度函数趋于高斯分布，而不管每个变量的具体分布如何。而不管每个变量的

10、具体分布如何。u实际上只要实际上只要NN足够大，每个分量之间不一定完全统计足够大，每个分量之间不一定完全统计独立，但不存在占支配地位的若干分量，则它们和的独立，但不存在占支配地位的若干分量，则它们和的分布就可近似为高斯分布。分布就可近似为高斯分布。u在电子信息系统中，噪声服从高斯分布在许多情况下在电子信息系统中，噪声服从高斯分布在许多情况下是合理的。是合理的。1Nkinn15 高斯噪声高斯噪声u随机噪声一维概率分布必然是高斯分布：随机噪声一维概率分布必然是高斯分布： 是随机过程是随机过程 在某一时刻的样值；在某一时刻的样值； 是该样值的均值是该样值的均值, , ； 是该样值的方差，是该样值的方

11、差， 。 xN(m, 2) 221/221( )(2)exp2p xxmx( )n tm( )mE x22Var( )x16 高斯分布高斯分布u正态分布是应用最广泛的一种连续正态分布是应用最广泛的一种连续型分布；型分布；u德莫佛最早发现了二项概率的一个德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面；分布的首次露面；u正态分布在十九世纪前叶由高斯加正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布以推广，所以通常称为高斯分布德莫佛德莫佛17 高斯分布高斯分布up (x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线：正态曲线：2( ,)

12、XN m记作：记作： 22()21( ),2x mp xex 其中：其中： 和和 都是常数，都是常数， 任意，任意， 00，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. . 2mm2m18 高斯分布高斯分布u高斯分布的特性：高斯分布的特性：u正态分布正态分布 图形特点图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于m 对称的钟形曲线；对称的钟形曲线； 特点是特点是“两头小，中间大，左右对两头小，中间大，左右对称称”；(1)( )0(2)( )1p xp x dx2( ,)XN mm19 高斯分布高斯分布u正态分布正态分布 的图形特点的图形特点um决定了图形的中

13、心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度决定了图形中峰的陡峭程度. .2( ,)XN mm1 m2 m320 高斯分布高斯分布u当当x 时，时，p(x) 0,u这说明曲线这说明曲线 p(x)向左右伸展时，越来越贴近向左右伸展时，越来越贴近x轴。轴。 即即p (x)以以x轴为轴为渐近线渐近线。22()21( ),2x mp xex 21 高斯噪声高斯噪声uNN维矢量的高斯分布：维矢量的高斯分布： 令：令： 高斯矢量；高斯矢量； 协方差矩阵协方差矩阵 则：则：12,.,TNx xxx =12,.,TNm mmm, Tk lN NE xmxm1/2/211( )(2 )exp2NTp

14、xxmxm 22 特征函数特征函数u概率密度函数是随机变量的统计特性的完整数学描述；概率密度函数是随机变量的统计特性的完整数学描述；u求相互独立的随机变量之和的概率密度函数时，特征求相互独立的随机变量之和的概率密度函数时，特征函数非常有用；函数非常有用；u可以利用特征函数求随机变量的各阶矩；可以利用特征函数求随机变量的各阶矩；23 特征函数特征函数uNN维随机矢量的特征函数：维随机矢量的特征函数： 其中：其中：u特征函数与概率密度函数之间是一对傅氏变换关系特征函数与概率密度函数之间是一对傅氏变换关系即：即： 1( )expTTNjjkkkhE eE eEjxxx12,.TN ( )( )phx

15、( )( )Tjhped xxx1( )( )2Tjphed xx24 特征函数的性质特征函数的性质u特征函数存在的必然性特征函数存在的必然性u 随机变量线性变换的特征函数随机变量线性变换的特征函数 y=ax+b hy(w)=hx(aw)exp(jwb)( )( )( )( )1jwxjwxh wp x edxp x edxp x dx25 特征函数的主要性质特征函数的主要性质u相互独立的随机变量之和的特征函数相互独立的随机变量之和的特征函数12112( )( )( ) .( )( )( )().()NNiiyxxxNyxh whwhwhwp yp xp xp x26 例例u求两个相互独立的高

16、斯随机变量和的分布求两个相互独立的高斯随机变量和的分布x1N(0,1)，x2N(0,1)求求 y=x1+x2u解：解：121112222212112222( )( )( )( )exp()()exp()11exp()exp()exp()exp()2222exp()1( )( )exp()21exp()42yxxyh whwhwp xjwx dxp xjwx dxxxjwx dxjwx dxwp yh wjwy dwy27 特征函数和矩之间的关系特征函数和矩之间的关系000()( )( )( )exp()( )( )exp()( )( )exp()( )( )( )( )()( )exp()()

17、mmwwmmmwwmE xx p x dxh wp xjwx dxdh wjxp xjwx dxdwdh wjxp xjwx dxdwdh wjxp x dxE xdwd h wjx p xjwx dxE xdw 28 特征函数和矩之间的关系特征函数和矩之间的关系u特征函数和矩之间关系：特征函数和矩之间关系：12121212121(,.,).TNNMkkkMjNNkkkNNiid h j E x xx edddkM x12121212120(,.,).NNMkkkMNNkkkNd h E x xxjddd29 高斯矢量的特征函数高斯矢量的特征函数1/2/21121/2/211111(,.,)(

18、2 )exp221(2 )exp()21()exp21exp21exp2NTTNNTTTTTNNNkkkkllkklh jdjjdjjjm xmxm xxxmxmx m m30 高斯过程的矩函数高斯过程的矩函数u当当m=0=0时；时；1221.0KE x xx K K为任意整数为任意整数1212E x x1234123413241423E x x x x 31 高斯随机矢量高斯随机矢量u高斯随机矢量之和仍是高斯矢量，不管它们是否相互高斯随机矢量之和仍是高斯矢量，不管它们是否相互独立；独立；u由于积分是求和的极限，因此对高斯矢量任何线性运由于积分是求和的极限，因此对高斯矢量任何线性运算的积分，其

19、概率密度仍是高斯型的。算的积分，其概率密度仍是高斯型的。u如果一个线性系统的输入是高斯随机过程，其输出也如果一个线性系统的输入是高斯随机过程，其输出也是高斯过程；是高斯过程；32 噪声和干扰噪声和干扰第一节第一节 随机噪声随机噪声第二节第二节 高斯噪声高斯噪声第三节第三节 复高斯过程复高斯过程33 复高斯过程复高斯过程u 若若 高斯过程；高斯过程； 则则 高斯过程。高斯过程。 称称 复高斯过程复高斯过程u令：令： 则则 是是MM维复高斯矢量；维复高斯矢量； ( )n t( )n t( )( )( )n tn tjn t( ),1, 2,.,mmzn tttmM12.TMz zzZ34 复高斯矢量复高斯矢量u定义：定义： 称为复高斯矢量，如果满足下面称为复高斯矢量，如果满足下面条件：条件： 和和 是实高斯随机变量；是实高斯随机变量； ,1,2,.,mmmzxjymMmxmymmmmE zxjy*,1 2mmnnm nX mnY mnEzzj,mmnnmmnnX mnExxxxEyyyy,()()()()mmnnmmnnY mnEyyxxExxyy 12.TMz zzZ35 复高斯矢量的概率密度函数复高斯矢量的概率密度函数u