高考数学试题精选1

1、高考数学试题精选1 一、选择题（每小题5 分，共 60 分）1.（2003 年北京）已知 、是平面， m、n 是直线，下列命题中不正确的是a.若 mn，m，则 nb.若 m， =n，则 m nc.若 m，m，则 d.若 m，m ，则 解析：如图，设平面且 m，mnm，但 mn 不成立（异面）. 答案： b 2.将正方形abcd 沿对角线bd 折成一个120的二面角，点c 到达点c1，这时异面直线ad 与 bc1所成角的余弦值是a. 22b. 21c. 43d. 43解析：由题意易知abc1是 ad 与 bc1所成的角，解abc1，得余弦为43.选 d. 答案： d 3.一个长方体共一顶点的三个

2、面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长为a.23b.32c.6 d.6解析：设长宽高为a、b、c，则312632222cbaacbcabl=6，选 d. 答案： d 4.已知 l、m、n 是直线， 、是平面，下列命题中是真命题的是a.若 m，n，则 mnb.设l 是直二面角，若ml，则 mc.若 m、n 在内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则 n或 nd.设 m、n 是异面直线，若m，则 n 与相交解析：当 m ，n时， m、n 可相交、平行、异面，l是直二面角， ml，m 可在 内.若 m、n 异面， m，则 n或 n或 n与 相交 . 答案： c 5.（2003 年春季北京）

3、如图，在正三角形abc 中， d、e、f 分别为各边的中点，g、h、i、j 分别为 af、ad、be、de 的中点 .将 abc 沿 de、ef、df 折成三棱锥以后，gh 与 ij 所成角的度数为a b c de f ghija.90b.60c.45d.0解析：平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取 ef 的中点 m， 连结 im、 mj， 则 mj21fd，gh21fd， mjgh， ijm 为异面直线gh 与 ji 所成的角 . dmhij eg()a,b,cf由已知条件易证mji 为正三角形 . ijm=60. 答案： b 6.如图，点 p 在正方形abcd 所在的平面外，pd平面 abc

4、d，pd=ad，则 pa 与 bd 所成角的度数为p a b c d a.30b.45c.60d.90答案： c 7.正方体 abc d abcd 的棱长为a，ef 在 ab 上滑动，且 |ef|=b（ba） ，q 点在dc上滑动，则四面体a efq 的体积为a.与 e、f 位置有关b.与 q 位置有关c.与 e、f、q 位置都有关d.与 e、f、q 位置均无关，是定值解析： vaefq=vqaef. aadbcbcde f q答案： d 8.（理）高为 5，底面边长为43的正三棱柱形容器（下有底） ，可放置最大球的半径是a. 23b.2 c.223d.2解析：过球心作平行于底的截面，r=23

5、tan30=2. r23答案： b （文） （ 2004 年全国）三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点o，点 p 到三个平面的距离比为123，po=214，则 p 到这三个平面的距离分别是a.1，2，3 b.2，4，6 c.1，4，6 d.3，6，9 答案： b 9.二面角 l 的平面角为120， a、bl， ac，bd，acl，bd l，若ab=ac=bd=1，则 cd 的长为a.2b.3c.2 d.5答案： b 10.在 abc 中， ab=ac=5，bc=6，pa平面 abc，pa=8，则 p 到 bc 的距离为a.5b.25c.35d.45解析：取 bc 的中点 e，连结 ae、

6、pe，由 aebc 知 pebc，即 pe 为点 p 到 bc 的距离 . 答案： d 11.条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件解析：乙甲，但甲乙，例如四棱锥sabcd 的底面 abcd 为菱形，但它不是正四棱锥. abcds答案： b 12.已知棱锥的顶点为p，p 在底面上的射影为o，po=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交po 于点 m，并使截得的两部分侧面积相等，设om=b，则 a 与 b 的关系是a.b=（21）a b.b=（2+1）a c.b=222

7、ad.b=222a解析：由平行锥体底面的截面性质，知popm=22，poom=222.ab= 222.b=222a.故选 c. 答案： c 二、填空题（每小题4 分，共 16 分）13.（2004 年广东， 15）由图（ 1）有面积关系：pabbapss=pbpabpap，则由图（ 2）有体积关系：abcpcbapvv=_. aabbpaabbp( 1)( 2)cc答案：pcpbpacpbpap14.p、 q 是半径为r 的球面上两点，它们的球面距离是2r，则过 p、q 的平面中，与球心最大的距离是 _. 解析：以 pq 为直径的圆所在的平面到球心的距离为所求. 答案：22r15.（2005

8、年春季北京，12）如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a.将该正方体沿对角面 bb1d1d 切成两块， 再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为 _.1111aabbccdd答案： （ 4+22） a216.已知异面直线a、b 的公垂线段ab 的长为 10 cm ，点 a、m 在直线 a 上，且 am=5 cm，若直线 a、b 所成的角为60，则点m 到直线 b 的距离是 _. 解析：如图，过b 作 bna，且 bn 与 b 确定的平面为 ，过 m 作 mn于 n，过 n作 nc b 于 c，连结mc，由三垂线定理知，mcb，故 mc 即为所求 .在 rtbcn

9、 中，nc=bnsin60=253，a b a b c mn 510mc=22mcmn=2195. 答案：2195三、解答题（本大题共6 小题，共74 分）17.（12 分） （2003 年上海）已知平行六面体abcda1b1c1d1中， a1a平面 abcd，ab=4， ad=2.若 b1dbc，直线 b1d 与平面 abcd 所成的角等于30，求平行六面体abcda1b1c1d1的体积 . aaccddbb1111解：连结 bd ，aaccddbb1111b1b平面 abcd，b1dbc， bcbd. 在 bcd 中， bc=2， cd=4， bd=23. 又直线 b1d 与平面 abcd

10、 所成的角等于30， b1db=30.于是 bb1=31bd=2. 故平行六面体abcda1b1c1d1的体积为 sabcdbb1=83. 18.（12 分） （2004 年广东， 18）如下图，在长方体abcda1b1c1d1中，已知 ab=4，ad=3，aa1=2，e、f 分别是线段ab、bc 上的点，且eb=fb=1. a a b b c c d d e f 1111（1）求二面角cdec1的正切值；（2）求直线ec1与 fd1所成角的余弦值. 解： （1）以 a 为原点，ab、ad、1aa分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 d（0，3， 0） 、d1（0，

11、3，2） 、e（3， 0，0） 、 f（4，1，0） 、c1（4，3，2）. 于是，de=（3， 3， 0） ，1ec=（ 1，3，2） ，1fd=（ 4，2，2） . 设向量 n=（x，y，z）与平面c1de 垂直，则有nde3x3y=0 n1ecx+3y+2z=0 x=y=21z.n=（2z，2z，z）=2z（ 1， 1，2） ，其中 z0. 取 n0=（ 1， 1，2） ，则 n0是一个与平面c1de 垂直的向量 . 向量1aa=（0，0，2）与平面cde 垂直，n0与1aa所成的角 为二面角cdec1的平面角 . cos=|1010aaaann=400411220101=36. tan

12、=22. （2）设 ec1与 fd1所成的角为 ，则cos=|1111fdecfdec=22222222)4(2312223)4(1=1421. 19.（12 分） （2005 年春季上海， 19）已知正三棱锥p abc 的体积为723，侧面与底面所成的二面角的大小为60. pabco（1）证明： p abc；（2）求底面中心o 到侧面的距离 . （1）证明：取bc 边的中点d，连结 ad、pd，则 ad bc，pdbc，故 bc平面 apd. p abc. （2）解：如下图，由（1）可知平面pbc平面 apd，则 pda 是侧面与底面所成二面角的平面角 . pabcoed60o过点 o 作

13、oepd，e 为垂足，则oe 就是点 o 到侧面的距离 . 设 oe 为 h，由题意可知点o 在 ad 上， pdo=60， op=2h，od=32h. bc=4h.sabc=43（4h）2=43h2. 723= 3143h22h=338h3， h=3，即底面中心o 到侧面的距离为3. 20.（12 分）（理）如图，已知矩形abcd ， p a平面 abcd， m、 n 分别是 ab、 pc 的中点，设 ab=a，bc=b，pa=c. （1）建立适当的空间直角坐标系，写出a、b、m、n 点的坐标，并证明mnab；（2）平面 pdc 和平面 abcd 所成的二面角为，当 为何值时（与a、b、c

14、无关） ，mn 是直线 ab 和 pc 的公垂线段 . p a b c dmn（1）证明：以 a 为原点，分别以ab、ad、ap 为 x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系.则a（0，0， 0） ，b（a，0，0） ，m（2a，0，0） ，n（2a，2b，2c）. ab=（a，0，0） ，mn=（0，2b，2c）.abmn=0abmn. （2）解： p（0，0，c） ，c（a，b，0） ，pc=（a，b，c） ，若 mn 是 pc、ab 的公垂线段，则pcmn=0，即22b+22c=0b=c. 又 ap面 abcdcdda pda 是二面角pcda 的平面角 . pda=45，即二面角 pc

15、da 是 45. （文）正方体abcda1b1c1d1中， m、n、p 分别为棱 ab、bc、dd1的中点 . （1）求证： pb平面 mnb1；（2）设二面角mb1nb 为 ，求 cos的值 . （1）证明：如图，以d 为原点， da、dc、 dd1分别为 x 轴、 y 轴、 z轴建立空间直角坐标系，取正方体棱长为2，则 p（0， 0，1） 、 m（2，1，0） 、b（2，2，0） 、b1（2，2，2）. aax y zddbbcc1111pmnpb1mb=（2， 2， 1） （0，1，2）=0，mb1pb，同理，知nb1pb. mb1nb1=b1， pb平面 mnb1. （2） pb平面

16、mnb1，ba平面 b1bn，pb=（2，2， 1）与ba=（0，2，0）所夹的角即为 ，cos=|bapbbapb=32. 21.（12 分）已知四棱锥 pabcd 中，pa面 abcd， 底面 abcd 为菱形， bad=60，ab=2， pa=4，e 为 pc 的中点 . （1）求证：平面bde 平面 abcd；（2）求二面角bdec 的大小 . （1）证明：设acbd=o，连结 oe. e 为 pc 的中点， o 为 ac 的中点 .eopa. p a面 abcd ， eo面 abcd. eo平面 bde，面 bde面 abcd. （2）解法一：过o 作 ofde 于 f，连结 cf.

17、 cdpd，pabcdefyxzo由（ 1）可知 oc面 bde ， de fc. ofc 为 bdec 的平面角 . oe=21pa=2，od=1， of=52. 又 oc=3， tanofc=523=215. 二面角 bdec 的大小为arctan215. 解法二：以 o 为原点建立如上图所示的坐标系，则oc为平面 ebd 的法向量，oc= （0，3，0）.设平面 cde 的法向量n=（x， y，z）. e（ 0，0，2） ，c（0，3，0） ，d（ 1，0，0） ，dc=（1，3，0） ，ce=（0，3，2）. ndc=0，nce=0，x+3y=0，x=3y，3y+2z=0. z=23y. 取 y=3，则 n=（ 3，3，23）.cosn，oc=493933=192. 二面角 bdec 的大小为arccos192. 22.（14 分）如图， abcd 是边长为1 的正方形， m、n 分别是 da、bc 上的点，且mnab，现沿mn 折成直二面角abmncd. a b c dmn（1）求证：平面adc 平面 amd；（2）设 am=x（0 x1） ， mn 到平面 adc 的距离为y，试用 x 表示 y；（3）点 m 在什么位置时，y 有最大值，最大值为多少? （1）证明： abcd 是正方形，且mnab cd，mn am，