高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：7.5直线、平面垂直的判定及性质word版含答案(精编版)

1、垂直的判定与性质(1) 掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理(2) 掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理知识点一直线与平面垂直1 直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 (2)图形语言：如图1 所示(3)符号语言： a? ， b? ， a b p， la， l b? l .2 直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行第五节直线、平面垂直的判定及性质图形语言：如图2 所示符号语言： a ， b ? a b.易误提醒斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段 必记结论(1)直线与平面垂直的定义常常

2、逆用，即 a ， b? ? a b.(2) 若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行(4) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 自测练习 1. 设 a，b 是平面 内两条不同的直线，l 是平面 外的一条直线， 则“ l a，且 l b” 是“ l”的 ()a 充要条件b 充分不必要条件c必要不充分条件d 既不充分也不必要条件解析： 由线面垂直的判定定理知，充分性不成立，由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故选 c.答案： c2. 已知直线a， b 和平面 ，且 a b， a ，则 b 与 的位置关系为

3、() a b? b b cb? 或 b d b 与 相交解析 ：由 a b， a 知 b? 或 b ，但直线b 不与 相交答案： c知识点二平面与平面垂直1. 平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直平面与 垂直，记作 .(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形语言：如图1 所示符号语言： ab ，ab ? ? .图 12. 平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 图形语言：如图2 所示图 2符号语言： ， cd ， ab? ，

4、 ab cd ? ab .易误提醒平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l? ， l ， 缺一不可 必记结论(1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的；(2) 由定理可知，要证明平面与平面垂线，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直；(3) 面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据考点一直线与平面垂直的判定与性质| 自测练习 3. 若 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是() a 若 m? ， ，则 m b若 m， n，m n，则 c若 m ， m ，则 d若 ， ，则 解析： 利用相关定理逐个

5、判断a 中 m 与 的位置关系不确定，故错误；b 中 ，可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知c 正确； d 中 ， 平行或相交，故错误，选 c.答案： c4. 四棱锥p-abcd 中，底面 abcd 是矩形， pa底面 abcd ，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有 对解析： 因为 ad ab ，ad pa 且 pa ab a，可得 ad 平面 pab .同理可得 bc平面pab、ab平面 pad 、cd 平面 pad ，由面面垂直的判定定理可得，平面 pad平面 pab， 平面 pbc平面 pab，平面 pcd平面 pad ，平面 pab 平面 abcd ，平面 pad平面 a

6、bcd ，共有 5 对答案： 51. 在空间中， l， m， n，a， b 表示直线， 表示平面，则下列命题正确的是 ( ) a 若 l ， m l ，则 m b若 l m，mn，则 m n c若 a ， ab，则 b d若 l ， l a，则 a 解析： 易知选项 a 不正确；选项 b ，从 m n 就可以看出结论是错误的；选项 c 中，若b? ，则 c 不正确；选项d 是正确的 答案： d2. (2016 ·丽水一模 )在四面体abcd 中，下列条件不能得出ab cd 的是 () a ab bc 且 ab bdbad bc 且 ac bdcac ad 且 bc bd d ac b

7、c 且 ad bd解析： a. abbd ， ab bc， bd bc b， ab平面 bcd ， cd ? 平面 bcd， ab cd .b.设 a 在平面 bcd 内的射影为o， 则 ao平面 bcd， ad bc， ac bd ， o 为 bcd 的垂心，连接bo，则 bocd ， 又 ao cd ，ao boo，cd 平面 abo， ab? 平面 abo， abcd .c.取 cd 中点g，连接 bg， ag. ac ad 且 bc bd ， cd bg， cd ag， bg agg， cd 平面 abg， ab? 平面 abg， ab cd，故选 d.答案： d23. (2015 &

8、#183;高考重庆卷 )如图，三棱锥p-abc 中，平面pac平面 abc， abc ，点d， e 在线段 ac 上，且 ad de ec 2， pd pc4，点 f 在线段 ab 上，且 ef bc.(1) 证明： ab平面 pfe ；(2) 若四棱锥p-dfbc 的体积为7，求线段 bc 的长解：(1)证明：由 de ec，pd pc 知， e 为等腰 pdc 中 dc 边的中点，故pe ac.又平面 pac平面 abc，平面 pac 平面 abc ac， pe? 平面 pac，所以 pe平面abc，从而 pe ab.因 abc 2，ef bc，故 ab ef.从而 ab 与平面 pfe

9、内两条相交直线pe， ef 都垂直，所以ab平面 pfe. (2)设 bc x，则在 rt abc 中，abac 2 bc236 x2，112从而 s abc 2ab·bc 2x36 x .由 ef bc 知， af ae2afe abc，s afe2 2故abac4s，得3 4s abc ，即39 afesabc . 9111 4212由 ad 2ae ，得 safd 2s afe 2·9s abc 9sabc 9x36 x ，从而四边形dfbc的面积为sdfbc s abc s afd 1 x36x22 1 x36x92 718x36 x2.由(1)知， pe平面 ab

10、c ，所以 pe 为四棱锥p-dfbc 的高 在 rtpec 中， pepc2 ec242 22 23.v 1·s·pe172x36 x23 7，p-dfbc3dfbc 3·18·故得 x4 36x2 243 0，解得 x2 9 或 x2 27，由于 x>0 ，可得 x 3 或 x 33.所以， bc 3 或 bc 33.证明直线和平面垂直的常用方法(1) 利用判定定理(2) 利用平行线垂直于平面的传递性(a b，a ? b ) (3)利用面面平行的性质(a ， ? a)(4)利用面面垂直的性质考点二平面与平面垂直的判定与性质|(2015 

11、3;高考全国卷 )如图，四边形abcd 为菱形， g 为ac 与 bd 的交点， be平面 abcd . (1)证明：平面aec平面 bed ；(2)若 abc 120 °， ae ec，三棱锥e-acd 的体积为63 ，求该三棱锥的侧面积解(1)证明：因为四边形abcd 为菱形，所以ac bd . 因为 be 平面 abcd ，所以 ac be.故 ac平面 bed. 又 ac? 平面 aec，所以平面aec平面 bed .3x(2)设 ab x，在菱形abcd 中，由 abc 120 °，可得 ag gc因为 ae ec，所以在rtaec 中，可得eg3x.22由 be

12、平面 abcd ，知 ebg 为直角三角形，可得be2x.2 x，gb gd 2.由已知得，三棱锥e-acd 的体积 ve-acd故 x 2.从而可得 ae ec ed6.1123× ac×gd × be624 x36.3所以 eac 的面积为3， ead 的面积与 ecd 的面积均为5.故三棱锥 e-acd 的侧面积为3 25.证明面面垂直的主要方法利用判定定理在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等用定义证明 只需判定两平面所成二面角为直二面角 客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平

13、面，则另一 个也垂直于第三个平面(2015 ·佛山一中期中考试)如图， 在三棱锥 p-abc 中，pa底面 abc， bca 90°，apac ，点 d， e 分别在棱 pb ， pc 上，且 bc平面 ade .(1) 求证： de 平面 pac；(2) 当二面角a-de-p 为直二面角时，求a-bced 与 p-aed 的体积比解： (1)证明： bc平面ade， bc? 平面 pbc，平面pbc 平面 ade de ， bced ， pa底面 abc， bc? 底面 abc， pabc， 又 bca 90°， ac bc， pa 与 ac 是平面 pac 内

14、的两条相交直线， bc平面 pac，又 bc ed ， de平面 pac.(2)由(1) 知， de平面 pac， ae? 平面 pac， pe? 平面 pac， de ae， de pe， aep 为二面角a-de -p 的平面角， aep90°，即 ae pc， ap ac， e 是 pc 的中点， ed 是 pbc 的中位线， de ac， 又 pc dee， ae平面 pcd ，1s四边形 bced ·ae va-bced 3 s四边形 bced 3.va-pde13s ped ·aesped考点三平行与垂直的综合问题|空间线、 面的平行与垂直的综合考查一

15、直是高考必考热点，归纳起来常见的命题探究角度有：1. 以多面体为载体考查平行与垂直的证明2. 探索性问题中的平行与垂直问题3. 折叠问题中的平行垂直问题 探究一平行与垂直关系的证明1. 如图，在正方体abcd -a1b1c1d1 中， e， f，p，q，m，n 分别是棱ab，ad ，dd 1，bb1， a1b1， a1d1 的中点求证： (1)直线 bc1 平面 efpq； (2)直线 ac1平面 pqmn .证明 ： (1)连接 ad1 ，由 abcd -a1b1c1d1 是正方体，知ad1bc1， 因为 f， p 分别是 ad，dd 1 的中点，所以fp ad 1.从而 bc 1 fp.而

16、 fp? 平面 efpq ，且 bc1?平面 efpq ， 故直线 bc1平面 efpq .(2)连接 ac， bd ，则 ac bd.由 cc 1平面 abcd ， bd? 平面 abcd ，可得 cc1 bd.又 ac cc1 c，所以 bd 平面 acc 1.而 ac1? 平面 acc1，所以 bd ac1.因为 m，n 分别是 a1b1， a1d1 的中点， 则易知 mn bd ，从而 mn ac 1.同理可证 pn ac1.又 pn mn n， 所以直线 ac1平面 pqmn .探究二探索性问题中的平行与垂直问题2. 如图，直三棱柱abc -a1b1c1 中， ac bc， ac b

17、c cc1 2， m， n 分别为 ac， b1c1 的中点(1) 求线段 mn 的长；(2) 求证： mn 平面 abb1a1；(3) 线段 cc1 上是否存在点q，使 a1b平面 mnq ？说明理由 解： (1)连接 cn .因为 abc -a1b1c1 是直三棱柱， 所以 cc 1平面 abc，所以 ac cc 1.因为 ac bc，所以 ac 平面 bcc 1b1.1因为 mc 1，cn cc 2 c1n25，所以 mn 6.(2) 证明： 取 ab 中点 d，连接 dm ， db1.2在 abc 中，因为m 为 ac 中点，所以dm bc， dm 1bc.在矩形 b1bcc 1中，因

18、为n 为 b1c1中点，所以b1n bc， b11nbc. 2所以 dm b1n， dm b1n.所以四边形mdb 1n 为平行四边形，所以mn db 1.因为 mn ?平面 abb1 a1， db1 ? 平面 abb 1a1，所以 mn 平面 abb1a1.(3) 线段 cc1 上存在点q，且 q 为 cc 1 中点时，有a1b平面 mnq .证明如下：连接bc1.在正方形 bb1c1c 中易证 qnbc1.又 a1c1平面 bb1c1c，所以 a1c1 qn，从而 nq 平面 a1bc1.所以 a1b qn.同理可得 a1b mq ，所以 a1b平面 mnq .故线段 cc 1 上存在点q

19、，使得 a1b平面 mnq .探究三折叠问题中的平行与垂直关系3(2015 ·高考四川卷 )一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示 (1)请将字母f ，g，h 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由 )；(2) 判断平面beg 与平面 ach 的位置关系， 并证明你的结论；(3) 证明：直线 df 平面 beg.解： (1)点 f， g， h 的位置如图所示(2)平面 beg平面 ach ，证明如下：因为 abcd -efgh 为正方体，所以 bc fg， bc fg ， 又 fg eh，fg eh ，所以 bc eh， bc eh ，于是四边形bche 为平行四边

20、形， 所以 be ch .又 ch ? 平面 ach ， be?平面 ach ，所以 be 平面 ach . 同理 bg 平面 ach . 又 be bgb，所以平面 beg 平面 ach . (3)证明：连接 fh .因为 abcd -efgh 为正方体，所以 dh 平面 efgh .因为 eg ? 平面 efgh ，所以 dh eg .又 eg fh ，dh fh h，所以 eg平面 bfhd .又 df ? 平面 bfhd ，所以 df eg.同理 df bg.又 eg bgg， 所以 df 平面 beg.平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1) 探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再

21、给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点(2) 折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系7.平行与垂直综合问题的答题模板【典例】(12 分)(2015 ·高考山东卷 )如图，三棱台def -abc 中，ab 2de ， g，h 分别为 ac， bc 的中点(1) 求证： bd 平面 fgh ；(2) 若 cf bc， ab bc，求证：平面bcd平面 egh .思维点拨 (1) 法一： 证明四边形dfcg 为平行四边形， 结合 h 为 bc 的中点可得hmbd ， 进而得bd 平面 fg

22、h ； 法二：利用四边形hbef 为平行四边形，证明平面abed平面 fgh ，进而得 bd 平面 fgh .(2) 先证明 cb平面 ech ，进而得平面bcd 平面 egh .规范解答 (1) 证明：法一：连接 dg，cd ，设 cd gf m ，连接 mh .在三棱台def -abc中， ab 2de， g 为 ac 的中点，可得df gc， df gc， 所以四边形dfcg 为平行四边形 ， (3 分)则 m 为 cd 的中点，又h 为 bc 的中点 ， 所以 hm bd .又 hm ? 平面 fgh ， bd ?平面 fgh ， (4 分)所以 bd 平面 fgh .(5 分)法二：

23、在三棱台def -abc 中， 由 bc 2ef，h 为 bc 的中点 ， 可得 bh ef， bh ef，所以四边形hbef 为平行四边形， 可得 be hf .(2 分)在 abc 中， g 为 ac 的中点 ， h 为 bc 的中点 所以 gh ab.(3 分)又 gh hf h， 所以平面fgh 平面 abed .(4 分)因 为 bd ? 平 面 abed ， 所以 bd 平面 fgh .(5 分)(2)连接 he， ge.因为 g， h 分别为 ac， bc 的中点 ， 所以 gh ab，由 ab bc， 得 gh bc.(7 分)又 h 为 bc 的中点 ，所以 ef hc ，

24、ef hc ，因此四边形efch 是平行四边形(9 分)所以 cf he .又 cf bc， 所以 he bc.又 he ， gh? 平面 egh， hegh h， 所以 bc 平面 egh .(11 分)又 bc? 平面 bcd ，所以平面bcd 平面 egh .(12 分) 模板形成 由图形特征分析平行条件创设线面平行的条件利用判定定理或面面平行证明线面平行分析条件中平行与垂直的关系选定并证明线面垂直利用面面垂直的判定证明面面垂直a 组考点能力演练1. 已知直线m， l，平面 ， ，且 m ， l? ，给出下列命题：若 ，则 m l；若 ，则 ml；若 m l，则 ；若 m l，则 ，其中

25、正确的命题的个数是 ()a 1b 2c3d 4解析： 中， ，且 m ，则 m ，因为 l? ，所以 m l，所以正确；中， ，且 m ，则 m或 m? ，又 l? ，则 m 与 l 可能平行，可能异面，可能相交，所以不正确；中， m l，且 m ， l? ，则 与 可能平行，可能相交，所以不正确；中， m l，且 m ，则 l ，因为 l? ，所以 ，所以正确，故选b.答案： b2. 设 ，为不同的平面， m、n、l 为不同的直线， 则 m 的一个充分条件为() a ， l， m lb. m， ， c. ， ， m d n ， n， m 解析： 对于 a ， ， l，m l，根据面面垂直的性

26、质定理可知，缺少条件 m? ，故不正确；对于 b， m， ， ，而 与 可能平行，也可能相交，则 m 与 不一定垂直，故不正确；对于 c， ，m ，而 与 可能平行，也可能相交，则 m与 不一定垂直，故不正确；对于 d， n ，n ，则 ，又 m ，则 m ，故正确，故选 d.答案： d3. 如图，在三棱锥 d-abc 中，若 ab cb，ad cd ， e 是 ac 的中点，则下列命题中正确的是 ()a 平面abc平面abdb平面abd平面bcdc平面abc平面bde，且平面acd 平面 bded平面abc平面acd，且平面acd平面 bde解析： 因为 ab cb，且 e 是 ac 的中点

27、， 所以 beac ，同理， de ac，由于 debee，于是 ac平面 bde .因为 ac ? 平面 abc，所以平面 abc平面 bde .又 ac? 平面 acd ，所以平面 acd 平面 bde .故选 c.答案： c4. 如图，正方体ac1 的棱长为1，过点 a 作平面 a1bd 的垂线，垂足为h ，则以下命题中，错误的是 ()a 点 h 是 a1bd 的垂心bah 垂直于平面cb1d 1cah 的延长线经过点c1d. 直线 ah 和 bb 1 所成角为 45° 解析： a 中， a1bd 为等边三角形，其四心合一，ab aa1 ad ， h 到 a1bd 各顶点的距离

28、相等，a 正确； cd 1 ba1，cb1 da1，cd 1 cb1 c，ba1 da1 a1，平面cb1d1平面 a1bd，ah 平面 cb1d1， b 正确；连接 ac 1，则 ac1 b1d 1， b1d 1 bd， ac1 bd，同理， ac1 ba1， ac1平面 a1bd ， a、h、c1 三点共线， c 正确， 故选 d.答案： d5. 如图所示，在斜三棱柱abc-a1b1c1 中， bac90°， bc 1ac，则 c1 在底面abc上的射影 h 必在 () a 直线 ab 上b. 直 线 bc 上c. 直 线 ac 上d. abc 内部解析： bac 90°

29、;， ab ac，又 ac bc1， bc1 ab b， ac平面 abc1， 又 ac? 平面 abc，平面 abc平面 abc1.平面 abc1 平面 abc ab，点 c1 在平面 abc 上的射影h 必在两平面的交线ab 上，故选a.答案： a6. 四棱锥 p-abcd 的顶点 p 在底面 abcd 上的投影恰好是 a，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为 a 的等腰三角形，则在四棱锥 p-abcd 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有 对解析： 由题意可得pa bc， pacd ， ab pd ， bd pa， bdpc ，ad pb，即互相垂直的异面直线共有6

30、对答案： 67. 如图所示，在四棱锥p-abcd 中， pa底面 abcd ，且底面各边都相等， m 是 pc 上的一动点，当点m 满足 时，平面mbd 平面pcd .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析： 连接 ac，bd ，则 ac bd ， pa底面 abcd ，pabd .又 pa ac a， bd 平面 pac， bd pc.当 dm pc(或 bm pc )时，即有pc平面 mbd .而 pc? 平面 pcd ，平面 mbd 平面 pcd.答案： dm pc(或 bm pc 等)8. 已知 abc 的三边长分别为ab 5，bc 4，ac 3，m 是 ab 边上的点， p 是平

31、面abc 外一点给出下列四个命题：若 pa平面 abc，则三棱锥p-abc 的四个面都是直角三角形；若 pm 平面 abc，且 m 是 ab 边的中点，则有pa pb pc；若 pc 5， pc平面 abc，则 pcm 面积的最小值为15；2若 pc 5，p 在平面 abc 上的射影是 abc 内切圆的圆心， 则点 p 到平面 abc 的距离为23.其中正确命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上)解： 由题意知ac bc，对于，若pa平面 abc，则 pa bc，又 pa ac a， bc平面pac， bc pc，因此该三棱锥p-abc 的四个面均为直角三角形，正确；对于，由已知得m 为

32、 abc 的外心，所以ma mb mc . pm平面 abc，则 pm ma ，pm mb ，pm mc，由三角形全等可知papb pc，故正确；对于，要使pcm 的面积最小，只需cm 最短，在rtabc 中， (cm )min 12， (s pcm)min5112× 5 6，故×25错误；对于，设p 点在平面abc 内的射影为o，且 o 为 abc 的内心，由平面几何知识得 abc 的内切圆半径r 1，且 oc2，在 rt poc 中， popc2 oc 223， 点 p 到平面 abc 的距离为23，故正确答案： 9. (2016 ·扬州中学模拟 )如图 1，

33、在边长为4 的菱形 abcd 中， dab 60°，点 e， f分别是边 cd ， cb 的中点， ac ef o.沿 ef 将 cef 翻折到 pef，连接 pa，pb， pd， 得到如图2 的五棱锥p-abfed ，且 pb 10.(1) 求证： bd 平面 poa； (2)求四棱锥p-bfed 的体积解： (1)证明：点e， f 分别是边cd ，cb 的中点， bd ef. abcd 是菱形， bdac ， ef ac，翻折后 ef ao， ef po， ao? 平面 poa， po? 平面 poa， ao poo， ef平面 poa， bd平面 poa.(2) 设 ao bd

34、 h，连接 bo， abcd 是菱形， ab ad ， dab 60°， abd 为等边三角形， bd 4，bh 2， ha23， ho po3， 在 rtbho 中， bobh 2 ho27，在 pbo 中， bo2 po2 10pb 2， po bo， po ef， ef boo， ef? 平面 bfed ， bo? 平面 bfed ， po平面 bfed ，2又梯形 bfed 的面积为 s 1(ef bd) ·ho 33，s·po四棱锥 p-bfed 的体积 v 13133×3 3.×310. 如图，已知四棱锥p-abcd 中，底面abc

35、d 是直角梯形，ab cd ， abc 45°， dc 1， ab 2， pa平面 abcd ， pa 1.(1)求证： ab平面 pcd ； (2)求证： bc平面 pac；(3)若 m 是 pc 的中点，求三棱锥m-acd 的体积解： (1)证明： ab cd ， cd ? 平面 pdc ， ab?平面 pdc ， ab平面 pdc .(2) 证明：在直角梯形abcd 中，过点c 作 ce ab 于点 e， 则四边形 adce 为矩形， ae dc 1，又 ab 2， be 1，在 rtbec 中， ebc 45°， ce be1， cb2，在 rtace 中， aca

36、e2ce22， ac2 bc2 ab2 ， bc ac.又 pa平面 abcd ， bc? 平面 abcd ， bc pa， 而 pa ac a， bc平面 pac.(3) m 是 pc 的中点， m 到平面 adc 的距离是p 到平面 adc 的距离的一半111111 vm-acd 3s acd×2pa 3×× 1× 1 × .2212b 组高考题型专练1. (2015 ·高考安徽卷 )已知 m， n 是两条不同直线， 是两个不同平面，则下列命题正确的是 ()a 若 ， 垂直于同一平面，则与 平行b. 若 m， n 平行于同一平面，

37、则m 与 n 平行c. 若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线d. 若 m， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一个平面解析： a 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故a 错误； b 中， 平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故b 错误； c 中，若两个平面相交， 则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故c 错误； d 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个 平面，故 d 正确答案： d2. (2014 ·高考广东卷 )如图 (1) ，四边形abcd为矩形， pd 平面ab

38、cd ， ab 1， bcpc 2.按图 (2) 折叠：折痕ef dc ，其中点e，f 分别在线段pd ，pc 上，沿 ef 折叠后点 p 叠在线段ad 上的点记为m，并且 mf cf .(1) 证明： cf 平面 mdf ； (2)求三棱锥m -cde 的体积解： (1)证明： pd平面 abcd ，pd ? 平面 pcd ，平面 pcd 平面 abcd ，平面 pcd 平面 abcd cd ， md ? 平面 abcd ，md cd ， md 平面 pcd ， cf? 平面 pcd ， cf md ，又 cf mf ，md ， mf ? 平面 mdf ，md mf m， cf 平面 mdf .1(2) cf 平面 mdf ， cf df ，又易知 pcd 60°， cdf 30°，从而 cf 2cd1，21 ef dc ， de cf，即 de2de 3pe33s1cd ·de3，dpcp ，324 ，4， cde28md me 2 de2pe2 d