高中数学3.2复数的四则运算学案苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学学案

1、32 复数的四则运算一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议复数的四则运算理解结合多项式的四则运算法则，理解并掌握复数代数形式的四则运算法则，并能比较两者的异同；能熟练地运用复数的四则运算法则进行运算共轭复数理解弄清共轭复数的实部、虚部之间的关系二、预习指导1预习目标(1) 了解复数的代数表示法；(2) 能进行复数代数形式的四则运算2预习提纲(1) 复数四则运算法则： 加法法则： _ ； 减法法则： _ ； 乘法法则： _ ；复数的乘法满足交换律、结合律和分配律吗? 除法法则： _ (2) 复数的正整数指数幂的运算律： _ ； _ ； _ (3) 我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做

2、互为_；_数的共轭复数仍是它本身(4) 你能总结出i 的正整数指数幂的规律吗? (5) 你能写出方程x3=1的三个根吗 ? (6) 阅读课本第106 页至第 110 页内容，并完成课后练习(7) 结合课本第107 页的例 1，学习复数的加法法则和减法法则；结合课本第107 页的例 2，学习复数的乘法法则，体会复数的乘法满足结合律；结合课本第107 页的例 3，进一步运用复数的乘法法则，体会在复数范围内，对x2y2进行分解因式；结合课本第108 页的例 4，体会方程x3=1的三个根的相互关系；对于课本第109 页的例 5，解法 1 是运用复数的除法法则，解法2 是使分母“实数化” ，将复数除法化

3、归为复数乘法，请仔细体会，并将两种解法作比较3典型例题(1) 复数的加减运算两个复数相加(减) 就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加( 减) 复数的加法运算是一种规定，减法是加法的逆运算复数的加减运算可类比多项式的加减运算， 但不是多项式运算的合情推理，而是一种新的规定，它是数学建构过程中的重要组成部分，运算时可类比多项式合并同类项法则来理解和记忆例 1 计算 (23i) (45i) ( 2i) 的值解： 原式 =(2 42) (351)i=8i (2) 复数的乘法与乘方复数的乘法运算法则：(i)(i)()()iabcdacbdbcad乘 法 运 算 律 ：1221123123(1);(2)(

4、)()z zz zz zzz z z； (3)1231213()z zzz zz z；(4)mnm nz zz；(5)()mnmnzz；(6)1212()mmnz zz z例 2 计算：(1)(1 2i)(34i)(2i) ； (2)(13i22)3； (3)(3i2)6(3i2)6分析： 复数的乘法运算与多项式的乘法运算相类似，先两两结合展开，利用ni化简后，在再将复数的实部与虚部合并；而乘方运算应注意合理利用一些常用且有效的结论来处理解： (1) 原式 =(112i)(2i)=2015i； (2)原式 =3313( 1) (i)22= 1； (3)原式 =6613( i) (i)22661

5、3( i) (i)22= 2点评： 在运算过程中，注意运用常用技巧及规律，如有关复数的方幂：i的周期性： i4n1=i ；i4n 2= 1；i4n3= i ； i4n=1(nz) ；若13i22，则213i22，31，120(3) 共轭复数共轭复数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数共轭复数的性质： zz； 1212zzzz； 对于复数z， z 是实数zz； 若 z 为纯虚数，则0zz例 3 已知复数22121()i2(13 )i()zmmmzmmr与是共轭复数， 求m的值分析： 根据共轭复数的定义知：两个共轭复数的实部相同，虚部互为相反数解： 由22121()i2(13)i

6、()zmmmzmmr与是共轭复数得：2212,(13).mmmm解得：1,1.mm从而m=1即m=1时，12,z z是共轭复数点评： 共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应准确把握它的代数特征：虚部互为相反数例 4 已知f(z)=2z z 3i ，f( z i)=6 3i ，求f(z) 的值分析： 先利用f(z)=2z z 3i ，f( zi)=6 3i ，得到复数z满足的等式，然后设z=abi (,a br) ，利用复数相等得到关于实数a，b的方程组，解方程组即可解： f(z) = 2z z 3i ，f( z i)=2()()3zizii=22zzi又f( zi)=63i，22z

7、zi=6 3i，即2zz=6i设( ,)zabi a br，则zabi，2()()6abiabii，即 3abi=6i由复数相等的定义知：36,1.ab解得：2,1.abz=2if( z)=2( 2i) ( 2i) 3i= 64i点评： 本题中要求f( z) 的值关键先求出z，求复数z时通常设复数( ,)zabi a br，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决(5) 复数的除法满足 (cdi)(xyi)=(abi) 的复数xyi(x，yr) 叫复数abi除以复数cdi的商，记为： (abi)(cdi) 或者dicbia一般地， 我们有dicbia=22)(baiadbcbdacd

8、icdicdicbia=idcadbcdcbdac2222例 5 已知2222227832aabba biababii，求实数a，b分析： 要求两个未知数的值，必须列出两个方程，这可以由两个复数相等的充要条件而得到因此我们先得将已知等式变形解： 已知左边 =22()()ababiababiababiababiababi=()ababi，右边 =(278 )(32 )657856(32 )(32 )13iiiiii，所以()ababi=56i由复数相等的定义知：532623abaaabbb=解得或=点评： 该例解答是否简便关键在于采取的变形方法表面上看对已知等式作如下的变形：2222(2)(32

9、 )()(278 )aabba biababii，再施行复数运算较为简便但事实上不如上述解答简捷这是因为已知式的左边的分式并非杂乱无章的，只要我们仔细观察就会发现它是一个按一定规律排列的关于a，b对称的式子，因此就得到如此简捷的解法4自我检测(1)(1 2i) (2 3i) (3 4i) (2007 2008i)=_ (2) 已知复数,230iz满足0035,zzzz则复数z _ (3) 设ar，且2()aii为正实数，则a_(4) 复数221ii_(5) 复数32(1)ii_三、课后巩固练习a组1 若12ii =a+bi, 其中,a br i为虚数单位 , 则ab_. 2 计算 :ii13=

10、_(i为虚数单位 ). 3 若复数z满足1izi, 则z_. 4 设abr，,117ii12iab, 则ab的值为 _. 5 若复数z满足(2)ziz，则z=_6已知2()2aii，那么实数a_7如果复数2()(1)mimi是实数，则实数m_8若ibiia)2(，其中a、br，则22ba=_9)2321(i)2321(i)2321(i6=_10设, , ,a b c dr则复数()()abicdi为实数的充要条件是_11设复数：z1=1i，z2=x2i(xr) ，若z1 z2为实数，则x= _ 12若复数z满足方程220z，则3z_13416x分解为一次式的乘积为_14复数 724i的平方根为

11、 _ 15已知复数z满足 (33i)z3i，则z=_16已知复数1zi，则21zz_1711ii表示为abi(a，br) ，则ab= 18计算： (1)31()ii； (2)(2)12iii； (3)122i；(4)(1)(12 )1iii； (5) 201311ii； (6)221111iiii；(7)3212ii； (8)3123ii； (9)133ii19计算： (1) (1i) (2i3) (3 i5) (4 i7) ； (2) (2222i)2(2222i)2； (3) (abi)(abi)( abi)( abi) 20计算： (1)iii1212； (2)3( 13 )18iiii

12、；(3)36( 13 )2(1)12iiiib组21复数zii2i3i4的值是 _22已知12iz，则z100z501=_23i1i2i3i4i2001= ，(1 i)11的实部为，)2321(i2001的虚部为24已知a是实数，iia1是纯虚数，则a=_25复数aii为纯虚数，则实数a为 _ 26设复数z满足izi23)1(，则z的实部是 _27. 已知复数1z满足1(2)(1)1zii，复数2z的虚部为2，12zz是实数，则2z=28复数11212ii的虚部是 _29若2121,43,2zziziaz且为纯虚数，则实数a的值为 _30已知11mnii，其中m，n是实数，则mni_31复数1

13、1zi的共轭复数是 _32复数1zi，z为z的共轭复数，则1zzz_ 33若izi，则复数z=_ 34设z1=23i，z2=45i，则2121zzzz= _ 35若复数z同时满足zz2i，ziz，则z=_36设z的共轭复数是z，若zz=4，zz8，则zz=_37设211zziz，已知z2的实部是1，则z2的虚部为38若f(z)= z ，z1=34i，z2=2i，则)(21zzf的值为 _39设,x y为实数，且511213xyiii，求xy的值40已知x，yr，复数 (3x2y) 5xi与复数18)2(iy相等，求x，y的值41已知复数z=1i，求实数a，b，使22(2 )azbzaz42已知

14、1(3)(4 )zxyyx i，2(42 )(53 )zyxxy i ( ,)x yr设12zzz，且132zi，求12,z zc组43已知12( )1,23 ,5,f zz zi zi求12()f zz44已知关于t的一元二次方程t2(2 i)t2xy(xy)i=0(x，yr) (1) 当方程有实根时，求点(x，y) 的轨迹方程；(2) 求方程实根的取值范围45求同时满足下列两个条件的所有复数：(1)10zz是实数，且110zz 6；(2)z的实部和虚部都是整数46设z为虚数，1wzz是实数，且 1w2，若设z=abi(b 0) (1) 求a2b2的值，及a的取值范围；(2) 设11zuz，

15、求证：u为纯虚数；(3) 求wu2的最小值知识点题号注意点复数的四则运算130，39 能熟练地运用运算律进行复数的四则运算共轭复数 31 38，4042 弄清共轭复数的实部、虚部之间的关系，会用共轭复数的性质解题综合问题4346 注意复数知识的综合运用以及复数与其它知识的综合四、学习心得五、拓展视野如果a，b，c，d都是实数，那么关于x的方程：x2(abi)x(cdi)=0 有实根的充要条件是什么 ?下面是某同学给出的解法：由题意知xr，且x2axc(bxd)i=0，20,(1)0.(2)xaxcbxd由(2) 得dxb，代入 (1) 得d2abdb2c=0以上解法是否正确?请给出你的评价3.

16、2 复数的四则运算（1）1004-1005i（2）9+6i （ 3）-1 （4）-4 （5）2 1.(1)(2)131,34iiiabiabab2.iiiiiiii212413)1)(1()1)(3(13 3.1 i4.由117ii12iab得117i12i117i11 15i14i=53i12i12i12i14ab,所以=5=3ab，,=8ab51+i 6 -1 7-1 85 91 10ad+bc=0 11-2 12i22 13(x+2)(x-2)(x+2i)(x-2i) 14 3+4i或-3-4i 153344i 162 17. 1 18 (1) -8i (2) -1 (3) -1 (4)

17、 2-i (5) i (6) -1 (7) i (8) 1710i (9) i19 (1)10 ； (2)0 ；(3)(a2+b2)2 20(1)i；(2) 12i； (3) 0 17 0 22-i 23i，-32 ，0 241 25.2 26.1 27.1(2)(1)1zii12zi设22 ,zai ar，则12(2)(2 )(22)(4)z ziaiaa i，12z zr，242zi2815 2938 302+i 31 1122i32i 33i 34 44i 35i-1 36i 371 38 5+3i39解：(1)(12 )2()()112252525xyxiyixyxyiiy，而55(1

18、3 )13131022iii所以123252252xyxy且，解得x 1，y5，所以xy 4. 40 x= -2 ，y=12 412,1,ab或4,2,ab42z1=5-9i，z2=-8-7i 43 4-4i44 (1) 设实根为t，则t2+2t+2xy+(t+x-y)i=0，根据复数相等的充要条件，得t2+2t+2xy =0，且t+x-y =0. 消去t得： (x-1)2+(y+1)2=2；(2) 所求点的轨迹是以(1,-1)为圆心，2为半径的圆，直线t=y-x与圆有公共点，有|1( 1)|22t，解得 -4 t0. 45设, ,zxyi x yz，则222210101010()xyzxyixyizxyixyxy，因为10zz为实数，所以2210yyxy=0，所以y=0 或x2+y2=10. 当y=0时，1010zxzx，因为10102 10,2 10 xxxx或，又 110zz 6，所以y=0 不合题意 . 当x2+y2=10 时，1010210 xzxxz，所以 12x6, 又因为xz, 所以x=