高中数学第1章常用逻辑用语1.1.2充分条件和必要条件学案苏教版选修1-1-苏教版高二选修

1、1.1.2 充分条件和必要条件学习目标1. 理解充分条件、 必要条件的意义.2. 会判断、 证明充要条件.3. 通过学习， 明白对条件的判断应归结为判断命题的真假. 知识点一充分条件与必要条件的概念给出下列命题：(1) 若xa2b2，则x2ab；(2) 若ab0，则a0. 思考 1 你能判断这两个命题的真假吗？答案(1) 真命题， (2) 假命题 . 思考 2 命题 (1) 中条件和结论有什么关系？命题(2) 中呢？答案命题 (1) 中只要满足条件xa2b2，必有结论x2ab；命题 (2) 中满足条件ab0，不一定有结论a 0，还可能b0. 梳理命题真假“若p则q”为真命题“若p则q”为假命题

2、推出关系p?q p?q条件关系p是q的充分条件，q是p的必要条件p不是q的充分条件，q不是p的必要条件知识点二充要条件的概念思考 1 命题“若整数a是 6 的倍数，则整数a是 2 和 3 的倍数”中的条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？答案只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立. 思考 2 若设p：整数a是 6 的倍数，q：整数a是 2 和 3 的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？答案因为p?q且q?p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件. 梳理一般地，如果p?q，且q?p，就记作p?q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.

3、 知识点三常见的四种条件1. 从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件如果原命题为“若p则q”，逆命题为“若q则p”原命题逆命题条件p与结论q的关系结论真假p?q，但q?p p是q成立的充分不必要条件假真q?p，但p?q p是q成立的必要不充分条件真真p?q，q?p，即p?qp是q成立的充要条件假假p?q，q?p p是q成立的既不充分又不必要条件2. 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件前提：设集合ax|x满足p，bx|x满足q. 若a?b，则p是q的充分条件，若ab，则p是q的充分不必要条件若b?a，则p是q的必要条件，若ba，则p是q的必要不充分条件若ab，则p，q互为充要条件

4、若ab且ba，则p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件1. 若q是p的必要条件，则p是q的充分条件 .( ) 2. 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( ) 3. 若q不是p的必要条件，则“p?q”成立 .( ) 类型一充要条件的判断例 1 判断下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：3，q：cos12；(2)p：(a2)(a3) 0，q：a3；(3) 在abc中，p：ab，q：sinasinb；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形. 考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断解(1) 3，cos12，但 cos12推

5、不出3，p是q的充分不必要条件. (2) 由(a2)(a 3) 0 可以推出a2 或a 3，不一定有a3；由a3 可以推出 (a 2)(a3) 0，因此p是q的必要不充分条件. (3) 在abc中，由正弦定理asinabsinb，知ab可以推出sinasinb，sinasinb可以推出ab，p是q的充要条件 . (4) 四边形的对角线相等推不出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形推不出四边形的对角线相等，p是q的既不充分又不必要条件. 反思与感悟充分条件、必要条件的判断方法(1) 定义法：确定谁是条件，谁是结论. 尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件. 尝

6、试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. (2) 命题判断法：如果命题：“若p则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件 . 如果命题：“若p则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件 . 跟踪训练1 设xr，则“ 3x0”是“|x1| 2”的 _条件 .( 填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案必要不充分解析3x0?x3， |x1| 2? 1x3，故“3x0”是“|x1| 2”的必要不充分条件. 类型二充分条件、必要条

7、件的应用例 2 已知p：2x10，q：1mx1m(m 0) ，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围 . 考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解p：2x10，q：1mx1m(m0). 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即x|1 mx1mx| 2x10，故有1m 2，1m10或1m 2，1m10，解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为 m|0 m3.引申探究1. 若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围 . 解p：2x10，q：1mx1m(m0). 因为p是q的充分不必要条件

8、，设p代表的集合为a，q代表的集合为b，所以ab. 所以1m 2，1m10或1m 2，1m10.解不等式组得m9 或m9，所以m9，即实数m的取值范围是9 ， ).2. 本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件 . 解因为p：2x10，q：1mx1m(m0). 若p是q的充要条件，则21m，101m，m不存在 . 故不存在实数m，使得p是q的充要条件 . 反思与感悟(1) 设集合ax|x满足p，bx|x满足q ，则p?q可得a?b；q?p可得b?a；若p是q的充分不必要条件，则ab. (2) 利用充分条件、 必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值

9、. 跟踪训练2 已知mx|(xa)21，nx|x25x240 ，若m是n的充分条件，求a的取值范围 . 考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解由(xa)21，得x22ax(a1)(a 1)0，a1xa1. 又由x2 5x240，得 3x8. m是n的充分条件，m?n，a1 3，a18，解得 2a7.即a的取值范围是 2,7. 类型三充要条件的证明例 3 求证：一元二次方程ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是ac0. 考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性：ac0，方程一定有两个不等实根. 设两实根为x1，x2，则x1x2ca0，方程的两根

10、异号，即方程ax2bxc0 有一正根和一负根. 必要性：方程ax2bxc0 有一正根和一负根，设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系，得x1x2ca0，即ac0. 综上可知，一元二次方程ax2bxc 0 有一正根和一负根的充要条件是ac0. 引申探究求证：关于x的方程ax2bxc0 有一个根为1 的充要条件是abc0. 证明必要性：方程ax2bxc0 有一个根为1，x1 满足方程ax2bxc0，a12b1c0，即abc0，必要性成立. 充分性：abc0，cab，代入方程ax2bxc0 中，可得ax2bxab0，即 (x1)(axab) 0，故方程ax2bxc0 有一个根为1，充分性成立. 因

11、此，关于x的方程ax2bxc0 有一个根为1 的充要条件是abc0. 反思与感悟(1) 证明充要条件， 一般是从充分性和必要性两方面进行，此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么. (2) 要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件 ? 结论是证充分性，由结论 ? 条件是证必要性. 跟踪训练3 已知数列 an的前n项和为snpnq(p0 且p1). 求证：数列an为等比数列的充要条件为q 1. 考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明充分性：当q 1 时，a1p1；当n2时，ansnsn 1pn 1(p1) ，当n1 时也成立 . 所以anpn1(p1) ，nn*.

12、 又p0，且p1，an1anpnp1pn1p1p，数列 an为等比数列 . 必要性：当n1 时，a1s1pq；当n2时，ansnsn 1pn 1(p1). p0且p1， an 为等比数列，a2a1an1anp，p p1pqp，即p1pq，q 1. 综上所述，q 1 是数列 an 为等比数列的充要条件. 1. 设m1,2 ，na2，则“a1”是“n?m”的 _条件 .( 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析当a 1时，n1 ，此时n?m；当n?m时，a21 或a22，解得a1

13、 或 1 或2或2. 故“a1”是“n?m”的充分不必要条件. 2. “函数yx22xa没有零点”的充要条件是_. 答案a1 解析函数没有零点， 即方程x22xa0 无实根， 所以有44a0，解得a1. 反之，若a1，则1”是“x1，得x1. 又“x21”是“xa”的必要不充分条件，则由“x1”，但由“x21”推不出“x0 的一个充分条件是4xp0，解得x2 或x2 或x1. 由 4xp0，得bx xp4. 由题意得b?a，即p4 1，即p4，此时由x0，当p4 时，“4xp0”的一个充分条件. 1. 充分条件、必要条件的判断方法：(1) 定义法：直接利用定义进行判断. (2) 等价法：“p?

14、q”表示p等价于q，要证p?q，只需证它的逆否命题非q? 非p即可；同理要证p?q，只需证非q?非p即可 .所以p?q，只需非q? 非p. (3) 利用集合间的包含关系进行判断. 2. 根据充分条件、 必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、 必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式( 组) 进行求解 . 一、填空题1. “x1” 是 “x2x” 的 _ 条 件 .( 填 “ 充 分 不 必 要 ”“ 必 要 不 充 分 ”“ 充要”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案

15、充分不必要解析由x1 可以推出x2x，但x2x推不出x1. 2. “ab”是“直线yx2 与圆 (xa)2(yb)22相切”的 _条件 .( 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析圆心为 (a，b) ，半径r2. 若ab，则圆心 (a，b) 到直线yx2 的距离d2r，所以直线与圆相切. 若直线与圆相切，有|ab2|22，则ab或ab 4，所以“ab”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 3. “函数f(x) x22ax 3 在区间 1 ， ) 上是增函数”是“a2”的 _条

16、件 .( 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析函数f(x) x22ax 3 的图象开口向上，对称轴为xa，当f(x) 在1 ， ) 上为增函数时，a1，而a1 可以推出a2，但a2 推不出a1，填充分不必要. 4. 若“x2axb0”是“x1”的充要条件，则a_，b_. 考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围答案 2 1 解析易得1ab0，a24b 0，解得a 2，b1.5. 下列不等式：x1；0 x1； 1x0； 1x1. 其中，可以作为x

17、21 的一个充分条件的是 _.( 填序号 ) 考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案解析由x21，得 1x1，故都可作为x2b”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“ cosb”是“3a3b”的充要条件，故错误；232，则 cos2cos32，推不出 coscos；coscos32，32，cos，“”是“ coscos”的既不充分又不必要条件，故错误；“a0”是“函数f(x) x3ax2(xr) 为奇函数”的充要条件，正确. 8. 给定两个条件p，q. 若非p是q的必要不充分条件，则p是非q的_条件 .( 填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“

18、既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析q? 非p?p? 非q. 9. 不等式 (ax)(1 x)0成立的一个充分不必要条件是2x1，则a的取值范围为_. 考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围答案(2 ，)解析根据充分条件， 必要条件与集合间的包含关系，应有 ( 2， 1)x|(ax)(1 x)2. 10.(2018 淮安中学月考) 设f(x) x3lg(xx2 1) ，则对任意实数a，b，“ab0”是“f(a) f(b) 0”的 _条件 .( 填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围答案充要解析f(x) f(x) x3lg(xx21) ( x)3 lg ( xx21) lg1 0，所以f(x)为奇函数，又f(x) 为单调递增函数，所以ab0?ab?f(a) f( b) ?f(a) f(b)?f(a)f(b) 0，即“ab 0”是“f(a) f(b) 0”的充要条件 . 11. “”是“曲线ysin(2