二元一次不等式与简单的线性规划教学设计

1、3.3 二元一次不等式 （ 组）与简单的线性规划问题教学目标1 、通过本节探究， 使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等 式组表示平面区域；能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域2、通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数 列结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力3、通过本节学习， 着重培养学生深刻理解 “数形结合” 的数学思想。 尽管侧重于用 “数” 研究“形”，但同时也用“形”去研究“数” ，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力 重难点 教学重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组） ，灵活运用二元一次不等式（来

2、）表 示平面区域 教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式 Ax By C 0 （或 0） 表示 Ax By c 0 的哪一侧区域第 1 课时导入新课出示课本给出的实例， “一家银行的信贷部计划年初投入25000000 元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来 30000 元的效益，其中从企业贷款中获益 12%，从个人贷 款中获益 10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？这个问题中存在一些不等关系，我们应 该用什么不等式模型来刻画它们呢” ？让学生用不等式来刻画资金分配的问题， 可得到不等 关系，由此引出二元一次不等式（组）的解集的概念展开新课一、提出问题让学生阅读

3、课本，什么是二元一次不等式（组）的解集？在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？怎样判断二元一次不等式 Ax By C 0 表示的是直线 Ax By C 0 哪一侧的 平面区域？直线 Ax By C 0 将平面内的点分成了哪几类？学生活动通过代特殊点的方法检验满足不等式 x y 2 0 的点的位置， 足不等式 x y 2 0 的点在直线 x y 2 0 的上方三建构数学1进一步验证结论的正确性：如图，在直线 x y 2 0上方任取一点 P（x,y） ， 过 P作平行于 y轴的直线交直线 x y 2 0于点 A（x, x 2） ，点 P 在直线上方，点 P 在点 A 上方， y

4、x 2 ，即 x y 2 0 ，点 P 为直线 x y 2 0上方的任意一点，所以，直线 x y 2 0上方任意点 （x,y） ，都有 y x 2，即 x y 2 0； 同理，对于直线 x y 2 0左下方任意点 （x, y），都有 y x 2，即 x y 2 0 又平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方因此， 满足不等式 x y 2 0 的点在直线的上方， 我们称不等式 x y 2 0表示的是直 线 x y 2 0 上方的平面区域；同样，不等式 x y 2 0 表示的是直线 x y 2 0 下 方的平面区域练习：判断不等式 2x y 3 0 表示的是直线 2x y 3 0上方还是下方

5、的平面区域？（下 方）yy kx b上半平面y kx b下半平面y kx bOx2得出结论：一般地，直线 y kx b 把平面分成两个区域（如图） y kx b 表示直线上方的平面区域； y kx b 表示直线下方的平面区域说明：（1） y kx b 表示直线及直线上方的平面区域；y kx b 表示直线及直线下方的平面区域 （2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线四数学运用1例题：例 1 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填 空）xx（ 1）不等式 y3 表示直线 y 3 的平面区域；22（2）不等式 x 2y 3 0 表示直线 x 2y 3 0 的平

6、面区域； （3）不等式 x 2y 0表示直线 x 2y 0 的平面区域；（ 4）不等式 x y 0 表示直线 x y 0 的平面区域说明：二元一次不等式 Ax By C 0在平面直角坐标系中表示 Ax By C 0 某一侧所 有点组成的平面区域可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它 的坐标是否满足所给的不等式若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域； 否则，直线的另一侧为所求的平面区域例 2画出下列不等式所表示的平面区域：（1） y2x 1；（2） x y 2 0 解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：例 3将下列各图中的平面区域 （阴影部分）用

7、不等式表示出来 （其中图（1）中区域不包括 y 轴）：解：1）x 0；（2）6x 5y 22；（3） y x新问题情境情境：通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义4x y 10 （1）那么，二元一次不等式组 的几何意义又如何呢？4x 3y 20 （2）根据前面的讨论，不等式（ 1）表示直线 y 10 4x 及其下方的平面区域；不等式（ 2） 表示直线 4x 3y 20 0及其下方的平面区域 因此，同时满足这两个不等式的点 （x,y）的 集合就是这两个平面区域的公共部分（如下图所示） 如果再加上约束条件 x 0,y 0 ，那么，它们的公共区域为图中的阴影部分图图例 4画出下列不

8、等式组所表示的平面区域：1）y 2x 1x 2y 4x02) y 04x 3y 8 0解：（ 1）不等式 y 2x 1表示直线 y 2x 1及其下方的平面区域； 不等式 x 2y 4表示直线 x 2y 4 上方的平面区域； 因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域 （2）原不等式组所表示的平面区域即为不等式4x 3y 8 0所表示的平面区域位于第一象限内的部分思考：如何寻找满足( 2)中不等式组的整数解？(要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等式 组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解)例 5 ABC三个顶点坐标为 A(0,4), B( 2,

9、0), C(2,0) ，求 ABC内任一点 (x, y)所满足 的条件解： ABC 三边所在的直线方程：AB：2x y 4 0；AC：2x y 4 0；BC： y 0ABC内任意一点都在直线 AB,AC 下方，且在直线 BC的上方，2x y 4 0故 (x,y)满足的条件为 2x y 4 0 y0例 6原点和点 (1,1)在直线 x y a 0的两侧，则实数 a 的取值范围是 提示：将点 (0,0) 和(1,1)的坐标代入 x y a的符号相反，即 a (2 a) 0 ，0 a 2例 7(1)若点 ( 2,t) 在直线 2x 3y 6 0下方区域，则实数 t 的取值范围为(2)若点 (0,0)

10、 在直线 3x 2y a 0的上方区域，则点 (1,3)在此直线的下方还是上方区域？2 22解：(1)直线 2x 3y 6 0下方的点的坐标满足 y x 2， t ( 2) 2 3 333a(2)直线 3x 2y a 0 的上方区域的点的坐标满足 y x ，22 点 (0,0) 在直线 3x 2y a 0的上方区域， a 0， a 02a a 3又 3 1 30，点 (1,3) 在此直线的上方区域22五回顾小结：1二元一次不等式的几何意义；2二元一次不等式表示的平面区域的确定六课外作业：课本第 86页 练习 第 14题课本第 93页 A组 第1，2题，B组第 1，2题简单的线性规划问题教学目标

11、1、使学生了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基 本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题 2、通过本节内容的学习，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结 合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力重点难点教学重点：求线性目标函数的最值问题，培养学生“用数学”的意识 教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答【教学过程】第 1 课时导入新课（选）由身边的线性规划问题导入课题，同时阐明其重要意义。如 6枝玫瑰花与 3 枝康 乃馨的价格之和大于 24 元，而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元

12、。如果想买 2 枝玫瑰或 3 枝康乃馨， 那么价格比较结果是怎样的呢？可由学生列出不等关系，并画出平面区域，由此引入新课一问题情境4x y 104x 3y 201问题：在约束条件下，如何求目标函数 P 2x y 的最大值？x0y0二建构数学首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为 可行域 ，如图（ 1）所示 其次，将目标函数 P 2x y 变形为 y 2x P的形式，它表示一条直线，斜率为， 且在 y 轴上的截距为 P 5 平移直线 y 2x P ，当它经过两直线 4x y 10与 4x 3y 20 的交点 A（ ,5）4 时，直线在 y 轴上的截距最大，如图（ 2）所示55因此，当

13、x, y 5时，目标函数取得最大值 2 5 7.5 ，即当甲、乙两种产品445 分别生产 t 和 5t时，可获得最大利润 7.5万元4 这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为 线性规划 问5题其中 (5,5) 使目标函数取得最大值， 它叫做这个问题的 最优解对于只含有两个变量的4 简单线性规划问题可用图解法来解决 说明：平移直线 y 2x P 时，要始终保持直线经过可行域(即直线与可行域有公共点) 三数学运用1例题：x 4y 3 例 1设 z 2x y ，式中变量 x, y满足条件 3x 5y 25，求 z 的最大值和最小值x1解：由题意， 变量 x, y所满足的每个

14、不等式都表示一个平面区域， 不等式组则表示这些平面 区域的公共区域 由图知， 原点 (0,0) 不在公共区域内， 当 x 0, y 0 时， z 2x y 0 ，即点 (0,0) 在直线 l0： 2x y 0 上， 作一组平行于 l0的直线 l：2x y t ，t R， 可知：当 l在l0的右上方时，直线 l上的点 (x,y) 满足 2x y 0 ，即 t 0， 而且，直线 l 往右平移时， t 随之增大 由图象可知，当直线 l 经过点 A(5, 2)时，对应的 t最大， 当直线 l 经过点 B(1,1)时，对应的 t最小， 所以， zmax 2 5 2 12 ， zmin 2 1 1 3x

15、4y 3例 2设 z 6x 10 y ，式中 x,y满足条件 3x 5y 25，求 z 的最大值和最小值 x1解：由引例可知：直线 l0与 AC所在直线平行， 则由引例的解题过程知，当l与AC所在直线3x 5y 25 0重合时 z最大，此时满足条件的最优解有无数多个， 当 l 经过点 B(1,1)时，对应 z 最小， zmax 6x 10y 50， zmin 6 1 10 1 16说明： 1线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得； 2线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优 解有无数多个2练习：课本第 91页 练习 第 1，2题1 a b 2 例 3

16、(1)已知，求 t 4a 2b 的取值范围；2ab4(2)设 f(x) ax2 bx，且1 f ( 1) 2，2 f(1) 4，求 f ( 2)的取值范围。解：(1)不等式组表示的平面区域如图所示，作直线 l0： 4a 2b 0 ， 作一组平行线 l ：4a 2b t ， 由图知 l 由 l0 向右下方平移时， t 随之增大，反之减小， 当 l 经过 A点时 t 取最小值，当l经过 C点时 t取最大值，ab1ab23 1由 ab1和ab2分别得A( 3 , 1 ) ， C (3,1) ，ab4ab22 231 tmin 4 25 ， tmax 4 3 2 1 10 ，22所以， t 5,10

17、(2) f( 1) a b， f (1) a b， f( 2) 4a 2b， 由( 1)知， f ( 2) 5,10 例 4(备用题)已知 ABC的三边长 a,b,c满足b c 2a，c a 2b，求 b的取值范围。解：设 x b ， y ac，则 a1 x y 2x y 1 2x ， y x 1x 0,y 0作出平面区域，21 由图知： A( ,33)，31C(32,12)，23x32，即 23b3a2四回顾小结：巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法 五课外作业：另行补充第 2 课时问题情境1情境： 前面我们用图解法解决了一些求线性目标函数最大值、最小值的问题在现实生活中， 我们还

18、会遇到什么样的与线性规划有关的问题呢？数学运用1例题：例 1投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方米，可获利润300万元；投资生产 B 产品时，每生产 100 米需要资金 300万元，需场地 100 平方米，可获 利润 200 万元现某单位可使用资金 1400 万元，场地 900 平方米，问：应作怎样的组合投 资，可使获利最大？分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：资金（百万元）场地（平方米）利润（百万元）A 产品223B 产品312限制149然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解

19、解：设生产 A 产品 x 百吨，生产 B 产品 y 米，利润为 S百万元，2x 3y 142x y 9则约束条件为 ，目标函数为 S 3x 2y x0y0作出可行域（如图） ，3S3S将目标函数变形为 y x ，它表示斜率为 ，在 y 轴上截距为 的直线，平移直2 2223 S13 5S线 y x ，当它经过直线与 2x y 9和 2x 3y 14的交点 （ , ） 时， 最大，224 2213 5也即 S最大此时， S 3 2 14.75 42因此，生产 A 产品 3.25百吨，生产 B产品 2.5米，利润最大为 1475 万元 说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：设出未知数；列出约束条件（要注意考虑数 据、变量、 不等式的实际含义及计量单位的统一） ；建立目标函数； 求最优解（ 2）对于有实际背景的线性规划问题， 可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形 区域，此时变动直线