2022年完整版,等差、等比数列性质总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载等差数列性质总结精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 等差数列的定义式：a n2等差数列通项公式：an 1d （ d 为常数）（ n2 ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aan1ddnad nn * ,首项:a ,公差 :d ,末项 : a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n111n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推广：an3等差中项a m nmd从而 da nam ；nm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）假如 a , a , b 成等差数列,那么a 叫做 a 与b 的等差中项即：aab

2、 或 2 aab2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）等差中项：数列a为等差数列2aaan2、 nn + 2aaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n4等差数列的前n 项和公式：nn -1n 1n 1nn 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sna1nan na1n n1dd2n a11d nan2bn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222（其中 a.b为常数,所以当 d 0时, sn 为关于 n的二次式且常数项为 0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特殊地,当项数为奇数2n1 时, a n1 为项数为 2n+1 的等差数列

3、的中间项精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2n1a1sa2n 12n1a（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2n 12n 1项）5等差数列的判定方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1） 定义法：如 ana n 1d 或 an 1a nd 常数 nna n为等差数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2） 等差中项：数列an为等差数列2a nan-1an 1 n22a n 1ana n 2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数列a n为等差数列anknb （其中k 、b 为常数）；精品学习

4、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）数列an为等差数列san2bn 、 （其中 a.b为常数）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n6等差数列的证明方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定义法：如 ana n 1d 或a n 1and 常数 nna n为等差数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等差中项性质法：7. 提示：2anan-1an 1 n2, nn 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中, 涉及到 5 个元素：a1 .d .n .an及 sn ,其中a1 .精品学习资料精选学习资料 - - -

5、 欢迎下载d 称作为基本元素；只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余2 个,即知 3 求 2；（2）设项技巧：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般可设通项 ana1 n1d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载奇数个数成等差,可设为,a2 d 、 ad 、 a、 ad 、 a2d（公差为 d ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载偶数个数成等差,可设为,8. 等差数列的性质：a3d 、 ad 、 ad 、 a3d 、（留意；公差为2 d ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）当公差 d0 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

6、下载等差数列的通项公式ana1n1ddna1d 为关于 n 的一次函数,且斜率为公差d ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载前n 和 snan n1dd n2ad n 为关于 n 的二次函数且常数项为0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n11222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）如公差 d为常数列；0 ,就为递增等差数列,如公差d0 ,就为递减等差数列,如公差d0 ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）当 mnpq 时、 就有 a ma na pa q ,特殊地,当 mn2 p 时,就有 aman2 a p .精品学习资料精选学习

7、资料 - - - 欢迎下载注： a1ana2an 1a3an 2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）如an. bn为等差数列,就anb, 1an2 bn都为等差数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5如a n 为等差数列,就sn 、 s2nsn 、 s3ns2n,也成等差数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（6）数列 a 为等差数列 、每隔 kkn * 项取出一项 a、 a、 a、 a、仍为等差数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nmm km 2km 3k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（7）设数列的和a n为等差数列,

8、d 为公差,s奇 为奇数项的和,s偶 为偶数项项的和,sn 为前 n 项精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当项数为偶数2n 时,na1a2 n 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s奇a1a 3a 5a 2 n 1na 22a 2 nna n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s偶a2a 4a 6a 2 nna n 12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s 偶s 奇s偶na nna n11a nna n1na n1a nn d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s 奇na na n当项数为奇数 2n1时,就精品学习资料精选学习资料 - -

9、 - 欢迎下载s2 n 1s奇s偶s奇s偶2 n an+11 an+1s奇ns偶1a n+1nan+1偶nss奇n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（其中 an+1 为项数为 2n+1 的等差数列的中间项） 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 8） b 的前 n 和分别为a . b,且 anf n ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n就 anbn2n2n1) an 1bnna2 n 1b2 n 1nf 2nbn1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 9）等差数列 an 的前 n 项和 smn ,前 m 项和 snm ,就前 m+n 项和

10、sm nmn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载anm、 amn、 就 an m010 求 sn 的最值法一：因等差数列前n 项为关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要留意数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载列的特殊性nn * ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法二：（ 1）“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值为全部非负项之和精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即当 a10, d0,由anan 10可得 sn 达到最大值时的 n 值0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） “首负”的递增等差数列中,前n 项和

11、的最小值为全部非正项之和；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 当 a10, d0, 由anan 10可得 sn 达到最小值时的 n 值0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或求 an中正负分界项精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：解决等差数列问题时,通常考虑两类方法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载基本量法：即运用条件转化为关于a1 和 d 的方程；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载奇妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,削减运算量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 等比数列的定义：2. 通项公式：a

12、nan 1q q0等比数列性质n2、 且nn *, q 称为公比精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa q n 1a1 qnab naq0、 a b0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1qaa q n m1q n m, 首项： a1 ；公比： qan a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推广：nm,从而得m3. 等比中项精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）假如a、 a、b 成等比数列,那么a 叫做 a 与 b 的等差中项即：a2ab 或 aab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2留意：同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中

13、项有两个（两个等比中项互为相反数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）数列a n为等比数列anan 1an 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 等比数列的前n 项和 sn 公式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 当 q1 时,snna1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 当 qsn1 时,a1 1qn1qa1an q1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1a1q n1q1qaa b na ' b na '（ a、 b 、 a '、 b ' 为常数）精品学习资料精选学习资料 -

14、 - - 欢迎下载5. 等比数列的判定方法aqa或 an 1qq为常数, a0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 1nn（ 1）用定义：对任意的n、 都有an an为等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2aaaa a 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n（2） 等比中项：nn 1 n 1 （ n 1 n 10）n为等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn（3） ） 通项公式：aa bna b0 an 为等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4） ） 前 n 项和公式：6. 等比数列的证明方法saa bn 或sa

15、 ' bna'a、 b、 a '、b ' 为常数 an 为等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据定义：如7. 留意anan 1qq0n2、 且nn *或 an 1qan an 为等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5 个元素：a1 .q .n . an 及 sn ,其中a1 . q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载称作为基本元素；只要已知这5 个元素中的任意3 个,便可求出其余2 个,即知 3 求 2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）为削减运

16、算量,要留意设项的技巧,一般可设为通项；n 1ana1q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如奇数个数成等差,可设为,8. 等比数列的性质aa2q 2 、 q 、 a、 aq、 aq（公比为q ,中间项用a 表示）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 当 q1 时n 1aa qa1nqnaba b0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1等比数列通项公式为公比 qq为关于 n 的带有系数的类指数函数,底数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1qnn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s1a1a1qa1na1qnaa bna '

17、 bna'精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载前 n 项和1q1q1q1q,系数和常数项为互为相精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n m反数的类指数函数,底数为公比q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 对任何 m、nn * 、 在等比数列 an中、 有anamq、 特殊的 、 当 m=1时、 便得到等比数列的通精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2项公式 . 因此 、 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 如 m+n=s+t m、 n、 s、 tn * 、 就 anama sat

18、. 特殊的 、 当 n+m=2k时、 得anamak精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： a1an a a2an 1 b a3a n 2 k a ka a k an kab b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(4) 列n、比数列 .n为等比数列 、 就数列n、n、n、nnnk为非零常数 均为等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(5) 数列 an为等比数列 、 每隔 kkn * 项取出一项 am 、am k 、 am2k 、 am3k 、 仍为等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(6) 假如 an为各项均为正数的等比数列、 就数列 loga an 为等差数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(7) 如 an为等比数列 、 就数列sn , s2nsn , s3 ns2 n 、,成等比数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(8) 如 an列为等比数列 、 就数列 a1a2an 、an 1an 2a2n 、a2n 1a2n 2a3n 成等比数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(9) 当 q1时,当 0<q1 时,精品学习资料精选学习资