《选修11：抛物线的标准方程和几何性质》教案

1、适用学科适用学科适用区域适用区域知识点知识点教学目标教学目标高中数学苏教版区域适用年级适用年级课时时长（分钟）课时时长（分钟）高二2 课时抛物线的标准方程和几何性质1.掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程(重点)2掌握抛物线的标准方程和几何性质(重点)教学重点教学重点1抛物线标准方程与定义的应用(难点)2会用抛物线的几何性质处理简单问题(难点)教学难点教学难点【教学建议】【教学建议】1抛物线标准方程、准线、焦点的应用(易错点)2直线与抛物线的公共点问题(易错点)本节课是在学习了椭圆和双曲线之后， 学生在学习方法上已经有了一定的经验， 所以教师可以让学生尝试自主学习，探究抛物线的定义和方程

2、的推导过程。自己来总结几何性质。【知识导图】【知识导图】教学过程一、导入1.教材整理抛物线的标准方程2.教材整理 1抛物线的几何性质阅读教材 p52表格的部分，完成下列问题.3.抛物线标准方程的推导4.p 的几何意义二、知识讲解考点 1抛物线的标准方程和类型y22px(p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)2抛物线的焦点弦考点图象焦点准线 pf,02pf,02p f0,2p f0,2px2x0，yr rpx2x0，yr ry 轴o(0,0)e1py2xr r，y0py2xr r，y0性质范围对称轴顶点离心率开口方向x 轴向右向左向上向下阅读教材 p52例 1 上面的部分

3、，完成下列问题抛物线的焦点弦即为过焦点f的直线与抛物线所成的相交弦弦长公式为在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦的弦长最短，a0b0 2p称ab x1 x2 p，为抛物线的通径三 、例题精析类型一类型一 求抛物线的焦点及准线求抛物线的焦点及准线例题 12(1)抛物线2y 3x 0的焦点坐标是_准线方程是_(2)若抛物线的方程为y ax_3【解析】(1)抛物线 2y23x0 的标准方程是 y2x，2333p33，0 ，准线方程是 x.2p ，p ， ，焦点坐标是8242881(2)抛物线方程 yax2(a0)化为标准形式：x2y，a2a 0，则抛物线的焦点坐标为 _，准线方程为111p110，

4、准线方程是y.当 a0 时，则2p ，解得p， ，焦点坐标是4aa2a24a4a1p1当 a0)，将点(1，3)的坐标代入11方程，得(1)22p(3)，解得 p ，所以所求抛物线方程为x2y.63法二：由已知，抛物线的焦点在y 轴上，因此设抛物线的方程为x2my(m0)又抛物11线过点 1，3 ，所以 1m(3)，即 m ，所以所求抛物线方程为x2y.33(2)法一：设所求抛物线方程为 y22px(p0)或 x22py(p0)，将点(4，8) 的坐标代入 y22px，得 p8；将点(4，8)的坐标代入 x22py，得p1.所以所求抛物线方程()为 y216x 或 x22y.法二：当焦点在x

5、轴上时，设抛物线的方程为y2nx(n0)，又抛物线过点(4，8)，所以 644n，即 n16，抛物线的方程为 y216x；当焦点在 y 轴上时，设抛物线的方程为x2my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以 168m，即 m2，抛物线的方程为x22y.综上，抛物线的标准方程为y216x 或 x22y.x0，x0，y0，y0，(3)由得由得x2y40，x2y40，x4.y2，p所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点为(0，2)时，由 2，得p4，2p所以所求抛物线方程为 x28y；当焦点为(4,0)时，由 4，得 p8，所以所求抛物线方2程为 y216x.综上所述，所求抛物线方程

6、为x28y 或 y216x.【总结与反思】求抛物线的标准方程求抛物线方程都是先定位， 即根据题中条件确定抛物线的焦点位置； 后定量，即求出方程中的 p 值，从而求出方程(1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，进而求出方程(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数值对于对称轴确定，开口方向也确定的抛物线，根据题设中的条件设出其标准方程：y2 2pxp 0, y2 2pxp 0,x2 2pyp 0,x2 2pxp 0进 行 求解， 关键是能够依据抛物线的几何性质首先确定出抛物线方程的形式， 然后采用待定系数法求出其标准方程对于对称轴确定，而开口方向不确定的抛物线：

7、当焦点在 x 轴上时，可将抛物线方程设为y axa 0；2当焦点在 y 轴上时，可将抛物线方程设为x aya 0，再根据条件求a.2类型三类型三 抛物线的标准方程及定义的应用抛物线的标准方程及定义的应用例题 3(1)设 p 是曲线 y24x 上的一个动点， 求点 p 到点 b(1,1)的距离与点 p 到直线 x1的距离之和的最小值(2)已知抛物线 y22x 的焦点是 f，点p 是抛物线上的动点，又有点a(3,2)，求 papf的最小值，并求出取得最小值时点p 的坐标【解析】(1)抛物线的顶点为 o(0,0)，p2，准线方程为 x1，焦点 f 坐标为(1,0)，点 p 到点 b(1,1)的距离与

8、点 p 到准线 x1 的距离之和等于 pbpf.如图，pbpfbf，当b，p，f 三点共线时取得最小值，此时bf 5.(2)将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6. 62，a 在抛物线内部1设抛物线上点 p 到准线 l：x 的距离为 d，由定义知 papfpad.由图可知，当277apl 时，pad 最小，最小值为，即 papf 的最小值为 ，此时点 p 的纵坐标为 2，代22入 y22x，得 x2，点 p 的坐标为(2,2)【总结与反思】(1)把点 p 到准线的距离转化为点 p 到焦点 f 的距离，利用 pbpfbf 求解(2)把点 p 到焦点 f 的距离转化为点 p 到准线的距离，

9、利用垂线段时最短求解类型四：抛物线的几何性质类型四：抛物线的几何性质x2y22(1)已知双曲线c1：221a 0,b 0的离心率为 2.若抛物线c2:x 2pyp 0ab的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为 2，则抛物线c2的方程为_(2)已知抛物线的焦点 f 在 x 轴正半轴上，直线 l 过 f 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 a，b例题 4两点，o 是坐标原点，若oab 的面积等于 4，则此抛物线的标准方程为_x2y2【自主解答】(1)双曲线c1:221a 0,b 0的离心率为 2，abp 双曲线的渐近线方程为3x y 0，抛物线c2：x2 2pyp 0的焦点0,到双2曲线的渐近线的距离

10、为p302222，p8.所求的抛物线方程为x 16y.2(2)不妨设抛物线的方程为y 2px，如图所示，ab 是抛物线的通径，ab2p，又 of111121p，soababof 2pp p 4 p 2 2222222所以抛物线的方程为y 4 2x2【答案】(1)x 16y；(2)y 4 2x2类型五类型五 抛物线的最值问题抛物线的最值问题例题求抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 的最小距离.【精彩点拨】本题的解法有两种：法一，设 p(t，t2)为抛物线上一点，点 p 到直线|4t3t28|的距离为 d，再利用二次函数求最小距离；法二，设直线 4x3ym0 与直5线 4x3y80 平行且与

11、抛物线相切，求出m 的值后，再利用两平行线间的距离公式求最小距离【解析】法一：设 p(t，t2)为抛物线上的点，它到直线 4x3y80 的距离|4t3t28|3t24t8|d5524当 t 时，d 有最小值.33法二：如图，设与直线 4x3y80 平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，2yx，4由消去 y 得 3x24xm0， 1612m0，m.34x3ym0，最小距离为84203345.53类型六类型六 抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦例题 65已知过抛物线 y22px(p0)的焦点 f 的直线交抛物线于 a，b 两点，且 abp，求 ab 所2在的直线方程【精彩点拨】求 ab 所在直线的方程的

12、关键是确定直线的斜率k，利用直线 ab 过焦5点 f，abx1x2p p 求解2p【解析】由题意可知，抛物线 y22px(p0)的准线为 x.2设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b 到抛物线准线的距离分别为da，db.pp由抛物线的定义，知 afdax1，bfdbx2，2253于是 abx1x2p p，x1x2 p.22p5当 x1x2时，ab2p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边oa 与 ob的长分别为 1 和 8，求抛物线的方程答案与解析1.【答案】y8x15【解析】显然斜率不存在时的直线不符合题意设直线斜率为k，则直线方程为y 1 kx22消去x得ky 16y1

13、612k0y1 kx2，由2y 16xk 8，代入得y 8x15.2. 【答案】抛物线方程为y28x；m2 6.p ，0，【解析】法一：由题意可设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点为 f22m6p，因为点 m 在抛物线上，且 mf5，所以有p325，m22p4，p4，解得或m2 6m2 6.故所求的抛物线方程为 y28x，m 的值为2 6.pp ，0，法二： 由题可设抛物线方程为y22px(p0)， 则焦点为 f准线方程为 x ，22根据抛物线的定义，点 m 到焦点的距离等于 5，也就是 m 到准线的距离为 5，p则 3 5，2p4，抛物线方程为 y28x.又点 m(3，m)在抛物线上，m

14、224，m2 6.3. 【答案】4.1 米【解析】如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)，5因为点 c(5，5)在抛物线上，所以 p.2所以该抛物线的方程为 x25y.(2)设车辆高 h，则 dbh0.5，故 d(3.5，h6.5)，代入方程 x25y，解得 h4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.1 米.4. 【答案】抛物线方程为y24 5x.51【解析】设直线 oa 的方程为 ykx，k0 ，则直线 ob 的方程为 yx，kykx，2p由得 x0(舍)或 x2，ky22px，2p2p2a 点坐标为k2，k，b 点坐标为(2pk ，2pk)，由|oa|1，|ob|8

15、，2k2111644p4262k可得解方程组得k 64，即k 4.则p 22，kk 154p2k2k21 642 5又 p0，则 p，5故所求抛物线方程为 y2五 、课堂小结1. 抛物线的标准方程和几何性质4 5x.52. 抛物线的几何性质的应用3. 焦点弦长公式4. 抛物线中的最值问题六 、课后作业基础51抛物线 x22y 上的点 m 到其焦点 f 的距离 mf ，则点 m 的坐标是_22已知f 是拋物线 y2x 的焦点，a，b 是该拋物线上的两点，afbf3，则线段ab 的中点到 y 轴的距离为_3若动圆与圆(x2)2y21 外切，又与直线 x10 相切，则动圆圆心的轨迹方程为_4在平面直

16、角坐标系 xoy 中，有一定点 a(2,1)若线段 oa 的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_答案与解析答案与解析1.【答案】(2,2)151 ，y2，所【解析】设点 m(x，y)，抛物线准线为y ，由抛物线定义， y222以 x22y4，x2，所以点 m 的坐标为(2,2)2. 【答案】543【解析】如图，由抛物线的定义知，ambnafbf3，cd ，所以中点 c 的横23155坐标为 ，即 c 到 y 轴的距离为.24443. 【答案】y28x【解析】设动圆半径为 r，动圆圆心 o(x，y)到点(2,0)的距离为 r1.o到直线 x1 的距离为 r，o到(

17、2,0)的距离与 o到直线 x2 的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为 y28x.54.【答案】x45【解析】由题意可求出线段 oa 的垂直平分线交 x 轴于点4，0，此点为抛物线的焦点，5故准线方程为 x.42巩固1. （苏北三市三模） 6 已知点f为抛物线y 4x的焦点， 该抛物线上位于第一象限的点a到其准线的距离为 5，则直线af的斜率为2在平面直角坐标系xoy中，若抛物线y 2px经过点4， 2，则实数p 23.(南京盐城一模)6 在平面直角坐标系xoy中， 已知抛物线c的顶点在坐标原点， 焦点在x轴上，若曲线c经过点p(1,3)，则其焦点到准线的距离为.x2y24.（苏北

18、四市期末）7抛物线y 4x的焦点到双曲线1渐近线的距离为169答案与解析答案与解析21.【答案】43【解析】联立方程求 a 点坐标，再求斜率。12. 【答案】2【解析】代入方程求解3. 【答案】92【解析】代入方程求解4. 【答案】35【解析】点到直线的距离公式的运用.拔高21.(2019南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：x 4y的焦点为f，定点a(2 2，0)，若射线fa与抛物线c相交于点m，与抛物线c的准线相交于点n，则fmmn=.2.(1)已知m为抛物线y 4x上一动点，f为抛物线的焦点，定点p(3，1)，求mp+mf的2最小值.(2)给定抛物线y 2x，设a

19、a,0,a 0，p是抛物线上的一点，且pa=d，试求d的最小2值.3. (2019苏北四市期末)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y 2px(p0)的准线方程2为x=-1，过点m(0，-2)作抛物线的切线ma，切点为a(异于点o).直线l过点m，与抛物线4交于b，c两点，与直线oa交于点n.(1)求抛物线的方程.(2)试问：mnmn+的值是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.mbmc4.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点弦(经过焦点的弦)ab的两端点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y1y2y2)，则的值一定为.x1x2答案与解析答案与解析1.【答案】13【解析】方法一：

20、由题意得 f(0，1)，所以直线af的方程为x2 2+y=1，将它与抛物线方程1x 2，1 x -2 2，2，m联立解得依题意知交点在第一象限，故取.准线方程为1或2y 2.y 21fm2=1.y 1，故易求得点n(42，-1)，所以由三角形相似性质得=mn1-(-1)32fm=1.方法二：如图，设点m到准线的距离为mb，则根据条件得mb1-(例2)1212=-=，又因为f(0，1)，所以直线fa的斜率为k=，从而sinanb=-2 24183即mb1fm1=，所以=.mn3mn32. 【答案】(1)(mp+mf)min=1+3=4.(2)0a0，x00，因此，当0a0，此时有x0=0，dmin=(1-a)22a-1=