2022年基本不等式知识点和基本题型2

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载一.学问点总结1.基本不等式原始形式基本不等式专题辅导22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）如a、 br ,就 a 2b 22ab（ 2）如a、br ,就 abab 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.基本不等式一般形式（均值不等式）如 a、 b3.基本不等式的两个重要变形r* ,就 ab2ab2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）如a、 br* ,就 ab2ab（ 2）如a 、br* ,就 abab2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载总结：当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值；当两个正数的

2、和为定植时,它们的积有最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特殊说明：以上不等式中,当且仅当a b 时取“ =”精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.求最值的条件： “一正,二定,三相等”5.常用结论精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）如 x0 ,就 x12 当且仅当xx1时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如 x0 ,就 x12 当且仅当xx1 时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）如 ab0 ,就 abb 2 当且仅当 aa22b 时取“ =”）精品学习资料精选学习资料 - - -

3、欢迎下载（ 4）如（ 5）如a、 ba、 br ,就 abr* ab 2ab 22221 abab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载,就ab1122ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特殊说明：以上不等式中,当且仅当6.柯西不等式ab 时取“ =”精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）如a、 b、 c、 dr ,就a 2b2 c2d 2 acbd 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如a 、 a、 a 、 b 、 b、 br ,就有：a 2a 2a2 b 2b 2b2 a ba ba b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

4、下载1231231231 1231 12 23 3（ 3）设a 、 a、 a 与b、b 、b为两组实数,就有a 2a 2a 2 b 2b 2b 2 a ba ba b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12二.题型分析n12n12n12n1 12 2n n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型一：利用基本不等式证明不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.设a、 b 均为正数,证明不等式:ab 211ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.已知a、b、 c 为两两不相等的实数,求证：a 2b 2c 22221abbcca精品学习资料精选学习

5、资料 - - - 欢迎下载3.已知abc1,求证：abc3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.已知a、 b、 cr ,且abc1,求证： 1a1b 1c8abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 a 、b、cr,且abc1,求证：1111118精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.选 修 4 5：不等式选讲abc1a 2b 2c2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 a、b、 c 均为正数 、 且 abc1 、 证明: abbcca;31 .bca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7

6、.选 修 4 5：不等式选讲：已知 ab0 ,求证 :2a 3b 32ab2a 2b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型二：利用不等式求函数值域精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.求以下函数的值域精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） y3x 212 x2（ 2） yx4x（3） yx1 x0 x（ 4） yx1 x0 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.已知 x2 ,求函数 y2 x42 x4的最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

7、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 1：已知 x变式 2：已知 x2 ,求函数y2 ,求函数y2 x42x2 x42x的最小值；4的最大值；4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习： 1.已知 x5,求函数 y44x214x5的最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.已知 x5,求函数y44 x214 x5的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.当时,求yx82 x 的最大值；精品学习资料精选学习资

8、料 - - - 欢迎下载变式 1：当时,求 y4 x82 x 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 2：设 0x3,求函数y24 x32 x 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.如 0x2 ,求 yx63x的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 ：如 0x4 ,求 yx82x的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.求函数y2x152 x 12x5 的最大值；（提示：平方

9、,利用基本不等式）2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式： 求函数 y4 x3114x 34x11 的最大值； 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型五：巧用“1”的代换求最值问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.已知法一： 法二：a、 b0、 a2b1 ,求 t11 的最小值；ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 1：已知a、b0、 a2b2 ,求 t11 的最小值；a b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 2：已知x、 y0、 28xy1 ,求 xy 的最小值；精品学

10、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 3：已知变式 4：已知x、 yx、 y0 ,且 119 ,求 xy 的最小值； xy0 ,且 194 ,求 xy 的最小值；xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 5：（ 1）如x、 y0 且 2xy1 ,求 11xy的最小值；（ 2）如a、 b、 x、 yr且 a xb 1,求 xyy 的最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 6：已知正项等比数列a满意： aa2a,如存在两项a 、 a,使得a a4a , 求 14的最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n765mnmn1mn精品学习资料精选学

11、习资料 - - - 欢迎下载题型六：分别换元法求最值（明白）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.求函数yx27x10 x1 的值域；变式： 求函数 yx28 x1 的值域；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.求函数 yxx22 x51x1的最大值；（提示：换元法）变式： 求函数 yx4 x1的最大值；9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型七：基本不等式的综合应用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.已知log 2 alog 2 b1 ,求3a9b 的最小值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

12、迎下载2.（ 2021 天津）已知a 、b0 ,求 1a12ab 的最小值； b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 1：（ 2021 四川）假如ab 0 ,求关于a、 b 的表达式 a 21ab1a a的最小值；b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式2：（ 2021 湖北武汉诊断）已知,当a0、 a1 时,函数ylog a x11 的图像恒过定点a ,如点 a 在直线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mxyn0 上,求4m2n 的最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.已知x、 y0 ,

13、x2 y2xy8 ,求x2 y 最小值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 1： 已知a 、b0 ,满意 abab3 ,求 ab 范畴；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 2：（ 2021 山东） 已知x、 y0 ,112x2y1 ,求 xy 最大值；（提示：通分或三角换元）3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 3：（ 2021 浙江） 已知x、 y0 , x2y2xy1,求 xy 最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.（ 2021年山东 （理）设正实数x、 y、 z 满意23xy4y2z0、 就当xy 取得最大值时、 2 z

14、x12的最大值为 （ 1）yz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x（提示：代入换元、 利用基本不等式以及函数求最值）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式： 设 x、 y、 z 为正数,满意x2 y3 z0 ,求y2的最小值；xz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型八：利用基本不等式求参数范畴精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.（ 2021 沈阳检测）已知x、 y0 ,且 xy 1xa 9 恒成立,求正实数a 的最小值；y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.已知 xyz0 且1xy1

15、nyzx恒成立,假如nzn,求 n 的最大值；（参考： 4）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（提示：分别参数,换元法）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式： 已知a、 b0 满就 1a42 ,如 abbc 恒成立,求c 的取值范畴；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型九：利用柯西不等式求最值1.二维柯西不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 、 b 、 c、 dr 、 当且仅当 acb ；即ad dbc时等号成立 如 a 、b、c、 dr ,就 a2b 2 c2d 2 acbd 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.二维形

16、式的柯西不等式的变式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) a2b2c2d 2acbd, a、 b 、 c 、 dr 、 当且仅当 a22cb；即addbc时等号成立 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22(2) abcdacbda 、 b 、 c、 dr 、 当且仅当 acb；即addbc时等号成立 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 ab cd acbd 2, a 、 b 、 c、 d0 、 当且仅当 acb；即addbc时等号成立 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.二维形式的柯西不等式的向量形式, 当且仅当0、 或存在实数k 、使

17、ak时、等号成立 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.三维柯西不等式2222222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 a1、a2 、 a3、 b1 、b2 、 b3r ,就有：a1a2a3 1 b1b2b3 a1b1a2b2a3b3 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ai、 bir 、 当且仅当 a1b1a2a3 时等号成立 b2b3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.一般 n 维柯西不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 a 、a、 a与b 、 b、 b为两组实数,就有: aa

18、2222a bba ba ba b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2212n12n12n12bn 1 12 2n n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ai、 bir 、 当且仅当 a1a2b1b2an 时等号成立 bn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.设x、 y、 zr ,如 x2y2z24 ,就 x2 y2z 的最小值为时, x、y、 z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载析： x此时 x2 y2 z 2yzx2y2z 12262 22,2 2 x49362, y, x 4, z2 y2 z 最小值为64精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12212222 23333精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下