数形结合在数学中的应用

1、    数形结合在数学中的应用    王小燕【摘 要】数形结合在数学中的应用有着悠久的发展历史，无论是从数学本身特点、数学教学的内容，还是从采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接解决问题，发现问题解决的角度考虑，加强这方面地教育都是势在必行。本文在分析数形结合在数学应用中的重要作用及原则的基础上，就这种方法的具体应用及注意事项进行了详细地论述。【关键词】数形结合；数学；应用数学发展史上，数和形都是如影随形、难以割舍的。尤其是在现代代数和几何，更是验证了数和形的相辅相成的。统观数学发展史，早期尤其科学发展受限，代数和几何孤立发展起来，携手并进的机会并

2、不多，尤其是在16-17世纪，基本上几何在数学领域占据着主导地位。后期伟大的科学家笛卡儿创造了解析几何法笛卡尔法，就是现代数学方法来研究几何问题，由此创造了数形结合的先河解析几何，而其实际上就是数形结合方法在数学中的具体应用。1.数形结合在数学应用中的重要作用从上面的介绍来看，数形结合有着悠久的发展历史。但是，就现在这种方法在数学中的实际应用并不是很常见，造成这种问题的原因是多种多样的，加强这方面地教育更是势在必行。其一，从数学本身特点来看，基本上现实存在的每一个数学概念都有一个与之相关联、对应的空间形式，可以说概念越抽象、越接近事物的本质，用图形就能越容易反应出来。由此，从这个角度，决定着数

3、形结合应用于数学之中尤其存在的必然性。其二，采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接的解决问题，发现问题解决的结果，尤其适用于解填空题和选择题，可以说如果知道某一问题图形背后蕴含的集合涵义，只要稍加推导就可彻底解决，得出确切的答案。由此，这种方法常常被应用于数学之中。其三，从数学教学的内容来看，数学领域涉及的问题无外乎“数”和“形”。运用“数”、“形”结合的策略解决数学问题，可以有效发展学生思维的灵活性，提高学生解决问题的思路，对于素质教育倡导培养学生“分析问题”、“解决问题”的能力可谓是有着异曲同工之妙。综合上述介绍，将数形结合应用于数学之中，有着重要的现实意义。2.数形结合在数学中应用

4、的原则（1）简单性原则（2）双向性原则（3）等价性原则3.数形结合在数学中的具体应用（1）数形结合在函数问题中的应用函数图形能够形象的描述各变量之间的变化关系，通过研究图形变化的分析，可以更好地理解函数的性质，便于学生分析问题、解决问题。（2）数形结合在方程或者是不等式中的应用方程或者是不等式所表达的数字意义较为抽象，采用数形结合的方法，可将其表达的意义具体化，使要解决的问题更便于理解。比如求方程x2+4x+6=解的个数，通过绘制函数y=x2+4x+6与y=的图象，可明显看到两个方程在图象中只有一个交点，即方程x2+4x+6=的解的个数，即函数x2+4x+6，y=的图象的交点个数，根据图象得交

5、点个数是1，故原方程有1个解。（3）数形结合在几何问题中的应用几何实际上就是数形结合的体现，将数形应用点、线、曲线性质及相互关系的研究中是非常重要的应用方法。比如说：abc是一块锐角三角形余料，边ad=80毫米，bc=120毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在bc上，其余两个定点分别在ab，ac上，设该矩形的长qm=y毫米，宽mn=x毫米.（1）求证：y=120-x；（2）当x与y分别取什么值时，矩形pqmn的面积最大？最大面积是多少？分析：第一问：通过绘制图形，可明显由apnabc得=，即=，y=120-x。第二问：设矩形pqmn的面积为s，则s=xy，即s=x（120-x）=-x

6、2+120x当x=40时，s有最大值为2400，此时y=60.当x=40毫米时，y=60毫米时，矩形pqmn的面积最大，最大面积为2400平方毫米.4.结论总之，数形结合在数学中的应用有着悠久的发展历史，无论是从数学本身特点、数学教学的内容，还是从采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接解决问题，发现问题解决的角度考虑，加强这方面地教育都是势在必行。而在实际的应用中，还应该注意如下几方面问题：第一，保证“数”的准确性数学中几何图形最大的优点在于其直观性，但是，数学问题的解决仅靠直观性的凭空猜测显然是无法得到解决的，由此，还必须要借助着“数”的准确性得出最终的答案。第二，注意考虑问题的全面性

7、在实际问题的解决中，一个数学问题所对应的图形可能不止一个。这个时候，就需要根据实际情况，划出可能存在的图形，并针对这些图形分情况讨论。第三，注意数形间转化的可行性在数学问题的解答中，将复杂的问题转换为简单的、熟知的问题，从而将问题得到解决，就是所谓的转化思想。但是，在实际数形转化过程中，一定要注意相互转化间是否具有可行性。第四，注意数形结合的时效性虽然说将数形结合应用于数学问题的解答中是一种较为重要的解题策略，但是，数形结合也有一定的时效性，换句话说，这种方法只有在特定的条件才可使用，如果条件改变适用性可能就会改变。【参考文献】1黄忠顺.数形结合思想在初中数学教学中的应用.学科教育研究j.2徐

8、国央.数形结合思想在数学解题中的应用.宁波教育学院学报j.2009年第11卷第一期：1153任志鸿，徐明.三年高考两年模拟m.北京：学苑出版社，2006.23.45.（作者单位：包头铁道职业技术学院） 【摘 要】数形结合在数学中的应用有着悠久的发展历史，无论是从数学本身特点、数学教学的内容，还是从采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接解决问题，发现问题解决的角度考虑，加强这方面地教育都是势在必行。本文在分析数形结合在数学应用中的重要作用及原则的基础上，就这种方法的具体应用及注意事项进行了详细地论述。【关键词】数形结合；数学；应用数学发展史上，数和形都是如影随形、难以割舍的。尤其是在现代代

9、数和几何，更是验证了数和形的相辅相成的。统观数学发展史，早期尤其科学发展受限，代数和几何孤立发展起来，携手并进的机会并不多，尤其是在16-17世纪，基本上几何在数学领域占据着主导地位。后期伟大的科学家笛卡儿创造了解析几何法笛卡尔法，就是现代数学方法来研究几何问题，由此创造了数形结合的先河解析几何，而其实际上就是数形结合方法在数学中的具体应用。1.数形结合在数学应用中的重要作用从上面的介绍来看，数形结合有着悠久的发展历史。但是，就现在这种方法在数学中的实际应用并不是很常见，造成这种问题的原因是多种多样的，加强这方面地教育更是势在必行。其一，从数学本身特点来看，基本上现实存在的每一个数学概念都有一

10、个与之相关联、对应的空间形式，可以说概念越抽象、越接近事物的本质，用图形就能越容易反应出来。由此，从这个角度，决定着数形结合应用于数学之中尤其存在的必然性。其二，采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接的解决问题，发现问题解决的结果，尤其适用于解填空题和选择题，可以说如果知道某一问题图形背后蕴含的集合涵义，只要稍加推导就可彻底解决，得出确切的答案。由此，这种方法常常被应用于数学之中。其三，从数学教学的内容来看，数学领域涉及的问题无外乎“数”和“形”。运用“数”、“形”结合的策略解决数学问题，可以有效发展学生思维的灵活性，提高学生解决问题的思路，对于素质教育倡导培养学生“分析问题”、“解决问

11、题”的能力可谓是有着异曲同工之妙。综合上述介绍，将数形结合应用于数学之中，有着重要的现实意义。2.数形结合在数学中应用的原则（1）简单性原则（2）双向性原则（3）等价性原则3.数形结合在数学中的具体应用（1）数形结合在函数问题中的应用函数图形能够形象的描述各变量之间的变化关系，通过研究图形变化的分析，可以更好地理解函数的性质，便于学生分析问题、解决问题。（2）数形结合在方程或者是不等式中的应用方程或者是不等式所表达的数字意义较为抽象，采用数形结合的方法，可将其表达的意义具体化，使要解决的问题更便于理解。比如求方程x2+4x+6=解的个数，通过绘制函数y=x2+4x+6与y=的图象，可明显看到两

12、个方程在图象中只有一个交点，即方程x2+4x+6=的解的个数，即函数x2+4x+6，y=的图象的交点个数，根据图象得交点个数是1，故原方程有1个解。（3）数形结合在几何问题中的应用几何实际上就是数形结合的体现，将数形应用点、线、曲线性质及相互关系的研究中是非常重要的应用方法。比如说：abc是一块锐角三角形余料，边ad=80毫米，bc=120毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在bc上，其余两个定点分别在ab，ac上，设该矩形的长qm=y毫米，宽mn=x毫米.（1）求证：y=120-x；（2）当x与y分别取什么值时，矩形pqmn的面积最大？最大面积是多少？分析：第一问：通过绘制图形，可明

13、显由apnabc得=，即=，y=120-x。第二问：设矩形pqmn的面积为s，则s=xy，即s=x（120-x）=-x2+120x当x=40时，s有最大值为2400，此时y=60.当x=40毫米时，y=60毫米时，矩形pqmn的面积最大，最大面积为2400平方毫米.4.结论总之，数形结合在数学中的应用有着悠久的发展历史，无论是从数学本身特点、数学教学的内容，还是从采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接解决问题，发现问题解决的角度考虑，加强这方面地教育都是势在必行。而在实际的应用中，还应该注意如下几方面问题：第一，保证“数”的准确性数学中几何图形最大的优点在于其直观性，但是，数学问题的解决

14、仅靠直观性的凭空猜测显然是无法得到解决的，由此，还必须要借助着“数”的准确性得出最终的答案。第二，注意考虑问题的全面性在实际问题的解决中，一个数学问题所对应的图形可能不止一个。这个时候，就需要根据实际情况，划出可能存在的图形，并针对这些图形分情况讨论。第三，注意数形间转化的可行性在数学问题的解答中，将复杂的问题转换为简单的、熟知的问题，从而将问题得到解决，就是所谓的转化思想。但是，在实际数形转化过程中，一定要注意相互转化间是否具有可行性。第四，注意数形结合的时效性虽然说将数形结合应用于数学问题的解答中是一种较为重要的解题策略，但是，数形结合也有一定的时效性，换句话说，这种方法只有在特定的条件才

15、可使用，如果条件改变适用性可能就会改变。【参考文献】1黄忠顺.数形结合思想在初中数学教学中的应用.学科教育研究j.2徐国央.数形结合思想在数学解题中的应用.宁波教育学院学报j.2009年第11卷第一期：1153任志鸿，徐明.三年高考两年模拟m.北京：学苑出版社，2006.23.45.（作者单位：包头铁道职业技术学院） 【摘 要】数形结合在数学中的应用有着悠久的发展历史，无论是从数学本身特点、数学教学的内容，还是从采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接解决问题，发现问题解决的角度考虑，加强这方面地教育都是势在必行。本文在分析数形结合在数学应用中的重要作用及原则的基础上，就这种方法的具体应用

16、及注意事项进行了详细地论述。【关键词】数形结合；数学；应用数学发展史上，数和形都是如影随形、难以割舍的。尤其是在现代代数和几何，更是验证了数和形的相辅相成的。统观数学发展史，早期尤其科学发展受限，代数和几何孤立发展起来，携手并进的机会并不多，尤其是在16-17世纪，基本上几何在数学领域占据着主导地位。后期伟大的科学家笛卡儿创造了解析几何法笛卡尔法，就是现代数学方法来研究几何问题，由此创造了数形结合的先河解析几何，而其实际上就是数形结合方法在数学中的具体应用。1.数形结合在数学应用中的重要作用从上面的介绍来看，数形结合有着悠久的发展历史。但是，就现在这种方法在数学中的实际应用并不是很常见，造成这

17、种问题的原因是多种多样的，加强这方面地教育更是势在必行。其一，从数学本身特点来看，基本上现实存在的每一个数学概念都有一个与之相关联、对应的空间形式，可以说概念越抽象、越接近事物的本质，用图形就能越容易反应出来。由此，从这个角度，决定着数形结合应用于数学之中尤其存在的必然性。其二，采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接的解决问题，发现问题解决的结果，尤其适用于解填空题和选择题，可以说如果知道某一问题图形背后蕴含的集合涵义，只要稍加推导就可彻底解决，得出确切的答案。由此，这种方法常常被应用于数学之中。其三，从数学教学的内容来看，数学领域涉及的问题无外乎“数”和“形”。运用“数”、“形”结合的

18、策略解决数学问题，可以有效发展学生思维的灵活性，提高学生解决问题的思路，对于素质教育倡导培养学生“分析问题”、“解决问题”的能力可谓是有着异曲同工之妙。综合上述介绍，将数形结合应用于数学之中，有着重要的现实意义。2.数形结合在数学中应用的原则（1）简单性原则（2）双向性原则（3）等价性原则3.数形结合在数学中的具体应用（1）数形结合在函数问题中的应用函数图形能够形象的描述各变量之间的变化关系，通过研究图形变化的分析，可以更好地理解函数的性质，便于学生分析问题、解决问题。（2）数形结合在方程或者是不等式中的应用方程或者是不等式所表达的数字意义较为抽象，采用数形结合的方法，可将其表达的意义具体化，

19、使要解决的问题更便于理解。比如求方程x2+4x+6=解的个数，通过绘制函数y=x2+4x+6与y=的图象，可明显看到两个方程在图象中只有一个交点，即方程x2+4x+6=的解的个数，即函数x2+4x+6，y=的图象的交点个数，根据图象得交点个数是1，故原方程有1个解。（3）数形结合在几何问题中的应用几何实际上就是数形结合的体现，将数形应用点、线、曲线性质及相互关系的研究中是非常重要的应用方法。比如说：abc是一块锐角三角形余料，边ad=80毫米，bc=120毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在bc上，其余两个定点分别在ab，ac上，设该矩形的长qm=y毫米，宽mn=x毫米.（1）求证：y=120-x；（2）当x与y分别取什么值时，矩形pqmn的面积最大？最大面积是多少？分析：第一问：通过绘制图形，可明显由apnabc得=，即=，y=120-x。第二问：设矩形pqmn的面积为s，则s=xy，即s=x（120-x）=-x2+120x当x=40时，s有最大值为2400，此时y=60.当x=40毫米时，y=60毫米时，矩形pqmn的面积最大，