61不等关系与不等式

1、第六单元不等式6.1 不等关系与不等式、选择题1若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是（）1 1A a + b>b+aB.b>Ta a + 1C. a112a+ b a>b-D.>baa + 2b b解析:1 111 a>b>0 , >一，. a+ >b+_.b aba答案:A2.下列命题正确的是()A .若 ac> bc? a> bB.若 a2> b2? a> b1 1C .若一? av bD.若 av b? av ba b解析:对于A，若cv 0，其不成立；对于 B,若 若a> 0, bv 0，其不

2、成立；对于 D，其中 Da、b均小于0或av 0,其不成立；对3.于C,答案：设 a = sin 15 丰 cos 15 ,2 2a2+ b2A. avv b2 2_a + bC. bv av2a> 0, b>0,平方后显然有av b.b= sin 16丰cos 16 ,°则下列各式正确的是 ()2 2a2 + b2B. av bv22 2a + bD. bv 2v a解析：a= sin 15 牛 cos 15 =2sin 60，b= sin 16 牛 cos 16°= <2sin 61 ； a v b,排除2 . 2a + bC、D两项.又aM b,&g

3、t;ab=V2sin 60 °2sin 61 = Vsin 61 >V2sin 61 = b,a2+ b2故a v bv 成立.4.答案：B已知x>y>z,A. xy> yz且 x + y+ z= 0,B. xz> yz下列不等式中成立的是（）C . xy> xz D. x|y|> z|y|x > 0,解析：由已知3x> x + y+ z= 0,3zv x + y+ z= 0, / x >0, zv 0.由得 xy> xz.I.y> z,答案：C二、填空题1 1 、5.下列四个不等式： av 0v b;bv av

4、 0:bv 0v a:0v bv a.其中能使一<二成立的a b充分条件有.11 b a解析：丄v 1?v 0 ? b- a与ab异号，能使b-a与ab异号.a b ab答案：26.设 a> 1 且 m= loga(a + 1),n = loga(a- 1), p= loga(2a),贝U m、n、p 的大小关系为 解析：/ a2 + 1> 2a(a> 1),loga(a2+ 1) > loga(2a).又 a 1 2a= a 1 v 0, - - a 1 v 2a, - - loga(a一 1) v loga2a. - m > p> n.答案：m &

5、gt; p> na c(只7. a、b、c、d均为实数，使不等式b>d>0和advbc都成立的一组值(a, b, c, d)是 要写出适合条件的一组值即可)解析：本题为开放题，只要写出一个正确的即可，女口(2,1， 3， 2).答案：(2,1， 3， 2)三、解答题a3 b38.设 a、b (0，+3 b3解答：作差p +孑)，且a丰b，比较+孑与a+ b的大小.3.3“1、22. 21(a + b)= (a b) g = (a+ b)(a b) (a + ab+ b)，T a、b (0，+ )且 a b，. a + b， (a b)2， (a2 + ab+ b2)， a均为

6、正数.33 (a+ b)(a b)2(a2+ ab+ b2)112 X2,，Xn (0 ,+ )，则 凶+ X2+ Xn)( +一+一 )> X1 X2Xn X1 + X21X1 + X21111 证明：(1)设 X1>0 ,X2>0，则 f(2 2) 2【f(X1) + f(X2) = 2 + 2(X1 + X1 + X2+ ；)。， 器+ 2> a + b.mx9.设 m R，a>b> 1，f(x)=一T，比较 f(a)与 f(b)的大小.x 1b 1 (a 1)(b 1)'解答：f(a) f(b)=匹 皿m(ba)b aa 1a 1 >

7、0, b 1 > 0，v 0.(a 1)(b 1)当m> 0时,当mv 0时,m(b a)(a 1)(b 1)m(b a)c> 0，(a 1)(b 1)'m(b a)= 0(a 1)(b 1)=，v 0,f(a)v f(b);f(a)> f(b);f(a)= f(b).10.设 a>0，且 a丰 1， P= loga(a3 1)，Q = loga(a2 1)，试比较 P 与 Q 的大小. 解答：/ P= loga(a3 1)，Q= loga(a2 1)， a>0，a3 1>0，a2 1>0，. a>1. 又 t (a3 1) (a2

8、 1) = aa 1)>0， a 1>a? 1，选做题1. (2009 全国 n )设 a = lg e，b= (lg e)2，c= lg . e，则(A. a> b> cB. a> c> bC. c> a> b解析：0 v lg ev 1，即卩 0 v av 1； b= (lg e)2 = a2v a； c=当m= 0时,3-2 八 loga(a3 1)>loga(a2 1).即 P>Q.)D. c> b> alg e= 2lg e=殳av a，又 b= (lg e)2v lg 10 Ig e= jg e= c，因此 b

9、v cv a.答案：B2.设X1、X2是区间D上的任意两点，若函数y= f(x)满足f(x1； X2) f(x1)； f(x2)成立,函数y= f(x)在区间D上下凸.1(1) 证明：函数f(x)= x+ 一在区间(0,+8 )上下凸；(2) 若函数y = f(x)在区间D上下凸，则对任意的 忙+迪7)<恥卄f(x2)j+伽.试根据下凸函数的这一性质，证明：若X1， X2，Xn 则称xi,_211 + 14X1X2 X2(Xl + X2) X1(X1 + X2)_ (Xi X2)' <。Xl+ X2 2(X1 X2) 2X1X2(X1 + X2)2X1X2(X1+ X2)，X1 -p X211一二 f(2 -)< rf(X1)+ f(X2).由定义可知 f(X)= x+-在区间(0,)上下凸.22X1X1 + X2 + Xn1由(1)可知f(X)= x + 1在(0,+s )上下凸，根据性质，有 -+ 丄X丄 丄XX-X1十X2十十X-1 1 1(* X1+x;)+ (X