产品设计中的相似理论及相似设计方法

1、3相似理论及相似设计方法对应论方法曾是一种古典的理论，近代发展为相似理论，现代又发展为对应 论方法学，其屮与工程技术的设计和分析直接相关的是相似设计和模拟技术。而 仿真则是模拟技术的高级阶段与数字计算。3.1相似理论3.1.1相似概念相似是指表述一组物理现象的所冇物理量在空间相对应的各点和在时间上 各对应的瞬间，各自互成一定的比例关系，并且被约束在一定的数学关系z屮。 其屮各物理量的相似主要有几何相似、时间相似、运动相似、动力相似、边界条 件的相似和其他物理参数的相似等。3.1.1.1几何相似相似系统小，任何对应点的坐标z比为常数，称为几何相似，即应满足：z7? = c厶(31)也就是两现象中

2、，任意相对应线性尺寸之比恒相等，任意两条对应直线间的 夹角保持不变。3.1.1.2时间相似吋间相似是指两现象对应的吋间间隔成比例。或者说，两系统的相应点或者 对应部分沿着几何相似的路程运动达到另一个对应的位置时，所需的时间比例是 一个常数。如图所示，有：(3-2)3.1.1.3运动相似运动相似是指速度或加速度场的几何相似，即相似系统的各对应点在对应吋刻上速度或加速度的方向一致，大小互成比例。如图32所示，有：(3-3)3.1.1.4动力相似动力相似是指力场的几何相似，即相似系统的齐对应点处对应时刻的作用力(广义)的方向一致，大小互成比例，即有：皆=cf(34)3.1.1.5温度相似温度相似是指

3、温度场的几何相似，表现为相似系统各对应点处对应吋刻的温 度成比例，即有：t話cy(35)其他物理参数的相似定义表述形式相同。常数cl、cr、c八0、g等称为相 似常数。根据一般的数学知识，可以得到相似常数的推论：若试、试和坊、堪是同类相似的量,即:则冇竺_宝_笠 u9 u u；(3-6)(3-7)(3-8)式(31)式(35)是相似现象的单值条件。现象的相似就是通过各种物理量的 单值相似来表现的。由丁表示现象特征的各种物理量并不是孤立的，而是处在为 自然规律所决定的一定的关系之中，所以各个相似常数是相互关朕的，不能随意 选择:亦止因如此，对某种相似现象，可以用相应的几个基木参数的相似来描述。

4、比如，对研究力学性质的现象，如果两系统在几何学、运动学和动力学上相似, 则其他参量的相似，均可用上述三类相似來描述；它们不能自成范畴，而只能作 为设计条件和要求。这些问题止是相似理论的研究内容z-o3.1.2相似定理相似定理是用来判断两个现象相似的充分必要条件及其所应遵循的法则。相 似定理的作用包括以下三个方面：相似现象貝有什么性质；(2) 个别现象的研究结果如何推广到所有相似的现象中去；(3) 满足什么条件才能实现现象相似。弄清楚上述问题，才能解答卜列问题：(1) 模型试验应遵守什么条件；(2) 模型试验需要测量哪些物理量；(3) 如何整理实验结杲，使z推广到原型等现象中去。而实现这些冃的的

5、基础就是相似理论的三个基本定理，其中第一定理介绍相 似现象的性质，也称为相似性质；第二定理用来确定相似准则的个数以及相似结 果的推广，亦称为乃定理；第三定理又称为模型化法则，也是相似现象的充耍条 件。3.1.2.1相似第一定理相似第一定理又称相似性质，说明了相似现象所具有的一些性质。现举例说 明如下：设有两个彼此相似的现象，可用同一个方程式来表示。如受偏心拉力的等截 面直杆，轴向拉力为偏心距为厶截面积和抗弯截面模数分别为f和必则 此杆外侧面的应力为：fl p(y = +w f(3-9)对于第一现象，有：9 p9l9 pf(3-10)对于第二现象，有：義严"严 b ttt99 + e(

6、3-11)若此两个现象各个物理量之间存在如下关系:b = w r = cppfr = cllfit 二 git r = cpfr (3-12)式中，g、5、j、6和cc分别为应力、拉力、偏心距、抗弯截面模数和 截面积的相似常数。将式(312)代入式(3口),得：*=込弩+空gcwca wcwca wr cf f,x '若耍使两个现象变换吋不破坏原有方程，则必须有5=乎和2=?。现cp令:g二鴉$二烽(314)若两个现象相似，必须使:=£pq =比2 = d = 1(3-15)1 cwca 2 cf5 ' 丿 式(3-15)是判定现象相似的条件，称为相似指标。该式表明，

7、相似现象屮各 相似常数具有一定的关系，使相似指标等丁7：将式(3-12)中各式代人式(3-15),可得：phl" _ p' l' p _ p1(3 6) =诉= wra,1去掉上式中各量的上标，则可写成一般形式：pjpk = = idemk2 = = idem (3-17)1 wa2 fa上式称为相似判据(或相似准则)。从式(3j6)可以看出，对所有相似的现象， 相似判据是相同的,为一不变数。相似准则的特点是：无量纲；综合数群； 适合无数的和似现象。这里应注意相似准则和相似常数的区别。这里所说相似准则是不变量，是指 在所有互相相似现象的对应点和对应时刻上这一数群数值相

8、等；当位置和时刻改 变时，这一数郡的数值一般是变化的。相似常数则是指一对物理现象有关的物理 量比值在所有对应点和对应时刻上保持不变；而对第三个与它们相似的现象，这 一比值一般是不同的。相似第一定理可以归纳为：对于彼此相似的现象，其相似指标为1,相似判 据为一个不变量。它有如下四个方面的内涵：(1) 相似现象属同一现象，具有相同形式的方程组。(2) 表征相似现象的一切量，在空间上对应的各点和时间上相应的瞬间，各 自互成一定的比例。(3) 相似现象的一切量各口互成比例，但由于由这些量组成的方程组是相同 的，所以各相似常数不是任意的，而是彼此约束，具有一定的关系，即相似现象 的相似指标等于lo相似现

9、象必定具有数值相同的相似准则或相似判据。3.1.2.2相似第二定理相似第二定理主要是说明如何确定相似准则的个数的。相似第二定理可以描 述为：某个现象的物理量总数为n,量纲独立的物理量总数为k,则该现象相似 准则的个数为n-k.且描述该现象各个物理量z间的关系可表示为相似准则兀i， 兀2，兀讥z间的关系，即/(眄，兀2 兀(n-k) = 0(3-18)式(3-18)称为准则关系式，或盯关系式。式中的各相似准则称为兀项。对于两个相似现象，由于在对应点对应时刻上相似准则兀2,s 的值不变，bp：7t； = tc；(3-19)*2 = 23 = n3保证了式(3 j8)的成立。式(3-19)实际上反映

10、了模型试验等的设计条件，其意义在于：如果把某现象 的结果整理成式(3-18)所示的关系形式，则该式叮以推广到和它相似的所有同粪 现象上去。而在推广过程中，并不需要真止列出式(3-18),只要利用式(3-19)的关 系式。在刀关系式(3-18)中，k值是代表现象的基本物理量的数目，从意义上来讲， 它实际上就代表了同一现象中基木量纲的数目。除基木物理量z外的所有有量纲 的量，都可称为导出物理量。导出物理量在量纲构成上同基木物理量间呈幕函数 关系。现象的物理量除去多数是带有量纲的以外，有时还会出现一些不带量纲的量。 对于这些不带量纲的物理量，在兀关系式中要直接作为兀项來处理。这是因为， 这些物理量除

11、了具有无量纲的特征以外，也往往具有明显的物理意义。比如摩擦 系数，它可以理解为摩擦力和止压力z比，所以它符合无量纲综合数群的要求。 再如角度这样的无量纲量，同样也可以找到这样的物理依据。另外，在现象分析时,7t项有自变和因变(导出)之分，因变的兀项可用自 变7c项表示tt= f (71±,兀2 兀n_k) =0(3-20)相似第二定理主要用來说明某一试验结果如何向相似现象中推广。相似第二 定理又称为定理。关于'定理的一般形式及应用将在后面讨论。3.1.2.3相似第三定理相似第一和第二定理明确了相似现象的性质，它们是在假定现象相似的基础 上导出的，但它们并没有给出现象相似的充要

12、条件。相似第三定理则说明了现象 满足什么样的条件才是相似的。该定理对于建立新的过程或新的设备，即把模型 试验结果进行推广时是很重要的。所以又称为模型化法则。相似第三定理指出，现象相似的充耍条件是：(1) 相似的现象都应由完全相同的方程组所描述；(2) 相似现象的单值条件也应相似;(3) 由单值条件的物理量所组成的相似准则在数值上应相等，即相似指标应 等于综上所述，现象相似条件可表述为：凡同一完整的方程组所描述的同类现象, 当单值条件相似，口由单值条件的物理量所组成的相似准则在数值上相等，则这 些现象就相似。这里的单值条件就是如丽所述的将一个个别现象从同类现象中区分出來，亦 即将现象的通解转变为

13、特解的具体条件。单值条件包括几何条件(或空间条件)、 介质条件(或物理条件)、边界条件和初始条件(或时间条件)。相似第三定理直接利用代表具体现象的单值条件來定义现象的相似，显示了 它科学上的严密性。但在一些复杂现象中，很难确定现象的单值条件，仅能凭借 经验判断何为系统的主要参量；或者虽然知道单值量，又很难做到两现象由单值 量组成的某些相似准则的数值上的完全一致。这就造成相似第三定理难以真正实 行。3.2相似准则导出相似准则的导出方法主要有两种：方程分析法和量纲分析法。它们的着手处 不同，做法不同，分析过程不同，所得相似准则的形式也可能不一样，但其实质 是相同的，这说明齐准则形式z间存在着一定的

14、代数转换关系。下面就这两种方 法分别予以介绍。3.2.1方程分析法用方程分析法进行相似分析的前提是所讨论现象的数理方程为已知，而且任 何止确的物理方程都是量纲和谐的，即方程中的每一项的量纲都是相同的，这是 通过方程分析能够导岀相似准则的基础。用它來决定相似准则有两种方法，即相 似转换法和积分类比法。3.2.1.1相似转换法a相似转换法的基本步骤(1) 写出现象的数理方程；写出全部的单值条件；(3) 写出相似常数的表达式；(4) 将相似常数带方程组进行相似变换，求出相似指标方程式，再转换为相 似准则；(5) 将相似常数带单值条件方程，经相似变换得相似指标方程，并转换为相 似准则；(6) 将所有求

15、得的相似准则进行分解、组合，向常用的准则靠拢。b导数的相似转换在微分方程的相似转换中，涉及到导数和偏导数的相似转换问题，即求导符 号的相似转换。设现象有两个同类参量yl和y2,若两现象相似，有： yl_y£_c站一站一 5根据比例性质，必+必_必一必_ w _厂ro yw 一一 矽一 y(3_21)叭尸0 (釜)=器=cy(3-22) dy _必_必_ “心而7 一站一 y< 一 5(323)现把问题扩大到两个相似的物理量y和方有:dy _ y dtdyz yz dt7t:=7（3-24）将两式相除，得:dy dt y 作”、 应:百=歹诂(*25)即器第諾说讨dt dtz上式

16、说明，对两和似物理现象，在各物理量作和似比较时，竽和渝效果是样的，即可以将相似准则屮的微分符号直接去除。对于二阶微分，同样可以推出： = d(%/dld©/dt-¥/t = £(3-27)同样可证，在相似分析屮f(x)dx和jf(x)dx的效果是一致的。所以当方程屮 有积分存在吋，可直接将其屮的积分符号去掉用被积式来代替。例3-1针对“弹簧一质量一阻尼”系统，试用模型研究位移y的变换规律。 解：(1) 写出数理方程：根据机械振动的知识可知，质量m的位移的动力学微分 方程为：m器+ 耳篇+ ky = o (3-28a) m第+ /黑+k'y' = o

17、 (3-28b)式中 m质量；y质量位置坐标；n系统阻尼系数；k弹簧刚度系数。(2) 写出单值条件，并令两现象相似，得单值参量相似常数为:物理条件相似(3-29)边界条件相似：(3-30)初始条件(t二0, y=yo)相似：(3-31)进行相似变换，将相似常数带入方程，得到：(3-32)为了保证微分方程的一致性，上述方程中的各项系数必须彼此相等，即:(3-33)由此可得两个独立的相似指标方程：(3-34)(4)将相似常数带人初始条件求相似指标: 当t=0,对应有:经过相似变换有：(3-35)将两指标方程组合，可得与初始条件相关的指标方程：(3-36)将相似常数带人相似指标方程式，即可得到相似准

18、则：(3-37)此处为独立的相似准则。本例中还有一个独立的相似准则，显然是上，这样独立的4个相似准则就可构成一个兀关系式：(3-38)3.2.1.2积分类比法方程分析法中较另外一种常用的、比较简便的方法是积分类比法，其具体步 骤为：(1)写出物理现象的基本方程(可为微分方程或积分方程的形式)；(2) 用方程的任一项去除方程的其余各项：(3) 将由得到的各项中涉及的导数用相应的量的比值替代、积分用被积式 来代替。如此得到的公式各项即是相似准则；相似现象中它们应保持不变。(4) 以单值条件补充基木方程的不足，建立新的方程或等式，求出其余的补 充相似准则。例3-2如弹簧质量系统的基本微分方程为:d2

19、ydt5-用第三项去除其余各项，有:第三顼二m磐砂第二项d,第三顼二叼詈/砂以手替换鲁，芳替换乎，去除各项中的微分符号。得到来口微分方程的相似 准则:d(3-39)m 鱼影 i'yjkt =idem 叩警 / kyjz-: idem d本例中确定系统特解的单值条件为： y卜叫。料：。刚。 (3 8,据此，同样可得另外两个相似准则：上二 idem vot： idem (3-41)yo y深入研究可以发现，用此方法建立相似准则，和由相似第一定理推导相似准 则在木质上是一致的。对于较为复杂的物理现象，其微分方程(组)是通过某些物理量在三个坐标 轴上的分量來描述的，如果方程和方程之间，或方程的

20、项和项之间出现地位、性 质一一对应的方程和项，则在作相似分析时，可仅保留其一，并且用总量替换其 分量z后用积分类比法求解。方程分析法在使用上是方便的，但其前提是有足够正确的方程和单值条件, 这对许多问题是非常困难的。3.2.2量纲分析法3.2.2.1基本概念当描述某一现象的方程(组)暂时无法写出时，可以采用量纲分析法或因次 分析法來确定相似准则。所谓量纲就是度量物理量的类型，同一类型的量具有相同的量纲。我们常用 卜列符号來表示各种不同的量纲，如长度的量纲为：l：,力的量纲为f,时间的 量纲为t,质量的量纲为m等等。在实际现象中，物理量之间的关系是遵循一定的自然规律的。在数学上，可 用方程式來表

21、达，因此，各量纲z间亦有一定的关系：如选定一组彼此独立量纲 作为基本单位，则其他量纲的单位可由基本单位导出：如选定贡量、时间和长度 的量纲为基本单位，则根据牛顿第二定律，力的量纲单位为ml/t2二由基木单位导出的单位称为导出单位，基木单位不是固定不变的，任何一组 彼此独立的并可导出其他单位的单位均可作为基木单位二如对力学问题，在国际 si单位制中，把长度、质量、时间的量纲作为基本单位；而在工程单位制中，则 把长度、力和时间的量纲作为基本单位。当研兖对象为静力问题时，因与时间无 关，故只有两个基木单位。但在热力学问题中，还需增加温度的量纲为基本单位。 在工程技术中，常用特征值的量纲如表所示。表3

22、j常用特征值的量纲量纲表示了各物理量的类型，因此表示各物理量之间关系的方程式，其各项 量纲必须是相同的，否则便会出现如长度和时间相加等错谋结论。这就是作 为量纲分析理论基础的量纲齐次方程的数学理论。根据这一理论，一个能完善地、 正确地反映物理过程的数学方程，必定是量纲齐次的。3.2.z.2量纲分析法的作用量纲分析法是以量纲方程为核心，以方程的齐次性为依据而进行的，量纲方 程的真正作用表现在物理方程尚未掌握时，对物理现象的分析上。例3-3 -个自由落体在时间t内落下的距离为s,试写出其一般方程，并以 其为例来说明量纲分析法的四个作用。(1) 作用4量纲方程能根据正确选择的参量建立起带未知系数的、

23、供相似分 析用的物理方程。这里最重要的是确定因变量。的影响因素，选时间£和重力加速度g作为影 响因素,即：，:f(g, f),则物理方程的形式可写：s=co gc 一 £cz( 3-42)式中co 无量纲待定常数。将各个参量的量纲带入上式得到量纲方程：l=： lt 一二！匚屯根据量纲齐次原则，上述方程两端应该具有相同的量纲，故：ci =10=c? -2clci =1c2=2则a由落体运动物理的方程为:5： co gz (3-45)(2) 作用2：可剔除被多余考虑的物理量。若同时考虑物体重量训与s有关， 一般的方程改写为：(3-46)(3-47)所引起的。s=co £

24、;qg"3将各个参量的量纲带入上式得到量纲方程：l：u lqt屯lt2q根据量纲齐次原则，上述方程两端应该具有相同的量纲，故：cl +c3 =10=c2 -cl -2c3由于三个未知量，两个方程，无法求解出貝体的系数cl、c2、c3将其表示 为:cl =1-c3 c2 =c1 +c3刚a由落体的一般方程为：(3-48)卑跚33/l/lo裤滁姚 弧却却删蝴翟o ?l%q n删舱玩胸眠叫啡一一联嬲一一 o昏膨做一一靴晡-iti-蝴删妻齐瀚扣别缄哇”、垂拜川酬雕嘲撇粹根断9刁s设这聂3相似理论及相似设计方法52(3-53)整理得：(3-54)在这个方程中，由两个未知量c二、c,代替了原方程

25、中的四个未知量ca、cl、c2、c3o 因此,为了确定两个待定系数c。、cj可由两次实验确定，根据试验得到：(3-55)因此，(3-56)3.2.23兀定理的应用量纲分析中重要的理论为啊定理。假如一现象中有n个物理量(戈戈”，戈。)，其关系方程可以表示为：f(戈，戈：，戈。)二0(3-57)此方程可用级数形式表示：yno x7i,谚：砖 n=0(3-58)式中，iv。为无量纲系数。因为方程式必须是量纲的齐次方程，因此以其中 任一项ivs戈：“戈；虬一x:sn (s项)去除其余各项得无量纲方程式：1+工等戈：。n-%1)戈 iaa 一 ii & )- asn)=o (3-59)令aij：

26、 aij 一 ii, (j=l, 2,n), t二等,则上式可写成: l+lto 芫 jn 戈笋龙 al 二0(3-60)如杲上式中有m个互相独立的物理量可以作为基本单位，为方便起见设其为戈戈”，戈。，则戈。+. , z, +:,，戈。为导出单位，可由戈，z:,，z。 导出。这样，我们可以建立起k二rwn个无量纲数群(将导出单位用基木单位表示)，称为盯项：竹 12bii工，工，：_xb2m (3-61)盯nm戈？ ，t戈；，z戈b m, m以上各式分了和分母的量纲是相同的，因此均为无量纲项。代入式(3-59), 得：1+工ti_x'4;1x；。石(iv? 11 戈 b2_xb1 “)4

27、 z,m+l (lo 一o) 4m (戈 bn_m,.戈 bn_m.2戈m "，“) 4m=0(3-62)由于戈，z：,，石。为基本单位，彼此无合并可能，上式又是无量纲方 程，因此戈戈”，戈。各基木单位的指数总和应当为零，女口：蠡7t3.2相似准则的导出)xia4+b114, +!l师'： +bn_m.ia=x?=l(3-6所以式(361)可写成：1+sr：竹；一"盯：。. m+：订：竺。=0(3-6或f(盯 1,盯 2,订。一o )=0(3-6盯定理可以具体表述如2所有量纲齐次方程均可以化成无量纲综合数群z 和的形j无量纲数群'项的个数为n ”z,其中n为

28、方程中不同物理量的数目，m为 彼此独立可作基本单位的物理量的数目二根据相似第二定理，无量纲方程的各项为相似判据，因此，各盯项可作为相 似判据。个竹项可建立n-m个判据方程二在使用此方法选择基木物理量时应注意：(1) 基木物理量应有量纲，且在同组内量纲不得重复；(2) 所选的一组基本物理量，量纲情况应尽可能简单；(3) 不耍把待测量列为基本物理量。3.2.2.4量纲分析法求相似准则的基木步骤用量纲分析法求相似准则的基木步骤如2罗列现象的物理参数，写出现象的函数式妒(戈,y, z, m,移，w) =0, 此函数式只是列求函数关系的一种估计，常写成幕函数形式；(2) 写成盯关系项盯二戈“y6z。u4

29、-；(3) 列出戈，y, z, u,。、，训各参数的基本量纲；(4) 把齐个物理墨量纲代入开关系项，列出量纲等价式；(5) 根据量纲齐次原则，列出物理量指数间的联立方程；(6) 解得n-k个独立的盯项，即相似准则。例34 物体的运动符合牛顿第二定理，试求其相似准则。解：(1) 运动物体的主要影响参量为f、m、钞、f,若选择正确，这参量间存在函 数关系：妒(f, m,移，£) =0(3 e(2) 写出盯项表达式:订二 fat6m°”8 (3 一g(3) 写出各参数的基本量纲表达式：f=mlt-2:t=tm=mv=ijt.l(4) 将各物理量代人盯项式：盯=mlt-2 utlb

30、mo lt 一 “(3(叮 t=m u+"ti6-2a 4l u+4(5) 根据量纲齐次原则，列出联立方程。因为准则项为无因次量，所以可表示为基本量纲的零次项，所以盯二 "mioltiolo故:a+c=0a+d=02a +b -d =0(3 一(上式有四个未知量，但仅有三个方程，设其中任意一个未知量为1,令a二i,d= -1> b=l,所以：ft订一*(3-70)mv若令b=l,或者c=l,均可得一准则二此处参量为四个，基本量纲为三个，故 竹项总数为nk： 4-3： 1项，则竹：f就为听求的百准则项。/tu例3-5对弹簧一质量系统，有七个物理量：七，yo, f, y,

31、 m, r,影。，有 三个独立量纲f,l, to现取七，y。，f为基本物理量，可建立四个盯项：:l-ll+ 口 11 b 坦盯.2 kbllyel2b.jii=j,bli,ub,o! tib13t。，mfl-lt f卜 8 “t 2-f/23竹 2二b 丐乒万一 flj 瓦:l： e” tib” 一l. 一 e” 邺 n:fl-, t一£二匕b3ljt.吃， (3-71)旷穰万一面毒良 1： l8nt8” 一 l*b31+b32fnlt" ll+88盯 4 2b 丐弦 t f fl1 面:lb42tib” fb “tib”各竹项均应是无量纲项，因此有：bll=0, bi：

32、=1, b13 =0b 二 1二i, b22=0, b23 =2b3, =1, b32 =0, b33 =1b4, =0, b42=l, b43=-l所以有：v m 型 f3 72、竹，2再,盯:2萨，盯s2号，可。2,o此即为由量纲分析法导岀的相似判据二它们和式(339)、式(341)相比形式上 是不同的，其原因可用相似准则的固有特性來解释二可以证明若某一现象有相似准则百，霄二，tie贝归(1) 任一相似准则的指数幕百。仍为相似准则；(2) 相似准则指数积百"h： 一百？ i (或其局部)仍为相似准则；(3) 相似准则间的和差百？ ±百±±开：2 (或

33、其局部)仍为相似准则;(4) 相似准则与一常数的和差积商7： ±d, d盯。，xi/ “仍为相似准则；(5) 相似准则中某一物理量用其羞值代替仍为相似准则。女口上i,尘弓为同一 相似准则。这就是说，任意两个或多个相似准则的代数转换，如加减乘除，提高或降低 幕次，都不会改变判据函数性质。反过來，如杲两关系式中经过转换的盯项仍一 一对应相等，则两现象相似。其理由很简单：(1) 经过转换的盯项仍是无量纲综合数群；(2) 对于木来就相似的两个现象，因变盯项仍同关系式中原各口变盯项构成 函数关系。只是要注意，当各竹项进行代数转换时，任盯项幕次的变化都不得使其降 低(或升高)至零；同时，可项总数

34、均不得因此种代数转换増加或减少。由此看来，上血两种方法得到的相似判据形式上的差异，只是各'rr项代数 转换的结果二从某种意义上來说，这有利于根据具体问题，通过基木物理量的选 择，将rr项发展成各种形式，使其具有明显的物理意义：通常，相似准则转换 应服从以下原则：(1) 相似准则应具有明显的物理意义，并使其物理意义与所研究的现象密切 相关，例如雷诺准则r。：超：? 7(2) 通过代数转换，去掉相似准则中无法测量或难以测量的量；将盯关系式变换成形式最简单的一组：(4) 应将待测物理量仅仅出现在因变开项内；(5) 应使相对次耍的独立变量仅仅出现在一个独立的开项内二量纲分析方法的具体使用是简便

35、的，特别是对方程未知的现象。但它也有其 自身的不足：(1) 量纲分析法的重要一环是正确地选择系统的参数，这就要求选取反映现 象本质的重要物理量。但实际上可能选人一些次要的，或者对现象来说关系不大 的物理量；(2) 很难区别量纲相同、但却具有不同物理意义的物理量(如压力、应力和 弹性模量等)，从而无法显示现象的内部结构或辨别主次；(3) 很难控制量纲为零的物理量(如摩擦系数等)，尽管它们貝右身的物理 意义；(4) 很难发现在关系方程中常常遇到的带有量纲的物理常数；(5) 无法确定所求得的相似准则中哪个是决定性的，哪个是从属的。对于量纲分析法存在的这些缺点，在实际使用时应予以注意，妥善处理；但 由

36、于量纲分析法具有许多优点，它在各个工程领域中得到广泛应用。3.3模型试验模型试验是相似理论在工程技术屮的主要应用领域之一。许多工程问题，由 于其复杂性，致使难于列出微分方程，即使能够列出，也可能无法解出。因而, 单纯依靠数学方法述不能完全解决问题，而直接对实物进行试验研究由于诸多条 件限制，又很闲难。因此在模型上进行模化研究，仍是口前工程技术领域屮广泛 采用的一种试验研究方法。就一般意义上讲，模化是实物(原型)的形态、工作规律或信息传递规律在 特定条件下的一种相似再现。模型试验则是指不点接研究自然现象或过程木身, 而是用和这些现象或过程和似的模型來进行研究的一种方法。它是用方程分析或 量纲分析

37、方法导出相似准则，在根据相似原理建立起来的模型上，通过试验求出 相似准则之间的函数关系，再把此函数关系推广到设备实物上去，从而得到设备 上的需求规律的一种试验方法。一般的模型试验大致包含模型设计、模型试验、结果分析处理和推广等环节, 模型设计和试验之前，应先导出相似准则，并确定已定准则和待定准则，在其指 导下工作3.3.1模型设计33.1.1模型的分类模型可以分为定量研究用模型和定性研究用模型两大类。a定量研究用模型定量研究用模型有物理模型和数学模型两种：(1) 物理模型一一保持工作规律相似的模型。此时模型和原型的区別只是儿 何尺寸的大小不同，二者屮现象的物理木质不变。这种模型试验称为物理模拟

38、试 验。(2) 数学模型一一保持信息传递规律和似的模型。此时模型和原型的儿何形 状不必要相似，进行的现象的过程木质也不相同，但描述过程的微分方程是相同 的。即用同一类方程描述另一种现象来模拟原型。这种试验称为数学模拟试验: 例如用模拟机进行的机械振动等模拟试验。b定性分析用简易模型对于实际屮只需抓住某些主要物理量的试验，可以采用简易模型进行局部模 拟或近似模拟。这时没有必要使模型和原型完全和似，可对z进行某些简化，只 要这些改变不致影响问题关注的参数，或影响程度是可以接受的：33.1.2模型设计模型设计就是按各物理量的和似倍数进行模型的结构和物理参数条件计算。 这一过程屮应注意的问题有：(1)

39、 几何相应倍数q的选取cl一般不能选得过大或过小。q过大则模型加工 和试验精度要求过高，试验结果误差较大。cl过小则试验成本增高。(2) 其他物理条件的选取模型的己知各物理参量(边界条件、材料特性等) 除保持和原型的单值条件相似外，齐相关物理参数间还应满足已定相似准则，以 保证模型和原型的相似。模型材料的选取：1) 模型材料一般应在弹性范围内工作，并使e较小，这样应力水平较高，易 于测量；2) 所选材料加工成型性能良好，便于制作；3) 性能稳定，价格低廉。3.3.2模型试验和推广3.3.2.1模型试验根据相似理论，由原型工作要求计算出模型的转速、载荷、工作温度等工作 条件。模型的工作条件常用各

40、种方法模拟，有时需作适当简化：试验时，测定模 型在相应工作条件下，与相似准则有关的应力、应变等物理参数：33.2.2结果的整理和推广根据相似准则，由试验结杲可以求得原型上的待定参数。这些结杲可以推广 到和模型相似的各个原型上去。为便于推广，可以将试验结果整理成便于应用的相似准则间的关系式准则方程兀2,，兀m) = 0(3-73)对于所有相似现象，相似准则(各7r项)都保持为相同值，所以它们的准 则方程式(373)也应是相同的。比如，上式可推广到相似系统的齐个现象上去， 当然其前提条件是式(373)中已定准则在数值上各门相等。3.3.3弹性结构的相似模型试验3.3.3.1弹性结构的相似准则对于一

41、个齐向同性弹性结构的静力问题，微小变形时，可建立15个基本方 程和3个边界条件；对于动力问题还有6个初始条件。进行模型试验时，可先由它们建立准则方程。几何相似系数:g =尹(下标p和皿分别表示原型和模型参数)； 应力相似系数心二空：应变相似系数c位移相似系数c 寸寸二冬 泊松比相似系数£上;弹性模量相似系数:分布面力相似系数:s沽a由平衡方程求相似准则人分布体力相似系数:c/二a由平衡方程求相似准则根据箸+警+等+ £ = o等三个平衡方程，得相似指标和相似准则：c1 =話=1,心=晋=idem (3-74) 如果不计体积力，由平衡方程无法得到相似准则。b由几何方程求相似准

42、则几何方程为5 =豈等六个方程，可得一个相似指标和一个相似准则：(3-75)c2 = 1 ,k2 = ¥ = idemc由物理方程(广义胡克定律)求相似准则物理方程色=j(rm -/x(crr +s)等也是六个，可得两个相似指标和两个相似准则：小 cgc£c(3-76)k3 = = idem 今位=idem<7fjuad由边界条件求相似准则厂 _ 1辰=久=idem 无面力(面力为零)时，由应力边界条件无法获得相似准则。位移边界条件为等三式，由它们所得相似准则为:务=严=1,心=£ = idem边界条件有应力边界条件和位移边界条件，由它们可以得到不同的相似准

43、则。应力边 界条件为久=<7,2+7+ t丿等三式，由它们得相似准则为：(3-77)(3-78)c4同样，当给定位移为零时，由位移边界条件也无法获得相似准则。33.3.2模型设计和试验结果推广a模型设计简单检验可以看出，上面得到的六个相似准则是相互独立的，对于相似的弹 性结构，各物理量应同时满足上面求出的六个相似准则二在相似模型试验时，原 型待求物理量为应力、应变和位移等三组，需用三个相似准则由模型参数换算？ 多出的三个相似准则就应在模型设计时满足。(1) 同时满足准则三和准则四，必须使c=l,即模型和原型的泊桑比相同， 否则会带来谋差。但误差大小在不同问题中有所不同，理论上很难做出一般

44、性的 解答。一般情况是，一维和一般二维问题与泊桑比无关，二维多连通体问题及三 维问题中，应力大小和应力分布均与泊桑比有关，这时应注意模型和原型的材料泊桑比一致性，特别是材料不同时。（2）为保证模型和原型的完全相似，模型的各部物理参数间也应满足一定的 比例关系。如当面力（应力边界条件）和体积力同时存在时，因要同时满足准则 一和准则五，应有：cq = qcj3-79） 当给定不为零位移边界条件和体积力同时存在时，则应有：条=（3-80）当面力和当给定不为零位移边界条件同时存在时，应有：s = （3-81） 当体力、面力和当给定不为零位移条件同时存在时，则上面三式（有两式独 立）应同时满足。b试验结

45、果的推广将式（374） 式（378）整理后，可得弹性结构在相似的条件卜模型和原型齐物 理量的转换关系。利用它们可将试验结果向相似结构上推广。如以面力表示2p =% =严严怖;的=严严严绻（382）qmh ep qrnep lm以体力表不：（3-83） 以边界已知位移表示，有：（3-84） 为方便起见，现将几种常用载荷作用下的模型和原型的应力、应变和位移的 换算公式列于表32 （表中公式仅适用于线性结构）。表32各种载荷作用卜的线弹性结构模型试验中的参数换算公式箴荷类型应力換算应变换算位移換算集中栽荷p2 (&)(#)="（2）（刼逹卜侥）传）（絆弯矩m吋侥）（就6厂侥）（&#

46、165;）'（警卜单位长度上的 均布载荷q'y(*)(纺二借）传）僚卜%=（芸）（辭卓位面积上的 均布載荷g毎（吿）（秋-車位体积載荷 y（ ml）"円任）僚卜5划任j（群离心力 %度厂转速町吹恥j（m“知（好曲（紺（就伶a上面的换算公式是在假设模型和原型几何完全相似的条件卜求得的。但对一 些结构，如薄壁结构，如果各方向均按同一比例缩小尺寸，其壁厚尺寸将趋近于 零，模型难以加工出來：对于这类问题，可以不耍求几何完全相似，而是根据构 件的受力状态进行变态处理，这样的模型称为畸变模型。畸变模型的出发点就是 仅要求模型和原型的相关力学参数相似，如对拉压问题，要求截面积相似，

47、对弯 曲问题要求各部分惯性短相似等等。具体可参见有关文献：应注意的是，畸变模 型仅适用于二维问题。例3-6如图3-3为两根几何相似的梁，在梁的中间作用一个静力集中载荷p, 设梁在弹性范围内工作，且忽略失效、重力等其他影响因素，也不考虑残余应力 和温度应力的影响，求模型的相似条件。bp图3-3简支梁受力图iiw j 3eu3euv式中解:由材料力学可知：梁在集中力作用处的应力、截面弯矩以及挠度分别由下列公式m弯矩；。应力；/挠度；e弹性模量；w一_弯截面模量；i一性矩。由于两根梁几何相似，所以：¥=人=¥=5 竺二& ¥=確l. am b.i. 由于此问题的

48、方程已知，可采用方程分析法来求相似条件，根据上述三个方程，可以写 出三个相似指标：c，c.c：cf以上三个方程包含了 c八5心、c八“、$这六个相似常数,而现在只有三个方程，这意味 着有三个相似常数可以任意选择。已确定了几何相似常数，其余两个相似常数的选择需要 根据试验的目的、试验的条件来确定。(1) 若要使模型上各点反映的挠度、应力与原型一致，即j二1灯=1,则有：cp = c； cm = ct c£ = cf即模型上需要施加的力p二与、模型材料的弹性模量也要缩小为氐=邑,而对于内力 cl之一的弯矩,则要求j二c：,只要上述两个条件满足,该式也就自然成立。(2) 若模型材料与原型一

49、致，而又要求模型的应力也一致，即保持 ce = ltca = 1,则有：23cp = cf cm = cfcf = cl这吋所测的挠度rti原型的挠度减少为爲=譬,这就耍求测量挠度的仪器有足够的精度，同吋也耍求模型的几何相似常数不宜过人(以免挠度过小测不准确)。3.4相似性设计341系列设计的概念和似理论在产品系列化设计中的应用乂称为相似性设计。同一种产品为了满足不同场合和不同使用者的要求，其规格往往不同。同一 产品不同的规格，表现在尺寸参数不同等各个方面，但这些变化不是随心所欲的， 而是要遵循一定的规律。一般把冥有和同功能、和同结构方案、和同或和似加工 工艺，但各产品相应的尺寸参数及性能指标

50、具有一定的级差(公比)(按一定的 规律变化)而形成的 啄列不同规格的产詁称为系列化产詁。目前，系列化产品在工业、农业、交通运输和家庭生活等各个领域中得到广 泛应用，产胡的系列化设计也成为广泛应用的设计方法之一。系列化设计主要有 如下好处：(1) 系列产品的不同规格仅仅是基于一种规格变化而形成的，这就大大节省 了产品的开发周期和成木，提高了产詁的性能可靠性。(2) 系列产品在满足用户需求的前提下，遵循适当的参数变化规律可以提高 不同规格产品的生产批量，从而使产品质量稳定、成木卜降，这对生产企业和用 户都是有利的。(3) 对生产和销售企业来说，系列产品便于库存管理；対用户而言，系列产 品的使用规定

51、和方法和同，方便了使用。产品系列设计吋，首先是选定某一小档的产品为基型，对它进行最住方案的 设计确定其材料、参数和尺寸，然后再按系列设计原理和尺寸。前者称为基型 产品，后者称为扩展型产品。3.4.2系列产品的构成相似理论求出系列小其他产品的参数系列化产品设计的首要工作是研究系 列产品的构成规律，其主要内容是确定产品系列中每个规格的尺、即尺寸分级 和相似比，又称级间比。然后还要研究产品的加工设备、刀具的分级管理、系列 产品的库存管理等问题，这些本书不予涉及。3.4.2.1级间比的确定系列产品的参数递增方式常用的有两种，一种按自然数排列，其数值递增规 律称为算术系列。另一种是按几何级数排列，称为几

52、何级数系列，又称几何系列。对算术系列，各级参数的增长的百分比和级间比如表亠3所示。结果表明, 各级的级间比是不同的，随级数的增加在减小。表3-3算术系列参数增长的百分比和级间比算术级12345678910各级参数增长/%10050332520161412.511”.级间比2.001.501.331.251.201. 161.141.1251.11对于几何级数系列，设第一级数值为，则其各项应分别为：该系列的特点是：级间比/为一常数；(2)系列的分级数为nx该系列共有刃+1项。如杲把级间比的刃次方定为10,则级间比为：(3-85)级间比由式(385)确定的系列称为十进制几何级数系列。经验表明十进制

53、几 何分级是比较实用的。现将按算术分级和按几何分级得到的两种直径系列的球示于图3-4：从中可 以看出，按算术分级给出的球体直径系列分布很不均匀，有的区域出现了空白， 而有的区域分级密集，这对于产品的设计当然是不利的。而几何分级分布均匀。如果把十进制几何系列的第一项定为1，当卅取不同值时，系列相应参数见 表3-4,这里，分级数取较小值时称为粗分级，如n=5o分级数取较大值时，如 凡：20,称为细分级。当分级数成倍变化时，细分级包含粗分级。分级数的选择 应根据具体问题的实际需要。如人民币的面值1，2, 5, 10,是分级数为3时十 进制几何级数系列的数值近似，分级很粗。它是在考虑了货币的具体要求面

54、额 种类少，便于流通、换算和兑换等各种问题后确定的。表3-4不同分级敛的几何级数系列簽效-分级数n级间比项数各項数值51.661丄625.463,10101.25111,1.25,1.6,2.2.5,3.15,4,5,6.3.8,1020m2211.!2,1.25t1.4f1.6f1.8t2t2.24, j03.4.2.2标准数表3-4不同分级数的几何级数系列参数如前所述，十进制几何相似系列在设计以及其他方面均得到广泛应用。为便 于在工程中的应用，将常用到的n为5、10、20和40时的(值进行圆整，并将0。 为1时各系列的各项计算出來，对计算结果也进行圆整，但将误差控制在±1% z内

55、。这些被圆整后的数称为标准数(标准数用nz表示)。相应的标准数系列 则称为r5、rio、r20和r40基本系列。在工程技术中运用标准数有诸多优点：(1) 零件酌尺寸，特别是联接尺寸和配套尺寸，容易实现标准化和国际化。 这就大大方便了国际间的技术交流和设备的使用管理。在设备制造等方面，可使 加工设备、刀具、量具的种类减少，加工精度提高。另外也便于原材料的生产组 织，方便选用。(2) 应用标准数有利于粗分级和细分级系列产品的相互转化。粗分级系列中 的标准数包含于细分级系列标准数中。当产品系列分级确定之后，产品中零件仍 可以根据情况进行分级调整，使其种类减少，增大批量，降低成本。(3) 采用标准数系列有利于在对数坐标上画出标准数曲线，进而方便了系列 产品的参数推导。在几何相似的系列产品中，如果基型产品的长度、面积和体积 分别为厶0、力。和k0o那么扩展型产品的长度、血积和体积应为：(3-86)式中，2为级间数，0为长度尺寸级间比。对上述各式取对数，有： 11