2022届高三数学一轮复习（原卷版）单元测试九

1、8一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线xy10的倾斜角是 ()a b c d解：由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan，所以故选d2()过点(1，3)且平行于直线x2y30的直线方程为 ()ax2y70 b2xy10cx2y50 d2xy50解：设与直线x2y30平行的直线方程为x2yc0(c3)，过点(1，3)，则16 c0，得c7，故所求直线方程为x2y70另解：利用点斜式故选a3若直线l1：x2ym0(m>0)与直线l2： xny30之间的距离是，则mn ()a0 b1 c1 d2解：因为直线l1：x2

2、ym0(m>0)与直线l2：xny30之间的距离为，所以所以n2，m2(负值舍去)所以mn0故选a4圆心在y轴上且通过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是 ()ax2y210y0 bx2y210y0cx2y210x0 dx2y210x0解：设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，故圆的方程为x2(yb)2b2因为点(3，1)在圆上，所以9(1b)2b2，解得b5所以圆的方程为x2y210y0故选b5()已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的一条渐近线方程为xy0，则该双曲线的方程为 ()ay21 bx21c1 d1解：由抛物线y28x，可得其准线方

3、程为x2由题意可得双曲线1(a0，b0)的一个焦点为(2，0)，所以c2又双曲线的一条渐近线方程为xy0，所以，结合c2解得a1，b故双曲线的方程为x21故选b6()已知双曲线1(a>0，b>0)的左焦点为f，离心率为若经过f和p(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ()a1 b1c1 d1解：由题意得ab，1c4，ab21故选b7()若抛物线c：y2x的焦点为f，a(x0，y0)是c上一点，|af|x0，则x0()a1 b2 c4 d8解：由2p1得，且|af|x0x0，解得x01故选a8()若双曲线c1：1与c2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线

4、c2的焦距为4，则b ()a2 b4 c6 d8解：双曲线c1：1的渐近线方程为 y±2x，由题意可得双曲线c2：1(a0， b0)的渐近线方程为y±x，则有b2a，又 2c4，则c2，所以a2b220，解得a2，b4故选b9()已知圆c：x2y22x4y10，经过点m(1，1)作圆的两条切线，切点分别为p，q，则|pq| ()a3 b2 c d解：圆的方程为(x1)2(y2)24，|pq|2×故选d10()若椭圆y21(m1)与双曲线y21(n0)有共同的焦点f1，f2，p是两曲线的一个交点，则f1pf2的面积是 ()a3 b1 c d解：由题意知椭圆的长轴长为

5、2，双曲线的实轴长为2，由它们有相同的焦点，得m1n1，即mn2不妨设点p在双曲线的右支上，f1，f2分别为左、右焦点，由双曲线的定义得|pf1|pf2|2，由椭圆的定义得|pf1|pf2|2，22得|pf1|2|pf2|22(mn)4(m1)，22得|pf1|·|pf2|mn2又|f1f2|2，所以|f1f2|24(m1)，所以|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即f1pf2是直角三角形，故f1pf2的面积为|pf1|·|pf2|×21故选b11()已知椭圆1(ab0)的半焦距为c(c0)，左焦点为f，右顶点为a，抛物线y2(ac)x与椭圆交于b，c两点，若

6、四边形abfc是菱形，则椭圆的离心率是 ()a b c d解：由题意得a(a，0)，f(c，0)，因为抛物线y2(ac)x与椭圆交于b，c两点，所以b，c两点关于x轴对称可设b(m，n)，c(m，n)，因为四边形abfc是菱形，所以bcaf，且2mac，则m(ac)，将b(m，n)代入抛物线方程得，n2(ac)m(ac)(ac)(a2c2)b2不妨设b(ac)，b)，将其代入椭圆方程得·1，化简得，又e，所以上式可化为4e28e30，解得e或(舍去)故选d12已知a(2，0)，b(0，2)，实数k是常数，m，n是圆x2y2kx0上两个不同点，p是圆 x2y2kx0上的动点，如果m，n

7、关于直线x y10对称，那么pab面积的最大值是 ()a3 b4 c3 d6解：依题意得圆x2y2kx0的圆心位于直线xy10上，于是有10，即k2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1由题意可得|ab|2，直线ab的方程是1，即xy20，圆心(1，0)到直线ab的距离等于，点p到直线ab的距离的最大值是1，所以pab面积的最大值为×2×3，故选c二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13()双曲线1的离心率为_解：由双曲线的标准方程知a22，b24，则c2a2b26，所以e故填14若pq是圆x2y29的弦，pq的中点是(1，2)，则直线pq的方程是_解：由题知直线p

8、q的斜率是，故直线pq的方程是y2(x1)，即x2y50故填x2y5015()已知f是抛物线c：y28x的焦点，m是c上一点，fm的延长线交y轴于点n若m为fn的中点，则|fn|_解：设n(0，a)，f(2，0)，那么m，点m在抛物线上，所以8a232a±4，所以n(0，±4)，那么|fn|6故填616()椭圆c：1(ab0)的右焦点与抛物线e：y24x的焦点f重合，点p是椭圆c与抛物线e的一个公共点，点q(0，1)满足qfqp，则椭圆c的离心率为_解：由抛物线e：y24x，得p2，所以f(1，0)，又q(0，1)且qfqp，所以qp所在直线的斜率为1，所以qp所在直线的方

9、程为yx1，联立得p(1，2)，则2a22，即a1，所以椭圆c的离心率为e1故填 1三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)分别求满足下列条件的直线方程，并化为一般式(1)经过点p(1，2)，且斜率与直线y2x3的斜率相同；(2)经过两点a(0，4)和b(4，0)；(3)经过点(2，4)且与直线3x4y50垂直解：(1)过点p(1，2)，斜率与直线y2x3的斜率相同的直线方程是y22(x1)，化为一般式方程为2xy40(2)过两点a(0，4)和b(4，0)的直线方程是1，化为一般式方程为xy40(3)设与直线3x4y50垂直的直线方程为4x3ym0，且该直线过点

10、(2，4)，则有4×23×(4)m0，解得m4，所以所求的直线方程为4x3y40也可直接由点斜式求解18(12分)()已知抛物线x24y的焦点为f，p为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点(1)当|pf|2时，求点p的坐标；(2)求点p到直线yx10的距离的最小值解：(1)依题意可设p(a>0)，易知f(0，1)，因为|pf|2，结合抛物线的定义得12，即a2，所以点p的坐标为(2，1)(2)设点p的坐标为(a>0)，则点p到直线yx10的距离d因为a10(a2)29，所以当a2时，a10取得最小值9，故点p到直线yx10的距离的最小值 dmin19(12分)

11、在平面直角坐标系xoy中，以o为圆心的圆与直线xy4相切(1)求圆o的方程；(2)圆o与x轴相交于a、b两点，圆o内的动点p使|pa|，|po|，|pb|成等比数列，求·的取值范围解：(1)依题设，圆o的半径r等于原点o到直线xy40的距离，即r2，得圆o的方程为x2y24(2)由x24，即得a(2，0)，b(2，0)设p(x，y)，由|pa|，|po|，|pb|成等比数列，得·x2y2，即x2y22·(2x，y)·(2x，y)x24y22(y21)由于点p在圆o内，故由此得y2<1所以·的取值范围是2，0)20(12分)()如图，设抛物

12、线c：y22px(p0)的焦点为f，过点f的直线l1交抛物线c于a，b两点，且|ab|8，线段ab的中点到y轴的距离为3(1)求抛物线c的方程；(2)若直线l2与圆x2y2切于点p，与抛物线c切于点q，求fpq的面积解：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab中点的坐标为(，)，由题意知3，所以x1x26又|ab|x1x2p8，所以p2故抛物线c的方程为y24x(2)由题意知直线l2的斜率存在且不为0，设直线l2的方程为ykxm(k0)，由l2与o相切得 ，即2m21k2联立整理得k2x2(2km4)x m20，(*)因为直线l2与抛物线相切，且k0，所以(2km4)24k2m20，

13、得km1，由得k±1，所以方程(*)可化为x22x10，解得x1，所以q(1，±2)，此时直线l2的方程为yx1或yx1，所以点f(1，0)到直线l2的距离为d，所以spqf|pq|·d××21(12分)()已知椭圆c：1(ab0)，过椭圆的右焦点f任作一条直线交椭圆c于a，b两点，过椭圆中心任作一条直线交椭圆c于m，n两点(1)求证：直线am与直线an的斜率之积为定值；(2)若2a·|ab|mn|2，试探究直线ab与直线mn的倾斜角之间的关系解：(1)证明：设a(x1，y1)，m(x3，y3)，因为kam，kan，所以kam

14、3;kan为定值(2)当弦ab所在直线的斜率不存在时，|ab|，所以|mn|2b，所以弦mn为椭圆的短轴，此时，mnab当弦ab，弦mn所在直线的斜率均存在时，不妨设弦ab与弦mn所在直线的斜率分别为k1，k2，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(x3，y3)，n(x4，y4)，则直线ab，mn的方程分别为yk1(xc)，yk2x，由得(b2a2k)x22a2kcxa2c2ka2b20，因为ab，所以kk，所以k1±k2，所以直线ab与直线mn的倾斜角相等或互补综上所述，直线ab与直线mn的倾斜角相等或互补22(12分)()已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，离心率e，p为椭圆c上一个动点，pf1f2面积的最大值为，抛物线e：y22px(p0)与椭圆c有共同的焦点(1)求椭圆c和抛物线e的方程；(2)设a，b是抛物线e上分别位于x轴两侧的两个动点，且·5()求证：直线ab必过定点，并求出定点m的坐标；()过点m作ab的垂线与抛物线交于g，h两点，求四边形agbh面积的最小值解：(1)设f1(c，0)，f2(c，0)，则由题意得解得所以椭圆c的方程为1由1，得p2，所以抛物线e的方程为y24x联立得y24my4t0，则y1y2