2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6讲　对数与对数函数

1、 第 6 讲 对数与对数函数 一、知识梳理 1对数 概念 如果 axn(a0， 且 a1)， 那么数 x 叫做以 a 为底数 n 的对数， 记作 xlogan，其中 a 叫做对数的底数，n 叫做真数，logan 叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：axnxlogan(a0，且 a1) loga10，logaa1，alogann(a0，且 a1) 运算法则 loga(m n)logamlogan a0，且 a1，m0，n0 logamnlogamlogan logamnnlogam(nr) 换底公式 logablogcblogca(a0，且 a1，c0，且 c1，b0) 2.对数函数的图象与

2、性质 a1 0a1 时，y0 当 0 x1 时，y1 时，y0 当 0 x0 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 3.反函数 指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称 常用结论 1换底公式的三个重要结论 logab1logba；logambnnmlogab；logablogbclogcdlogad. 2对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数 故 0cd1ab. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内与 y1 相交的对数函数从左到右底数逐渐增大 二、教材衍化 1(log29) (log3

3、4)_ 解析：(log29) (log34)lg 9lg 2lg 4lg 32lg 3lg 22lg 2lg 34. 答案：4 2若函数 yf(x)是函数 y2x的反函数，则 f(2)_ 解析：由题意知 f(x)log2x， 所以 f(2)log221. 答案：1 3函数 yloga(4x)1(a0，且 a1)的图象恒过点_ 解析：当 4x1 即 x3 时，yloga111. 所以函数的图象恒过点(3，1) 答案：(3，1) 4已知 a213，blog213，clog1213，则 a，b，c 的大小关系为_ 解析：因为 0a1，b1.所以 cab. 答案：cab 一、思考辨析 判断正误(正确的

4、打“”，错误的打“”) (1)loga(mn)logamlogan.( ) (2)logaxlogayloga(xy)( ) (3)函数 ylog2x 及 ylog133x 都是对数函数( ) (4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)在(0，)上是增函数( ) (5)函数 yln 1x1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同 ( ) (6)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，1 ，函数图象只经过第一、四象限( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 二、易错纠偏 常见误区| (1)对数函数图象的特征不熟致误； (

5、2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误 1已知 a0，a1，函数 yax与 yloga(x)的图象可能是_(填序号) 解析：函数 yloga(x)的图象与 ylogax 的图象关于 y 轴对称，符合条件的只有. 答案： 2函数 ylogax(a0，a1)在2，4上的最大值与最小值的差是 1，则 a_ 解析：分两种情况讨论：当 a1 时，有 loga4loga21，解得 a2；当 0a1 时，有 loga2loga41，解得 a12.所以 a2 或12. 答案：2 或12 3函数 ylog23（2x1）的定义域是_ 解析：由 log23(2x1)0，得 02x11. 所以12

6、0，y0，2x3y0， 所以xy94，所以 log32xy2. 答案：2 4设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于_ 解析：由 2a5bm 得 alog2m，blog5m， 所以1a1blogm2logm5logm10. 因为1a1b2， 所以 logm102. 所以 m210，所以 m 10. 答案： 10 提醒 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现 log212log2(3)(4)log2(3)log2(4)的错误 考点二 对数函数的图象及应用(基础型) 复习指导| 初步理解对数函数的概念，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象及特殊

7、点 核心素养：直观想象 (1)若函数 ya|x|(a0，且 a1)的值域为y|y1，则函数 yloga|x|的图象大致是 ( ) (2)若方程 4xlogax 在0，12上有解，则实数 a 的取值范围为_ 【解析】 (1)由于 ya|x|的值域为y|y1，所以 a1，则 yloga|x|在(0，)上是增函数，又函数 yloga|x|的图象关于 y 轴对称因此 yloga|x|的图象应大致为选项 b (2)构造函数 f(x)4x和 g(x)logax， 当 a1 时不满足条件， 当 0a1 时，画出两个函数在0，12上的图象， 可知，只需两图象在0，12上有交点即可， 则 f12g12，即 2l

8、oga12，则 a22， 所以 a 的取值范围为0，22. 【答案】 (1)b (2)0，22 【迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为：当 0 x12时，4x1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12上的图象， 可知 f12g12， 即 222， 所以 a 的取值范围为22，1 . 答案：22，1 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 1函数 y2log4(1x)的图象大致是(

9、 ) 解析：选 c函数 y2log4(1x)的定义域为(，1)，排除 a，b；函数 y2log4(1x)在定义域上单调递减，排除 d选 c 2已知函数 f(x)log2x，x0，3x，x0，关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是_ 解析： 问题等价于函数 yf(x)与 yxa 的图象有且只有一个交点， 结合函数图象可知 a1. 答案：(1，) 考点三 对数函数的性质及应用(综合型) 复习指导| 利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性，知道指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，a1) 核心素养：数学抽象、数学运算 角度一 比较对

10、数值的大小 (2019 高考天津卷)已知 alog27，blog38，c0.30.2，则 a，b，c 的大小关系为( ) acba babc cbca dcalog242，blog381，c0.30.20.301，所以 cb0 且 a1)满足 f2a0 的解集为( ) a(0，1) b(，1) c(1，) d(0，) 【解析】 法一：因为函数 f(x)logax(a0 且 a1)在(0，)上为单调函数，而2a3a且f2a02x11，所以 x1. 法二：由 f2aloga3a， 所以 loga21loga31，所以 loga21，由 f(2x1)0 得 loga(2x1)0，所以 2x11，即

11、x1. 【答案】 c 解对数不等式的函数及方法 (1)形如 logaxlogab 的不等式，借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0ab 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式 角度三 对数型函数的综合问题 已知函数 f(x)log4(ax22x3) (1)若 f(1)1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的最小值为 0，求 a 的值 【解】 (1)因为 f(1)1，所以 log4(a5)1，因此 a54，即 a1， 所以 f(x)log4(x22x3) 由x22x30 得1x0，3a1a1， 解得 a12. 故实数 a 的值为12.

12、 解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 1(2019 高考全国卷)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则( ) aabc bacb ccab dbca 解析：选 b因为 alog20.2201，c0.20.30，所以ac1，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是( ) a1，2 b0，2 c1，) d0，) 解析：选 d当 x1 时，21x2，解得 x0，所以 0 x1；当 x1 时，1log2x2，解得 x12，所以 x1.综上可知 x0. 3 已知 a0， 若函数 f(x)log3(ax2x)在3， 4上是增函数， 则 a 的取值范围是_ 解析：要使 f(x)log3

13、(ax2x)在3，4上单调递增， 则 yax2x 在3，4上单调递增， 且 yax2x0 恒成立， 即12a3，9a30， 解得 a13. 答案：13， 基础题组练 1函数 y log3（2x1）1的定义域是( ) a1，2 b1，2) c23， d23， 解析：选 c由log3（2x1）10，2x10，即 log3（2x1）log313，x12，解得 x23.故选 c 2若函数 yf(x)是函数 yax(a0 且 a1)的反函数，且 f(2)1，则 f(x)( ) alog2x b12x clog12x d2x2 解析：选 a由题意知 f(x)logax(a0 且 a1)，因为 f(2)1，

14、所以 loga21，所以 a2.所以 f(x)log2x.故选 a 3设函数 f(x)loga|x|在(，0)上单调递增，则 f(a1)与 f(2)的大小关系是( ) af(a1)f(2) bf(a1)f(2) cf(a1)f(2) d不能确定 解析：选 a由已知得 0a1，所以 1a1f(2) 4.(多选)在同一直角坐标系中，f(x)kxb 与 g(x)logbx 的图象如图，则下列关系不正确的是( ) ak0，0b1 bk0，b1 cf1xg(1)0(x0) dx1 时，f(x)g(x)0 解析：选 abc由直线方程可知，k0，0b1，故 a，b 不正确；而 g(1)0，故 c不正确；而当

15、 x1 时，g(x)0，f(x)0，所以 f(x)g(x)0.所以 d 正确 5(多选)已知函数 f(x)ln(x2)ln(6x)，则( ) af(x)在(2，6)上单调递增 bf(x)在(2，6)上的最大值为 2ln 2 cf(x)在(2，6)上单调递减 dyf(x)的图象关于直线 x4 对称 解析：选 bdf(x)ln(x2)ln(6x)ln(x2)(6x)，定义域为(2，6)令 t(x2)(6x)，则 yln t因为二次函数 t(x2)(6x)的图象的对称轴为直线 x4，又 f(x)的定义域为(2，6)，所以 f(x)的图象关于直线 x4 对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单

16、调递减，当 x4 时，t 有最大值，所以 f(x)maxln(42)ln(64)2ln 2，故选 bd 6已知函数 f(x)x3alog3x，若 f(2)6，则 f12_ 解析：由 f(2)8alog326，解得 a2log32，所以 f1218alog31218alog32182log32log32178. 答案：178 7(2020 贵州教学质量测评改编)已知函数 yloga(x3)89(a0，a1)的图象恒过定点 a，则点 a 的坐标为_；若点 a 也在函数 f(x)3xb 的图象上，则 f(log32)_ 解析： 令 x31 可得 x2， 此时 yloga18989， 可知定点 a 的

17、坐标为2，89.点 a 也在函数 f(x)3xb的图象上， 故8932b， 解得 b1.所以 f(x)3x1， 则 f(log32)3log321211. 答案：2，89 1 8(教材习题改编)若 loga340，且 a1)，则实数 a 的取值范围是_ 解析：当 0a1 时，loga34logaa1，所以 0a1 时，loga341.所以实数 a 的取值范围是0，34(1，) 答案：0，34(1，) 9已知函数 f(x3)logax6x(a0，a1) (1)求 f(x)的解析式； (2)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由 解：(1)令 x3u，则 xu3，于是 f(u)loga3u3u(a0，

18、a1，3u0，a1，3x0 且 a1)，且 f(1)2. (1)求实数 a 的值及 f(x)的定义域； (2)求 f(x)在区间0，32上的最大值 解：(1)因为 f(1)2，所以 loga42(a0，a1)，所以 a2. 由1x0，3x0，得1x3， 所以函数 f(x)的定义域为(1，3) (2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24， 所以当 x(1，1时，f(x)是增函数；当 x(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数 f(x)在0，32上的最大值是 f(1)log242. 综合题组练 1若函数 yloga(x2ax1)有最小值，则 a 的取

19、值范围是( ) a0a1 b0a2，a1 c1a1 时，y 有最小值，则说明 x2ax1 有最小值，故 x2ax10 中0，即 a24a1. 当 0a1 时，y 有最小值， 则说明 x2ax1 有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去综上可知，故选 c 2(2020 河南新乡二模)已知函数 f(x)log3(9x1)mx 是偶函数，则不等式 f(x)4xlog32 的解集为( ) a(0，) b(1，) c(，0) d(，1) 解析：选 c由 f(x)log3(9x1)mx 是偶函数，得 f(x)f(x)，即 log3(9x1)m(x)log3(9x1)mx，变形可得 m1， 即 f(x)log3(9x1)x， 设 g(x)f(x)4xlog3(9x1)3x， 易得 g(x)在 r 上为增函数，且 g(0)log3(901)log32，则 f(x)4xlog32g(x)g(0)，则有 x0，且 a1， 所以 uax3 为增函数， 所以若函数 f(x)为增函数，则 f(x)logau 必为增函数， 所以 a1. 又 uax3 在1，3上恒为正， 所以 a30，即 a3. 答案：(3，) 4设实数 a，b 是关于 x 的方程|lg x|c 的两个不同实数根，且 ab10，则 abc 的取值范围是_ 解析：由题意知，在