2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3节 随机事件的概率 教案

1、1第三节第三节随机事件的概率随机事件的概率最新考纲1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式1事件的相关概念2频率与概率的关系在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 a 发生的频率 fn(a)nan会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作 p(a)，称为事件 a 的概率，简称为 a 的概率3事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件 a 发生，则事件 b 一定发生，这时称事件 b 包含事件 a(或称事件 a 包含于事件 b)ba(或 ab)相等事件若 ba，且 ab，则称事件 a 与事件 b 相等ab并(和)

2、事件若某事件发生当且仅当事件 a 或事件 b 发生，则称此事件为事件 a 与事件 b 的并事件(或和事件)ab(或 ab)交(积)事件若某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生， 则称此事件为事件 a 与事件 b 的交事件(或积事件)ab(或 ab)互斥事件若 ab 为不可能事件，则称事件 a 与事件 b互斥ab2对立事件若 ab 为不可能事件，ab 为必然事件，那么称事件 a 与事件 b 互为对立事件ab且 abu(u 为全集)4.概率的基本性质(1)任何事件 a 的概率都在0， 1内， 即 0p(a)1， 不可能事件的概率为 0，必然事件的概率为 1.(2)如果事件 a，b 互斥，则 p(

3、ab)p(a)p(b)(3)事件 a 与它的对立事件 a 的概率满足 p(a)p(a)1常用结论如果事件 a1，a2，an两两互斥，则称这 n 个事件互斥，其概率有如下公式：p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生()(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()a至多有一次中靶b两次都中靶c只有一次

4、中靶d两次都不中靶d“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”2容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表：分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)频数234542则样本数据落在区间10，40)的频率为()a0.35b0.45c0.55d0.65b由表知10，40)的频数为 2349，3所以样本数据落在区间10，40)的频率为9200.45.3如果从不包括大、小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率是14，取到梅花的概率是14，则取到红色牌的概率是_12p1(1414)12.4一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：时间范围

5、1 年内2 年内3 年内4 年内新生婴儿数 n554496071352017190男婴数 m2883497069948892这一地区男婴出生的概率约是_(保留四位小数)0517 3男婴出生的频率依次约是：0.520 0，0.517 3，0.517 3，0.517 3.由于这些频率非常接近 0.517 3，因此这一地区男婴出生的概率约为 0.517 3.考点 1事件关系的判断判断互斥、对立事件的 2 种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件； 两个事件， 若有且仅有一个发生， 则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法：由各个事件

6、所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件 a 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 a 所含的结果组成的集合的补集1.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取 2 个球，以下给出了四组事件：至少有 1 个白球与至少有 1 个黄球；至少有 1 个黄球与都是黄球；恰有 1 个白球与恰有 1 个黄球；恰有 1 个白球与都是黄球4其中互斥而不对立的事件共有()a0 组b1 组c2 组d3 组b中“至少有 1 个白球”与“至少有 1 个黄球”可以同时发生， 如恰有1 个白球和 1 个黄球，中的两个事件不是互斥事件中“至少有 1 个黄球”说明可以是 1 个白球和 1 个黄球或 2 个黄球

7、，则两个事件不互斥中“恰有 1个白球”与“恰有 1 个黄球”，都是指有 1 个白球和 1 个黄球，因此两个事件是同一事件 中两事件不能同时发生， 也可能都不发生， 因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选 b.2在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()a至多有一张移动卡b恰有一张移动卡c都不是移动卡d至少有一张移动卡a“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”， “两张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡”的对立事件判断含有“至多、至少”等关键词的事件关系，可先借助枚举法分析

8、每个事件包含的基本事件，然后再借助定义做出判断考点 2随机事件的频率与概率1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格5当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关 如果

9、最高气温不低于 25， 需求量为 500 瓶； 如果最高气温位于区间20， 25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15)15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 y(单位：元)当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 y 的所有可能值，并估计 y 大于零的概率

10、解(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为21636900.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 y64504450900；若最高气温位于区间20， 25)， 则 y63002(450300)4450300；若最高气温低于 20，则 y62002(450200)4450100.所以，y 的所有可能值为 900，300，100.y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20的频率为362

11、574900.8，因此 y 大于零的概率的估计值为 0.8.求解本题第(2)问的关键是读懂题设条件，并从中提取信息，明确一天销售这种酸奶的利润 y 与气温变化的关系教师备选例题(2019北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 a，b 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中a，b 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 a 和仅使用 b 的学生的支付金额分布情况如下：6支付金额支付方式不大于 2000 元大于 2000 元仅使用 a27 人3 人仅使用 b24

12、人1 人(1)估计该校学生中上个月 a，b 两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用 b 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于2000 元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 b 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元结合(2)的结果，能否认为样本仅使用 b 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由解(1)由题知，样本中仅使用 a 的学生有 27330 人，仅使用 b 的学生有 24125 人，a，b 两种支付方式都不使用的学生有 5 人故样本中 a，b 两种支付方式都使用的学生有 100302

13、5540 人估计该校学生中上个月 a， b 两种支付方式都使用的人数为401001000400.(2)记事件 c 为“从样本仅使用 b 的学生中随机抽取 1 人，该学生上个月的支付金额大于 2000 元”，则 p(c)1250.04.(3)记事件 e 为“从样本仅使用 b 的学生中随机抽查 1 人，该学生本月的支付金额大于 2000 元”假设样本仅使用 b 的学生中，本月支付金额大于 2000 元的人数没有变化，则由(2)知，p(e)0.04.答案示例 1：可以认为有变化理由如下：p(e)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于 2000 元的人数发生了变

14、化，所以可以认为有变化答案示例 2：无法确定有没有变化理由如下：事件 e 是随机事件，p(e)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，7所以无法确定有没有变化1.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28粒，则这批米内夹谷约为()a134 石b169 石c338 石d1 365 石b282541534169(石)2(2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.

15、25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记 a 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求 p(a)的估计值；(2)记 b 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” ，求 p(b)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值解(1)事件 a 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知， 一年内出险次数小于 2 的频率为60502000.55，故 p(a)的估计值为 0.55.(2)事件 b 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于

16、4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为30302000.3，故 p(b)的估计值为 0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.8因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.考点 3互斥事件与对立事件的概率复杂事件的概率的 2 种求法(1)直接求法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件，运用互斥事件的概率求和公式计算(2)间接求法，先

17、求此事件的对立事件的概率，再用公式 p(a)1p(a)求解(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就比较简便(1)(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为()a0.3b0.4c0.6d0.7(2)某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 a，b，c，求：p(a)，p(b)，p(c)；1 张奖券的中奖概率；1 张奖券不中特等奖且不中

18、一等奖的概率(1)b由题意知不用现金支付的概率为 10.450.150.4.(2)解p(a)11 000， p(b)101 0001100，p(c)501 000120.故事件 a，b，c 的概率分别为11 000，1100，120.1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1 张奖券中奖”这个事件为 m，则 mabc.a，b，c 两两互斥，p(m)p(abc)p(a)p(b)p(c)110501 000611 000，故 1 张奖券的中奖概率约为611 000.设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 n，则事件 n 与“1 张奖9券中特等奖或中一等奖”为对立事件，p(n)1p(ab

19、)111 0001100 9891 000，故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来教师备选例题一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球从中随机取出 1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率解法一：(利用互斥事件求概率)记事件 a1任取 1 球为红球，a2任取 1 球为黑球，a3任取 1 球为白球，a4任取 1 球为绿球，则 p(a1)512，p(a2)41213，p(a3)21216，p(a4)112，根据题意知，事件a1，a2，a3，a4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出 1 球是红球或黑球的概率为p(a1a2)p(a1)p(a2)51241234.(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为p(a