从近几年高考谈解几“范围”问题的求解策略

1、从近几年高考谈解几“范围”问题的求解策略江苏省宜兴市丁蜀高级中学汤文兵黎明 邮编214221解析几何屮的“范围”问题一直是高考屮的难点和热点。难在它综合性强、灵活性高， 热的是它融众多知识和技巧于-体，深得命题者偏爱。据笔者不完全统计，近十年的全国高 考中，此类问题(包含最值)每年不少于10题，2013年多达19题，更有不少省份每年以这 类问题为压轴题。但教学中我们也发现有相当一部分学生因这类题目条件隐晦、变数较多、关系复杂、计 算繁琐，往往感到心中无数，甚至有些不知所措，有的学生还由此产生恐惧情绪，造成解题 的心理障碍。下面将通过近几年相关高考题的分析来说明，解析几何屮“范围”问题的求解其实

2、也是 有规可寻、有据可依的。一、构造有关量的不等式，通过解不等式求范围解儿屮的范i韦i问题很多是转化为不等式来处理的，常规思路是看到“范围”，马上联想“不 等式”，“不等式”从何而來？其依据是什么？ rti此可知解题的关键是寻找“不等源”。12013新课标全国卷ii己知点 a(-l, 0), b(l, 0), c(0, 1),直线 y=ax+b(a>0) 将厶abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()a. (0, 1) b. (1-平,£ c.(l爭,| d.壬,£1 x + y = 1_，由vt得y =2 y = ax + b解析:易得 abcffl积为1,

3、 he (0,1)1)当直线y=ax+b分别交边ab>bc于d、e时，sbde =又y=ax+b与x轴交于(-,0),结合图形与。>0丄£凹a2 q + 1=i c4- z?)2 = a(a +1) > 0, a =. *.* a>0,->0i-2b-2b2)当直线y=ax+b分别交边ac、bc于d、e时,1-b1-b11-b 1-b同理易得点d横坐标,点e横坐标,由sa二丄(1 一 b)(a-11 + a2得：(_b)2- v丄，, b>- 2 2 2 2v2 1综皿(1 一宁才故答案为b.点评：题设a >0显然是一个“不等源s由而积相等将

4、a用b表示，但仅限于此，只能1 j?得到b<或b>-,另一个就只能猜了，不能得出正确结论。2 2该题为填空压轴题，有一定难度，此类问题用特殊位置法往往比较凑效。当a=0时，易 得b=l爭 当a 吋，易得b=|；当d=l时，易得b=迈一 1>|.故选b.2> 2007全国2理在直角坐标系xoy中，以0为圆心的圆与直线x-y/iy = 4相切.(1) 求圆o的方程；(2) 圆0与兀轴相交于a, b两点，圆内的动点p使|pa|,|po|,|pb|成等比数列，求fx 西 的取值范围.解：(1) x2+y2 =4.(2)不妨设 /4(引0), b(x2,0), x<x2.由

5、兀$ =4 即得人(一2,0), 3(2,0).设p(兀,y),由成等比数列，得j(x + 2)2 + 尹仏2)2 + ),2 “ +,2 ,即疋_于=2.papb = (-2-x-y)(2 - x-y) = x2 -4 + y ? = 2(y2 -1)1v 4由于点p在圆o内，故' 由此得于v1.ix2-y2=2.所以pa pb的取值范围为-2,0)点评：按常规思路求得pa pb的表达式后需知y的范围，“圆内的动点p”就成了 “不等 源”。3、2009全国卷i理如图，已知抛物线e:y2 =x与圆m:(x-4)2 + 3'2=r2(r>0)相交于 a、b、c、d 四个点。

6、(i)求厂得取值范圉；解：(i) 将抛物线e:y2 =x与圆af :(x-4)2 + y2=r2(r>0)的方程联立,消去 y2,整理得宀7x + 16 宀0 (*)由题意，方程(*)有两个不相等的正根即可. = 724(16 厂芳故v州+心=7 > 0x,x2 = 16 尸 > 0>0厂易得疋(空,4).点评：木题通过联立方程得一新的一元二次方程，由对称性知抛物线与圆相交于四个点等 价于该方程有两个不等正根，故两不等正根就是本题的“不等源”。二、构造有关量的函数式，转化为求函数的值域相当一部分的解几范围问题是转化为求函数的值域，目标函数的得出是关键。r24、2011上

7、海文已知椭圆c:上 +才=1（常数加>1）, p是曲线c上的动点，m是曲线c m上的右顶点，定点a的坐标为（2,0）（1）若m与a重合，求曲线c的焦点坐标；（2）若加=3,求|必|的最大值与最小值；（3）若|pa|的最小值为|ma|,求实数加的取值范围.解：m = 2,椭圆方程为+ /=1，c = v4i = >/3 4左、右焦点坐标为（一希,0）,（希,0）。m = 3,椭圆方程为 +y2=lf设p(x,刃，贝ij|pa|2=(x-2)2 + /=(x-2)2 + l-«|(x-|)2+i(-3<x<3)9x/2 x =才时 i pa j =；x = -3

8、时 | pa lax =、。(3)设动点p(x, y)，则| pa|2= （x-2）2 + / = （x-2）2 +1 - =-（x-）2 - + 5（加<x<m）m irr m “ -1 m -12 1c 2m>l,竺二>（）,又当x = m时，|pa|取最小值|ma|,nrnr -1解得 1 vwmi + a/i。点评：本题的（2）、（3）两小题都是用距离公式建立|p4|的目标函数，再用配方求最值来处理。（第21题图）5、呦浙江理如图，p是抛物线c"霁上-点,直线/过点p且与抛物线c交于另一点q,若直线i不过原点且与x轴交于点s,与y轴交于点试求卑+ &#

9、165; 的取值范围.sp sq解：设 p（xp yi）, q（x2» 旳），依题意兀#0, yi>0,乃>0.设直线l:y=kx+b,依题意z#0,歼0,则只0, b）.分别过p、q作pp丄兀轴，qq'丄），轴，垂足分别为p、0,则|st| | |st|_ |ot| | |刃| 二 |纠 | |纠 sp sq pp qvcya |y2ly = -x2由2y = kx + b则）u+y2=2 伙?+方）,方法一：消去兀，得一2（疋+b）y +b2=0.*”、旳可取一切不相等的正数，.凹丁 + 里！的取值范围是（2, +8） sp sq方法二：1| | stsp s

10、q=bb2|s：t| jsy2w+b）_2w+b）_2/ q2sp sq h2b b当庆0时，空+空一启学=込乞sp sqb2-b乂由方程一 *有两个相异实根，得厶=4（心"）2.4/,=4处仇2+2仍>0, 于是处+2方>0,即g>2b.竝喘+翳呼“皿分正数'凹+凹的取值范围是（2, +oo）. sp sq方法三：由p、q、t三点共线得知q=k丁p,yy2=h2.yib yb则 xy2bx=x2ybx2即 b(x2,xi)=(x2yxy2).x21 2 1 2 兀2 牙无1 _兀1厅兀21于是 b= xx2.x2 -x2 |s 八 |5t|_| , |纠&

11、quot;2%12 11x x2 iisp sq bl b2|1i旦i可取一切不等于1的正数, 兀ispis八121的取值范围是(2, +oo).点评：木题首先用相似三角形性质将需+芻转化为吩+*),方法-直接利用基本不等式显得简捷明了，相比之下方法二和方法三则繁了不少。解题时如何选择合适的方法, 这取决于各人的领悟和喜好，但多做、多练多订正，纠时反思、错中悟理是必须的，解题能 力的形成就是在失败中总结、在挫折中提高的过程。6> 2007辽宁理已知正三角形q4b的三个顶点都在抛物线y2=2x±f其中o为坐标原点, 设圆c是oab的内接圆(点c为圆心)(i) 求圆c的方程；(ii

12、) 设圆m的方程为(x 4 7cos&)2+(y_7cos&)2=l,过圆m上任意一点p分别作 圆c的两条切线pe pf,切点为e, f,求在乔的最大值和最小值.解：(i)圆c的方程为(x 4)2 +)，=16.(过程略)(ii)设 z.ecf = 2d ,则 ce cf = ce|- |cf| cos 2g = 16 cos la = 32 cos2 a -16 .y 4在rtapce中，= =rh圆的几何性质得 | pc|w| mci+1 = 7 +1 = 8, i pc 11 mc- = 7- = 6,1 q.1 a所以一wcosqw ,由此可得85圧占52 39 -16

13、则ce cf的最大值为-竺，最小值为-8.9点评：考虑到ce=cf=4,用数量积的定义将ce cf转化为32cos2 6-16是比较自然的，波及到圆上动点引入辅助角也是常规z举.三、根据几何直观建立不等关系解几问题本质是一个几何问题，只不过处理问题的手段不同罢了。因此将解析几何中的 “范围”问题回归到几何中借助图形直观，采用数形结合是一种积极的思维方法。対于圆、椭圆、双曲线、抛物线等它们的自身都包含了一些不等关系。如椭圆的长轴长 大于短轴长，也大于焦距长，双曲线的实轴、鹿轴长小于焦距长；它们的离心率都有一定的 范围；对于椭圆、抛物线，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。另外，圆锥 曲

14、线上的点的横坐标或纵坐标是有界的，因而也可以根据它的有界性建立不等关系。7. 2007江西已知拆、场是椭圆的两个焦点，满足mf, -mf2 =0的点m总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()a. (0,1)b. (0,|c. (0，¥)d.省,1)解：由己知,以f1f2为直径的圆在椭圆内部，故c<b,从而c2 <b2v 9即e v 9故选co2 22-c2点评：这里充分利用了圆和椭圆的几何特征，由- mf2 =0知点m在以f1f2为直径的圆上，m总在椭圆内部表明圆半径小于椭圆上的点到原点的最小值：即c<bo8、2009重庆卷理已知以7 = 4为周期的函数/(%)=

15、a/7v1 jc x g (l11 卄亠 “，' ，其中m>0o1 x2(1,3若方程3/(x) = x恰有5个实数解，则加的取值范围为()a.c.桦)3 3d(y,v7)【解析】因为当兀丘(一1,1吋，将函数化为方程/+£ = i(yno),实质上nv为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在/(v)=4坐标系中作出当xg(1,3得图像，再根据123456789 x周期性作岀函数其它部分的图像，由图易知直线y二兰与第二个椭圆(兀-4尸+£ = l()j0)3m"相交，而与第三个半椭圆(x-4)2 +£ = l(y n 0)无公共点时，方程恰有5

16、个实数解，将y二兰府3代入(兀 4)2+£ = 1()，no)得(9m2 + l)x2 72m2x + 135m2 = 0,令/ = 9m2(t > 0)则(f + l)x2-8a + 15r = 0由 = (8/)2 - 4 x 15f(f +1) > 0,得f > 15,由引加 >同样由= -与第二个椭圆(jv-8)2+? = l(y>0)rtla<0可计算得m<4i点评：本题看似分段函数题，实质是解儿问题。利用图形直观，一目了然。9、2010江苏卷在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2+j2 =4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0

17、的距离为1,则实数c的取值范围是解： 因圆半径为2,由已知圆心(0, 0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,上<1, c 的取值范围是(13, 13),点评：本题考查了圆与直线的位置关系，类似的问题都可转化为圆心到直线的距离来处例如若把本题改为：有且仅有三个点到直线12x5y+c=0的距离为1,则叫=1。例如若把本题改为：有且仅有二个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,贝ij1 v上v 3。10. 2013-重庆卷已知圆 ci： (x-2)2+(y-3)2=l, 0 c2： (x-3)2+(y4)2=9, m, n 分别是圆ci，c2上的动点，p为x轴上的动点，则|pm| + |pn|的最小值为()a. 5 y/2-4 b.c. 6-2 迈d.如“解析如图，作圆c】关于x轴的对称圆ci (x-2)24-(y+3)2=l, c则|pm| + |pn| = |pn| + |pm.由图可知当 c2，n, p, m% ci 在同一直线 (小 ) 上时，|pm| + |pn| = |pn| + |pm取得最小值，即为cd-1 -3 = 5