2022届高三数学一轮复习（原卷版）第三节 第1课时 系统知识牢基础——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 教案

1、 1 第三节第三节 圆的方程圆的方程 第第 1 课时课时 系统知识牢基础系统知识牢基础圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 知识点一知识点一 圆的方程圆的方程 1圆的定义及方程圆的定义及方程 定义定义 平面内到平面内到定点定点的距离等于的距离等于定长定长的点的轨迹叫做圆的点的轨迹叫做圆 标准方程标准方程 (xa)2(yb)2r2(r0) 圆心：圆心：(a，b)半径：半径：r 一般方程一般方程 x2y2dxeyf0(d2e24f0) 圆心：圆心： d2，e2 半径：半径：rd2e24f2 2点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点点 m(x0，

2、y0)，圆的标准方程，圆的标准方程(xa)2(yb)2r2. 理论依据理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况三种情况 (x0a)2(y0b)2r2点在圆上点在圆上 (x0a)2(y0b)2r2点在圆外点在圆外 (x0a)2(y0b)2r2点在圆内点在圆内 提醒提醒 不要把形如不要把形如 x2y2dxeyf0 的结构都认为是圆，一定要先判断的结构都认为是圆，一定要先判断 d2e24f 的符号，只有大于的符号，只有大于 0 时才表示圆时才表示圆 3谨记常用结论谨记常用结论 若若 x2y2dxeyf0 表示圆，则有：表示圆，则有： (1)当当 f0 时，圆过

3、原点时，圆过原点 (2)当当 d0，e0 时，圆心在时，圆心在 y轴上；当轴上；当 d0，e0 时，圆心在时，圆心在 x 轴上轴上 (3)当当 df0，e0 时，圆与时，圆与 x 轴相切于原点；轴相切于原点；ef0，d0 时，圆与时，圆与 y 轴相切于原轴相切于原点点 (4)当当 d2e24f时，圆与两坐标轴相切时，圆与两坐标轴相切 重温经典重温经典 1(教材改编题教材改编题)圆圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是的圆心坐标是( ) a(2,3) b(2,3) c(2，3) d(2，3) 答案答案：d 2 2(教材改编题教材改编题)圆心坐标为圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是且过原点的圆

4、的方程是( ) a(x1)2(y1)21 b(x1)2(y1)21 c(x1)2(y1)22 d(x1)2(y1)22 答案答案：d 3(易错题易错题)方程方程 x2 y2mx2y30 表示圆，则表示圆，则 m 的取值范围是的取值范围是( ) a(， 2)( 2，) b(，2 2)(2 2，) c(， 3)( 3，) d(，2 3)(2 3，) 答案答案：b 4若点若点(1,1)在圆在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数的内部，则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) a(1,1) b(0,1) c(，1)(1，) da 1 答案答案：a 5(教材改编题教材改编题)已知圆已知圆 c 经过

5、经过 a(5,2)，b(1,4)两点，圆心在两点，圆心在 x 轴上，则圆轴上，则圆 c 的方程为的方程为_ 解析解析：设圆：设圆 c 的方程为的方程为(xa)2y2r2， 由题意可得由题意可得 5a 24r2， 1a 216r2， 解得解得 a1，r220，所以圆所以圆 c 的方程为的方程为(x1)2y220. 答案答案：(x1)2y220 6已知圆已知圆 c 经过点经过点 a(1,3)，b(4,2)，且与直线，且与直线 2xy100 相切，则圆相切，则圆 c 的标准方程为的标准方程为_ 解析解析：由题意，设圆：由题意，设圆 c 的方程为的方程为(xa)2(yb)2r2， 因为点因为点 b(4

6、,2)在直线在直线 2xy100 上，所以点上，所以点 b(4,2)是是圆与直线圆与直线 2xy100 的切点，的切点， 连接圆心连接圆心 c 和切点的直线与切线和切点的直线与切线 2xy100 垂直，垂直， 则则 kbc12，则，则 bc 的方程为的方程为 y212(x4)， 整理得整理得 x2y0， 由线段由线段 ab 的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为 3xy50， 联立方程组联立方程组 3xy50，x2y0，解得解得 x2，y1， 即圆心坐标为即圆心坐标为 c(2,1)， 3 又由又由 r|bc 42 2 21 2 5， 所以圆的方程为所以圆的方程为(x2)2(y1)25. 答案

7、答案：(x2)2(y1)25 知识点二知识点二 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径半径 r，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为 d) 相离相离 相切相切 相交相交 图形图形 量量 化化 方程方程 观点观点 0 几何几何 观点观点 dr dr d0)外一点外一点 m(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为引圆的两条切线，切线长为 x20y20dx0ey0f. 两切点弦长：利用等面积法，切线长两切点弦长：利用等面积法，切线长 a 与半径与半径 r 的积的的积的 2 倍等于点倍等于点 m 与圆心的距离与圆心的距离 d 与与两切点弦长两切点弦长 b 的

8、积，即的积，即 b2ard. 提醒提醒 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数 3圆的弦长圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法： 因为半弦长几何法： 因为半弦长l2、 弦心距、 弦心距d、 半径、 半径r构成直角三角形， 所以由勾股定理得构成直角三角形， 所以由勾股定理得l 2 r2d2. 4 (2)代数法：若直线代数法：若直线 ykxb 与圆有两交点与圆有两交点 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 则有：， 则有：

9、|ab| 1k2|x1x2| 11k2|y1y2|. 4谨记常谨记常用结论用结论 过直线过直线 axbyc0 和圆和圆 x2y2dxeyf0(d2e24f0)交点的圆系方程为交点的圆系方程为 x2y2dxeyf(axbyc)0. 重温经典重温经典 1(教材改编题教材改编题)直线直线 l：xy10 与圆与圆 c：x2y24x2y10 的位置关系是的位置关系是( ) a相离相离 b相切相切 c相交且过圆心相交且过圆心 d相交但不过圆心相交但不过圆心 解析：解析：选选 d 圆的方程化为圆的方程化为(x2)2(y1)24，圆心为，圆心为(2,1)，半径为，半径为 2，圆心到直线，圆心到直线 l 的距的

10、距离为离为|211|2 22，所以直线，所以直线 l 与圆相交又圆心不在直线与圆相交又圆心不在直线 l 上，所以直线不过圆心故上，所以直线不过圆心故选选 d. 2若直线若直线 xy10 与圆与圆(xa)2y22 有公共点，则实数有公共点，则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) a3，1 b1,3 c3,1 d(，31，) 解析：解析：选选 c 由题意可得，圆的圆心为由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，半径为 2， |a01|12 1 2 2，即，即|a1|2，解得，解得3a1. 故选故选 c. 3(教材改编题教材改编题)圆圆 c：x2y22x0 被直线被直线 y 3x 截得的线段长为

11、截得的线段长为( ) a2 b. 3 c1 d. 2 解析解析：选选 c 圆圆 c：x2y22x0 的圆心为的圆心为(1,0)，半径为半径为 1，圆心到直线圆心到直线 y 3x 的距离为的距离为d| 3|3132，弦长为弦长为 21 3221，故选故选 c. 4(易错题易错题)圆圆 x2y24x0 在点在点 p(1， 3)处的切线方程为处的切线方程为( ) ax 3y20 bx 3y40 cx 2y40 dx 3y20 解析：解析：选选 d 圆的方程为圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为，圆心坐标为(2,0)，半径为，半径为 2，点，点 p 在圆上，由题在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线

12、方程为可知切线的斜率存在，设切线方程为 y 3k(x1)，即，即 kxyk 30， 5 |2kk 3|k212，解得，解得 k33. 切线方程为切线方程为 y 333(x1)，即，即 x 3y20. 5(教材改编题教材改编题)设直线设直线 xya0 与圆与圆 x2y22x4y20 相交于相交于 a，b 两点，若两点，若|ab|2，则，则 a( ) a1 或或 1 b1 或或 5 c1 或或 3 d3 或或 5 解析：解析：选选 b 由题得圆的方程为由题得圆的方程为(x1)2(y2)23，所以圆心为，所以圆心为(1,2)，半径为，半径为 3.所以圆所以圆心到直线的距离为心到直线的距离为 3 21

13、2|12a|2，解得，解得 a1 或或 5.故选故选 b. 6 已知直线 已知直线 l 与圆与圆 x2y24y0 相交于相交于 a， b 两点， 且线段两点， 且线段 ab 的中点的中点 p 坐标为坐标为 (1,1)，则直线，则直线 l 的方程为的方程为_ 解析解析：因为圆：因为圆 x2y24y0 的圆心坐标为的圆心坐标为 c(0,2)，又点，又点 p 坐标为坐标为(1,1)，所以直线，所以直线 cp 的的斜率为斜率为 kcp21011. 又因为又因为 ab 是圆的一条弦，是圆的一条弦，p 为为 ab 的中点，的中点， 所以所以 abcp，故，故 kab1，即直线，即直线 l 的斜率为的斜率为

14、1， 因此，直线因此，直线 l 的方程为的方程为 y1(x1)，即即 xy0. 答案答案：xy0 知识点三知识点三 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径为两圆半径为 r1，r2，d|o1o2|) 相离相离 外切外切 相交相交 内切内切 内含内含 图形图形 量的关系量的关系 dr1r2 dr1r2 |r1r2|dr1r2 d|r1r2| d|r1r2| 提醒提醒 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论 2谨记常用结论谨记常用结论 圆圆 c1：x2y2d1xe1yf10

15、与与 c2：x2y2d2xe2yf20 相交时：相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；两圆圆心的连线垂直平分公共弦； 6 (3)x2y2d1xe1yf1(x2y2d2xe2yf2)0 表示过表示过两圆交点的圆系方程两圆交点的圆系方程(不包不包括括 c2) 重温经典重温经典 1(教材改编题教材改编题)圆圆 o1：x2y22x0 和圆和圆 o2：x2y24y0 的位置关系是的位置关系是( ) a相离相离 b相交相交 c外切外切 d内切内切 解析：解析：选选 b 圆圆 o1的圆心坐标为的圆心坐标为(1,0)，半径长，半径长 r11，圆，圆 o2的圆心坐标为的圆心坐标为(0,2)，半径长，半径长 r22，故两圆的圆心距，故两圆的圆心距 d 5，而，而 r2r11，r1r23，则有，则有 r2r1dr1r2，两圆外离，两圆外离，两圆有两圆有 4 条公切线条公切线 5(教材改编题教材改编题)若圆若圆 x2y24 与圆与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为的公共弦的长为 2 3，则，则 a_. 解析解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2