2022届高三数学一轮复习（原卷版）第六章 6.3等比数列-教师版

1、 第1课时进门测1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)满足an1qan(nn*，q为常数)的数列an为等比数列(×)(2)g为a，b的等比中项g2ab.(×)(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列(×)(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列(×)2、已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()a b2c2 d.答案d解析由题意知q3，q.3、设等比数列an的前n项和为sn，若s23，s415，则s6等于()a31 b32 c63 d64答案c解析根据题意知，等比数列a

2、n的公比不是1.由等比数列的性质，得(s4s2)2s2·(s6s4)，即1223×(s615)，解得s663.故选c.4、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为_答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，2439×q3，q327，q3.插入的两个数分别为9×327,27×381.5、设sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，·11.作业检查无第2课时阶段训练题型一等比数列基本量的运算例1(1)已

3、知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()a2 b1 c. d.(2)在各项均为正数的等比数列an中，a2，a42，a5成等差数列，a12，sn是数列an的前n项的和，则s10s4等于()a1 008 b2 016c2 032 d4 032答案(1)c(2)b解析(1)由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.故选c.(2)由题意知2(a42)a2a5，即2(2q32)2q2q4q(2q32)，得q2，所以an2n，s1021122 046，s4252

4、30，所以s10s42 016.故选b.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解【同步练习】(1)已知等比数列an的首项a11，且a2，a4，a3成等差数列，则数列an的公比q_，数列an的前4项和s4_.(2)设sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3s1,2s2，s3成等差数列，则an_.答案(1)1或4或(2)3n1解析(1)由a2，a4，a3成等差数列得2a1q3a1qa1q2，即2q3qq2，解得q1或q.当q1时，s44a14，当q时，s4.(2)由3s1,2s2，s3成等差

5、数列知，4s23s1s3，可得a33a2，所以公比q3，故等比数列的通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为sn，已知a11，sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及sn14an2，得a1a2s24a12.a25，b1a22a13.又由，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an3·2n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)·

6、;，故an(3n1)·2n2.引申探究若将例2中“sn14an2”改为“sn12sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式解由已知得n2时，sn2sn1n.sn1sn2sn2sn11，an12an1，an112(an1)，n2，又a11，s2a1a22a12，a23，当n1时上式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an12·2n12n，an2n1.【同步练习】1、已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：<.证明(1)由an13an1，得an13(an)又a1，所以an是首项为，公比为3的等

7、比数列所以an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n12×3n1，所以.于是1(1)<，所以<.第3课时阶段重难点梳理1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1·qn1.3等比中项如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam·qnm(n，mn*)(2

8、)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nn*)，则ak·alam·an.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an·bn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为sn，当q1时，snna1；当q1时，sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n仍成等比数列，其公比为qn.【知识拓展】等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列(2)满足或时，an是递减数列(3)当时，an为常数列(4)当q<0时，an为摆动数列重点题型训练题型

9、三等比数列性质的应用例3（1）若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.(2)设等比数列an的前n项和为sn，若，则_.答案(1)50(2)解析(1)因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)·(a2a19)··(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)方法一s6s312，an的公比q1.由÷，得q3，.方法二an是等比数列，且，公比q

10、1，s3，s6s3，s9s6也成等比数列，即(s6s3)2s3·(s9s6)，将s6s3代入得.【同步练习】(1)已知在等比数列an中，a1a410，则数列lg an的前4项和等于()a4 b3 c2 d1(2)设等比数列an中，前n项和为sn，已知s38，s67，则a7a8a9等于()a. b c. d.答案(1)c(2)a解析(1)前4项和s4lg a1lg a2lg a3lg a4lg(a1a2a3a4)，又等比数列an中，a2a3a1a410，s4lg 1002.(2)因为a7a8a9s9s6，且公比不等于1，在等比数列中，s3，s6s3，s9s6也成等比数列，即8，1，s9

11、s6成等比数列，所以有8(s9s6)(1)2，s9s6，即a7a8a9.题型四 分类讨论思想在等比数列中的应用典例(15分)已知首项为的等比数列an的前n项和为sn(nn*)，且2s2，s3,4s4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：sn(nn*)思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2s2，s3,4s4成等差数列，所以s32s24s4s3，即s4s3s2s4，可得2a4a3，于是q.3分又a1，所以等比数列an的通项公式为an×n1(1)n1·

12、;.5分(2)证明由(1)知，sn1n，sn1n8分当n为奇数时，sn随n的增大而减小，所以sns1.11分当n为偶数时，sn随n的增大而减小，所以sns2.13分故对于nn*，有sn（nn*）.15分思导总结一、等比数列的证明(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证二、等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即

13、可找出解决问题的突破口作业布置1在各项均为正数的等比数列an中，a31，a51，则a2a2a6a3a7等于()a4 b6c8 d84答案c解析在等比数列中，a3a7a，a2a6a3a5，所以a2a2a6a3a7a2a3a5a(a3a5)2(11)2(2)28.2在等比数列an中，若a1<0，a218，a48，则公比q等于()a. b.c d.或答案c解析由解得或又a1<0，因此q.3在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n等于()a12 b13c14 d15答案c解析设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq1

14、2，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14，故选c.4在各项均为正数的等比数列an中，a12，且a2，a42，a5成等差数列，记sn是数列an的前n项和，则s5等于()a32 b62 c27 d81答案b解析设正项等比数列an的公比为q，则q>0，由a2，a42，a5成等差数列，得a2a52(a42)，即2q2q42(2q32)，(q2)(1q3)0，解得q2或q1(舍去)，s562，故选b.5已知数列an满足log3an1log3an1(nn*)，且a2a4a69，则的值是()a b5c5 d.答案b解析由log3an1log3an1(nn

15、*)，得log3an1log3an1，即log31，解得3，所以数列an是公比为3的等比数列因为a5a7a9(a2a4a6)q3，所以a5a7a99×3335.所以5.6在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为()a. b.c1 d答案b解析因为a3a4a53a，所以log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a，所以sin(log3a1log3a2log3a7).7设sn为等比数列an的前n项和，已知3s3a42，3s2a32，则公比q_.答案4解析因为由，得3a3a4a3，即4a3a4，则q4.

16、8设各项都是正数的等比数列an，sn为前n项和且s1010，s3070，那么s40_.答案150解析依题意，知数列an的公比q1，数列s10，s20s10，s30s20，s40s30成等比数列，因此有(s20s10)2s10(s30s20)，即(s2010)210(70s20)，故s2020或s2030；又s20>0，因此s2030，s20s1020，s30s2040，故s40s3080，s40150.9已知数列an的前n项和为sn，且满足ansn1(nn*)，则通项an_.答案解析ansn1，a1，an1sn11(n2)，由，得anan1an0，即(n2)，数列an是首项为，公比为的等

17、比数列，则an×()n1.10已知数列an的首项为1，数列bn为等比数列且bn，若b10·b112，则a21_.答案1 024解析b1a2，b2，a3b2a2b1b2，b3，a4b1b2b3，anb1b2b3··bn1，a21b1b2b3··b20(b10b11)102101 024.11已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan是等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解(1)设等差数列的公差为d，由题意得d3，所以ana1(n1)d3n(nn*)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(nn*)(2)由(1)知bn3n2n1(nn*)，数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为1×2n1.所以数列bn的前n项和为n(n1)2n1.12已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意，得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.