考点22 等差数列及其前n项和-备战2020年高考数学（理）考点一遍过

1、考点22 等差数列及其前n项和（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.（3）了解等差数列与一次函数的关系.一、等差数列1等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示即，为常数2等差中项如果a，a，b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项，且3等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为公式的变形：，4等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式，可得令，则，其中，为常数（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的

2、一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列（2）当时，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点二、等差数列的前n项和 1等差数列的前n项和首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：令，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题2用前n项和公式法判定等差数列等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，

3、为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列三、等差数列的性质1等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：（1）通项公式的推广：，（2）若，则特别地，若，则；若，则有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列（4）数列是常数是公差为td的等差数列（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列（6）若，则2与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）数列是等差数列，首项为，公差为（2）构成公

4、差为的等差数列（3）若数列共有项，则，（4）若数列共有项，则，（5），考向一 等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明的方法：定义法：或是等差数列；定义变形法：验证是否满足；等差中项法：为等差数列；通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；前n项和公式法：为常数为等差数列注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法典例1 已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件【答案】a【解析】若数列是等差数列，设其公差为，则，所以数列是等差

5、数列.若数列是等差数列，设其公差为，则，不能推出数列是等差数列.所以“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选a【名师点睛】根据等差数列的定义，“数列为等差数列”能推出“数列为等差数列”，“数列为等差数列”不能推出“数列为等差数列”，从而可得结果.1已知数列的前项和为.（1）若为等差数列，求证：；（2）若，求证：为等差数列.考向二 等差数列中基本量的求解1等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解2等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，d，n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想典例2 已知为等差数列，为其前

6、项和，若，则_.【答案】6【解析】是等差数列，解得，故填6典例3 在等差数列中，a11，s515.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前k项和sk48，求k的值【解析】（1）设等差数列的公差为d，则.由a11，s515，可得510d15，解得d2，故.（2）由（1）可知an32n，所以.令，即k22k480，解得k8或k6.又，故k8.2在等差数列中，已知，公差，若，则a19b18c17d16考向三 求解等差数列的通项及前n项和1求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中

7、项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：.2递推关系式构造等差数列的常见类型：（1）转化为常数，则是等差数列；（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；（3）转化为常数，则是等差数列；（4）转化为常数，则是等差数列；（5）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列3等差数列前n项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.典例4 已知数列中，当时，求数列的

8、通项公式【解析】当时，即，两边同时取倒数，得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，故典例5 已知为等差数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【解析】（1）设等差数列的公差为d，依题意得，解得，则.故数列的通项公式为.（2）由（1）得，故数列的前n项和.3已知等差数列的前n项和满足，（1）求的通项公式；（2）求考向四 数列的前n项和的求解1求数列的前n项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和2当的各项都为非负数时，的前n项和就等于的前n项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求的前n项和要充分利用的前n

9、项和公式，这样能简化解题过程3当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示典例6 已知数列的前项和为.（1）请问数列是否为等差数列？如果是，请证明；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）由可得，两式相减可得于是由可知数列为等差数列.（2）记数列的前项和为， .故数列的前项和为.典例7 设数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和【解析】（1）设，且数列的前项和为，则有.当时，；当时，.从而，即，解得.（2）设数列的前项和为，当时，所以有当时，；当时，.综上，. 4已知为等差数列的前项和，.（1）求；（2）设，求.考向五 等差数列的性质的应用等差数列的性质是等差数

10、列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立典例8 已知等差数列的公差，则_【答案】180【解析】由，则，又，则.则，故.典例9 一个等差数列的前10项的和为30，前30项的和为10，求前40项的和【解析】方法1：设其首项为，公差为d，则，解得，故方法2：易知数列成等差数列，设其公差为，则前3项的和为，即，又，所以，所以，所以方法3：设，则，解得，故，所以方法4：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数

11、列，点在一条直线上，即，三点共线，于是，将，代入解得方法5：因为，又，所以，所以方法6：利用性质：，可得方法7：利用性质：当，时，由于，可得5等差数列、的前项和分别为和，若，则abcd考向六 等差数列的前n项和的最值问题1二次函数法：，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值但应注意，最接近的正整数有1个或2个注意：自变量n为正整数这一隐含条件.2通项公式法：求使()成立时最大的n值即可一般地，等差数列中，若，且，则若为偶数，则当时，最大；若为奇数，则当或时，最大3不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值典例10 已知数列是一个等差数

12、列，且，.（1）求的通项；（2）求的前n项和的最大值【解析】（1）由题意知，所以.（2）因为，所以，根据二次函数的图象及性质可知，当时，前项和取得最大值，最大值为4.典例11 已知数列,前n项和sn=(an+2)2.（1）求证：an是等差数列；（2）设bn=an30，求数列bn的前n项和的最小值.【解析】（1）由已知得8sn=(an+2)2,则8sn1=(an1+2)2(n2),两式相减,得8an=(an+2)2(an1+2)2,即(an+an1)(anan14)=0.因为,所以an+an1>0,所以anan1=4(n2),故数列an是以4为公差的等差数列.（2）令n=1,得s1=a1=

13、(a1+2)2,解得a1=2.由（1）知an=2+(n1)×4=4n2,所以bn=an30=2n31.由bn=2n31<0,得n<,即数列bn的前15项为负值,n16时bn>0.设数列bn的前n项和为tn,则t15最小,其值为.6已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为a6b7c10d121已知等差数列中，则的值为a51b34c64d5122已知数列满足，则的值为a12b15c39d423等差数列的前项和为,若,则a18 b27c36 d454已知数列满足，且，则a3 b3c d5若是数列的前项和，若，则是a等比数列，但不是等差数列b等差数列，但不

14、是等比数列c等差数列，而且也是等比数列d既非等比数列，也非等差数列6已知正项数列an中，a1=1，a2=2，（n2），则a6=a b4c16 d457我国南北朝时期的数学著作张邱建算经有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是a斤b斤c斤d斤8函数为定义域上的奇函数，且在上是单调函数，函数；数列为等差数列，公差不为0，若，则a bc d9设各项均不为零的等差数列an的前n项和为sn，已知，且s100，则使

15、不等式成立的正整数n的最小值是a9b10c11d1210已知等差数列的前项和为，且，则_11设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是_12在等差数列中，已知,.（1）求数列的通项公式；（2）求.13已知等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）当为何值时，数列的前项和取得最大值？14已知数列中，是它的前项和，且（1）求证：数列为等差数列.（2）求的前项和.15已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项积，试求的最小值.1（2019年高考全国i卷理数）记为等差数列的前n项和已知，则abcd2（2018新课标全国i理科）设为等差数列的前项和，若

16、，则a bc d3（2017新课标全国i理科）记为等差数列的前项和若，则的公差为a1b2c4d84（2017浙江）已知等差数列an的公差为d，前n项和为sn，则“d>0”是“s4 + s6>2s5”的a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件5（2017新课标全国ii理科）等差数列的前项和为，则_6（2018北京理科）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为_7（2019年高考全国iii卷理数）记sn为等差数列an的前n项和，则_8（2019年高考北京卷理数）设等差数列an的前n项和为sn，若a2=3，s5=10，则a5=_，sn的最

17、小值为_9（2019年高考江苏卷）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_10（2018新课标全国ii理科）记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值变式拓展1【解析】（1）已知数列为等差数列，设其公差为，有，则，于是，又，由相加得，即.（2）由，得当时，所以，并整理，得，即，所以数列是等差数列【名师点睛】本题主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明（为常数，）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足即可.2【答案】c【解析】根据题意，数列an是等差数列，且a13，公差d2，所以ana1+

18、（n1）d3+2n22n+1，又因为am2m+1a1+a2+a3+a4+a55a335（mn*），所以m17，故选c【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，准确计算是关键，属于基础题依题意an2n+1，且a1+a2+a3+a4+a55a335，令am35解方程即可3【解析】（1）由等差数列的前n项和公式可得，解得，则的通项公式为.（2）为等差数列，以1为首项，以为公差的等差数列，.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及等差数列的求和公式，考查学生的计算能力4【解析】（1）由，及，联立解得，所以（2）由（1）知，可得当时，当时，所以当时，当时，所以【名师点睛】本题

19、主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，以及等差数列中绝对值的和的求解，其中解答中熟记等差数列的通项，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题5【答案】d【解析】由题意得：，又，即，.本题正确选项为d.【名师点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是能够利用中项的性质将问题转化为中间项之间的比较.6【答案】c【解析】设等差数列的公差为，因为等差数列的前项和有最大值，所以，又，所以，且，所以，所以满足的最大正整数的值为10.【名师点睛】本题主要考查使等差数列前项和最大的整数，熟记等差数列求和公式以及等差数列的性质即可，属于常考题型.求解时，先设等差数

20、列的公差为，根据前项和有最大值，得到，再由，得到，且，根据等差数列的求和公式以及性质，即可得出结果.考点冲关1【答案】a【解析】因为为等差数列，所以，所以选择a.【名师点睛】本题主要考查了等差数列比较重要的一个性质；在等差数列中，若，则，属于基础题.2【答案】b【解析】由题意得，所以为等差数列，且公差为，所以，则，故选择b.【名师点睛】本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题.求解本题时，根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可.3【答案】b【解析】根据等差数列的性质，得，而，所以，所以，故选b4【答案】b【解析】由数列满足，可得，所以数列是等差数列，公

21、差为，所以，所以，故选b【名师点睛】该题考查的是有关对数值的求解问题，涉及到的知识点有指数式的运算性质，等差数列的性质，对数值的求解，属于简单题目.利用已知条件判断出数列是等差数列，求出公差，利用等差数列的性质化简求解即可.5【答案】b【解析】当时，;当时，又时，满足通项公式，所以此数列为等差数列.故选b.【名师点睛】本题考查根据数列前n项和求数列通项，注意检验时的公式对是否适用.6【答案】b【解析】因为，所以所以数列为等差数列，因为，因为，因此，故选b【名师点睛】先根据等差数列的定义及其通项公式得出，再根据正项数列条件得an，即得a6.证明或判断为等差数列的方法：(1)用定义证明：为常数）；

22、(2)用等差中项证明：；(3)通项法：为的一次函数；(4)前项和法：.7【答案】c【解析】设首项为，公差为，则根据题意可得，解得则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.本题选择c选项.【名师点睛】本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题.求解时，由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得，结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值.8【答案】a【解析】由题意得：，所以，又因为函数单调且为奇函数，所以，即，即，再结合等差数列的性质可得：，故答案为a【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质、等差数列的性质，本题能得出是解题的关键，属于中档题.9【答案】c【解析】在等差数列an中，由s10

23、0，得，则又，可知数列an为递增数列，则又，当n10时，0，当n11时，使不等式成立的正整数n的最小值是11故选c【名师点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质，还考查了转化能力及数列的单调性应用，属于中档题.10【答案】【解析】等差数列中，设等差数列的公差为，则【名师点睛】根据等差数列中下标和的性质与前n项和公式求解，即若，则，这个性质经常和前n项和公式结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单11【答案】【解析】由，可知，则(当且仅当n=4时取等号)故填12【解析】（1）因为是等差数列，,所以解得.则,. （2）构成首项为,公差为的等差数列.则.【名师点睛】本题

24、考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题.（1）将已知条件转为关于首项和公差的方程组，解方程组求出，进而可求通项公式；（2）由已知可得构成首项为,公差为的等差数列，利用等差数列前n项和公式计算即可.13【解析】（1）由题意，等差数列中，则，解得，所以数列的通项公式为.（2）法一：由（1）知，则，当时，取得最大值法二：由（1）知，是递减数列令，则，解得.，时，时，.当时，取得最大值【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，以及等差数列的前n项和的最值问题，其中解答中熟记等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和的最值问题的求解方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算

25、能力，属于中档试题14【解析】（1）当时，所以，则，两式对应相减得，所以，又n=2时，所以，所以，所以数列为等差数列.（2）当为偶数时，；当为奇数时，.综上：.【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.（1）先化简已知得，再求出，再证明数列为等差数列；（2）对n分奇数和偶数两种情况讨论得解.15【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，有，又，又，.当时，有且，又，两式相减，化简得：，又，则数列是以为首项，为公差的等差数列，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，设，则数列是以为首项，为公差的等差数列，所以数列的前项和为，

26、当时，有最小值.又，所以，故当时，的最小值是.【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等差数列的通项公式和数列的求和问题，熟记数列的通项公式和数列的求和方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于基础题.（1）利用数列的递推关系式推出数列是首项为，公差为2的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）化简通项公式后再求和.直通高考1【答案】a【解析】由题知，解得，,故选a【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断2【答案】b【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选b【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.3【答案】c【解析】设公差为，联立解得，故选c【秒杀解】因为，即，则，即，解得，故选c【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.4【答案】c【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“s4 + s6>2s5”的充要条件，选