高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：5.2 等差数列及其前n项和 Word版含答案

1、淘宝店铺：漫兮教育第二节等差数列及其前n项和等差数列(1)理解等差数列的概念(2)掌握等差数列的通项公式与前n项和公式(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题(4)了解等差数列与一次函数的关系知识点一等差数列的有关概念1定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列符号表示为an1and(nn，d为常数)2等差中项：数列a，a，b成等差数列的充要条件是a，其中a叫作a，b的等差中项易误提醒1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数

2、列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别自测练习1现给出以下几个数列：2,4,6,8，2(n1)，2n；1,1,2,3，n；常数列a，a，a，a；在数列an中，已知a2a12，a3a22.其中等差数列的个数为()a1 b2c3 d4解析：由42642n2(n1)2，得数列2,4,6,8，2(n1)，2n为等差数列；因为110211，所以数列1,1,2,3，n不是等差数列；常数列a，a，a，a为等差数列；当数列an仅有3项时，数列an是等差数列，当数列an的项数超过3项时，数列an不一定是等差数列故等差数列的个数为2.答案：b2若2，a，b，c,9成等差数列，则ca_.解析：

3、由题意得该等差数列的公式d，所以ca2d.答案：知识点二等差数列的通项及求和公式等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：snna1d.必记结论1巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mn)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nn)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn)是公差为md的等差数列(4)数列sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列2前n项和公式snn2n视为关于n的一元二次函数，开口方向由公差d的正负确定；sn中(a1an)视为一个整体，常与等差数

4、列性质结合利用“整体代换”思想解题自测练习3(2016·日照模拟)已知数列an为等差数列，且a12，a2a313，那么a4a5a6等于()a40 b42c43 d45解析：设等差数列公差为d，则有a2a32a13d43d13，解得d3，故a4a5a63a53(a14d)3×(24×3)42，故选b.答案：b4(2015·兰州诊断)已知等差数列an的前n项和为sn，若a418a5，则s8()a18 b36c54 d72解析：由s8，又a4a5a1a818，s872.答案：d5数列an是公差不为0的等差数列，且a2a6a8，则_.解析：在等差数列中，由a2a

5、6a8得2a16da17d，即a1d0，所以3.答案：3考点一等差数列的基本运算|1(2015·高考全国卷)设sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则s5()a5 b7 c9 d11解析：法一：数列an为等差数列，设公差为d，a1a3a53a16d3，a12d1，s55a1×d5(a12d)5.法二：数列an为等差数列，a1a3a53a33，a31，s55.答案：a2等差数列an中，a1，am，an(mn)，则数列an的公差d为_解析：am(m1)d，an(n1)d，(mn)d，d，am(m1)，解得，即d.答案：3(2015·通州模拟)已知等差数列an

6、中，a22，公差d2，那么数列an的前5项和s5_.解析：将已知条件代入公式易得s55(a2d)d20.答案：20等差数列的基本运算的两个解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法考点二等差数列的判断与证明|已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：，bn1bn，bn是等

7、差数列(2)由(1)及b11，知bnn，an1，an.等差数列的四种判定方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nn*)成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证snan2bn.1已知数列an中，a1，an2(n2，nn*)，数列bn满足bn(nn*)求证：数列bn是等差数列证明：an2(n2，nn*)，bn，当n2时，bnbn11.又b1，数列bn是以为首项，1为公差的等差数列考点三等差数列的性质及最值|(1)(2016·泉州质检)设等差数列an的前n项和为sn，若a5a1410，则s

8、18()a20b60c90 d100解析因为an是等差数列，所以s189(a5a14)90，故选择c.答案c(2)(2015·广州模拟)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()a10 b20c30 d40解析本题考查等差数列的性质这个数列的项数为2n，于是有2×n251510,2n10，即这个数列的项数为10，故选a.答案a(3)已知在等差数列an中，a131，sn是它的前n项的和，s10s22.求sn；这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值解s10a1a2a10，s22a1a2a22，又s10s22，a

9、11a12a220，即0，即a11a222a131d0.又a131，d2.snna1d31nn(n1)32nn2.法一：由知，sn32nn2(n16)2256，当n16时，sn有最大值256.法二：由知，令(nn*)，解得n，nn*，n16时，sn有最大值256.求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解(2)通项公式法：求使an0(an0)成立时最大的n值即可一般地，等差数列an中，若a1>0，且spsq(pq)，则：若pq为偶数，则当n时，sn最大；若pq为奇数，则当n或n时，sn最大2(2015·深

10、圳调研)等差数列an中，已知a5>0，a4a7<0，则an的前n项和sn的最大值为()as7 bs6cs5 ds4解析：sn的最大值为s5.答案：c3设sn为等差数列an的前n项和，若s33，s618，则a8_.解析：等差数列性质可得s33，s6s315，s9s6a7a8a93a8成等差数列，故有2(s6s3)s3s9s62×1533a8，解得a89.答案：917.整体思想在等差数列中的应用【典例】已知sn为等差数列an的前n项和，若s11，4，则的值为()a. b.c. d4思路点拨若利用a，d基本计算较繁，可考虑s2，s4s2，s6s4成等差数列，采用整体求值较简便解

11、析由等差数列的性质可知s2，s4s2，s6s4成等差数列，由4，得3，则s6s45s2，所以s44s2，s69s2，.答案a方法点评利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手，把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法有不少等差数列题，其首项、公差无法确定或计算烦琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径跟踪练习已知等差数列an的前n项和为sn，且s1010，s2030，则s30_.解析：s10，s20s10，s30s20成等差数列，且s1010，s2030，s20s1020，s30s20102×1030，s3060.答案：60a组考点能力演练1已知

12、等差数列an满足：a313，a1333，则数列an的公差为()a1 b2c3 d4解析：设等差数列an的公差为d，则d2，故选择b.答案：b2(2016·宝鸡质检)设等差数列an的前n项和为sn，且s918，an430(n>9)，若sn336，则n的值为()a18 b19c20 d21解析：因为an是等差数列，所以s99a518，a52，sn×3216n336，解得n21，故选择d.答案：d3(2015·武昌联考)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为sn，则使得sn达到最大的n是()a18 b19c20 d21解析：

13、a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，snn240n，因此当sn取得最大值时，n20.答案：c4在等差数列an中，a2a3a4a540，则3a1a11()a20 b30c40 d60解析：本题考查等差数列的通项公式及性质的应用由等差数列的性质得a2a3a4a52(a3a4)40，解得a3a420，即a3a42a15d20，又3a1a114a110d2(2a15d)40，故选c.答案：c5已知数列an，bn都是等差数列，sn，tn分别是它们的前n项和，并且，则()a. b5c. d.解析：法一：令sn(7n1)n，tn(n3)n，则an

14、14n6，bn2n2，所以.法二：设等差数列an，bn的公差分别为d1，d2，则.答案：d6(2015·广州一模)若sn是等差数列an的前n项和，且s8s320，则s11_.解析：因为an是等差数列，所以s8s3a4a5a6a7a85a620，所以a64，所以s1111a644.答案：447设数列an的前n项和为sn，且a1a21，nsn(n2)an为等差数列，则an的通项公式为an_.解析：设bnnsn(n2)an，则b11×s1(12)a11×a13a14，b22×s2(22)a22×(a1a2)(22)a28，所以等差数列bn的首项为4，

15、公差为4，所以bn4(n1)×44n，即nsn(n2)an4n.当n2时，snsn1anan10，所以anan1，即2·，所以是以为公比，1为首项的等比数列，所以n1，所以an.答案：8设等差数列an满足公差dn*，ann*，且数列an中任意两项之和也是该数列的一项若a135，则d的所有可能取值之和为_解析：本题考查等差数列的通项公式依题意得ana1(n1)d，aiaj2a1(ij2)da1(m1)d(i，j，mn*)，即(mij1)da1，kda135(其中k，dn*)，因此d的所有可能取值是35的所有正约数，即分别是1,3,32,33,34,35，因此d的所有可能取值之

16、和为364.答案：3649已知an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a655，a2a716.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：b1a1且bnanbn1(n2，nn*)，求数列bn的通项公式解：(1)由题意得：公差d>0，d2，an2n1.(2)bnanbn1(n2，nn*)，bnbn12n1(n2，nn*)bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(n2，nn*)，且b1a11，bn2n12n331n2(n2，nn*)bnn2(nn*)10(2015·南昌一模)已知等差数列an的前n项和为sn，a11，s36，正项数列bn满足b1·b2&#

17、183;b3··bn2sn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若bn>an对nn*均成立，求实数的取值范围解：(1)a11，s36，数列an的公差d1，ann.由题知，÷得bn2snsn12an2n(n2)，又b12s1212，满足上式，故bn2n.(2)bn>an恒成立>恒成立，设cn，则，当n2时，cn<1，数列cn单调递减，(cn)max，故>.b组高考题型专练1(2015·高考重庆卷)在等差数列an中，若a24，a42，则a6()a1 b0c1 d6解析：由等差数列的性质知a2a62a4，所以a62a4a20，

18、故选b.答案：b2(2015·高考全国卷)已知an是公差为1的等差数列，sn为an的前n项和若s84s4，则a10()a. b.c10 d12解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d.由题设知d1，s84s4，所以8a1284(4a16)，解得a1，所以a109，选b.答案：b3(2015·高考北京卷)设an是等差数列，下列结论中正确的是()a若a1a2>0，则a2a3>0b若a1a3<0，则a1a2<0c若0<a1<a2，则a2>d若a1<0，则(a2a1)(a2a3)>0解析：若an是递减的等差数列，则选项a，b都不一定正确若an为公差为0的等差数列，则选项d不正确对于c选项，由条件可知an为公差不为0的正项数列