全国通用版2019版高考数学一轮复习第六单元解三角形学案文201806133171_20210103224758

1、第六单元 解三角形教材复习课“解三角形”相关基础知识一课过正弦定理、余弦定理过双基1正弦定理2r，其中r是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_asin_bsin_c；(2)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c.2余弦定理a2b2c22bccos_a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos_c.余弦定理可以变形：cos a，cos b，cos c.1设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若a2，c2 ，cos a，且bc，则b()a3b2c2 d.解析：选c由a2b2c22bccos a，得4b2126b，解得b2或4，bc，b2.

2、2在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若b2c2a2bc，则角a的大小为()a30° b60°c120° d150°解析：选b由余弦定理可得b2c2a22bccos a，又因为b2c2a2bc，所以cos a，则a60°.3在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若asin absin b<csin c，则abc的形状是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d不确定解析：选c根据正弦定理可得a2b2<c2.由余弦定理得cos c<0，所以角c是钝角，故选c.4(2018·郑州质量预测)已知a

3、，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，且(bc)(sin bsin c)(ac)sin a，则角b的大小为()a30° b45°c60° d120°解析：选a由正弦定理及(bc)(sin bsin c)(ac)·sin a，得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，所以a2c2b2ac，又因为cos b，所以cos b，所以b30°.5在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知bcos cbsin ca0，则b_.解析：由正弦定理可得sin bcos csin bsin csin asin(bc)sin bc

4、os csin ccos b，则sin bsin csin ccos b，又sin c0，所以tan b，则b30°.答案：30°清易错1由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制1在abc中，若a18，b24，a45°，则此三角形解的情况是()a无解 b两解c一解 d不确定解析：选b，sin bsin asin 45°.又a<b，b有两个解，即此三角形有两解2设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若a，sin b，c，则b_.解析：在ab

5、c中，sin b，0<b<，b或b.又bc<，c，b，a.，b1.答案：13在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a7，b8，c13，则角c的大小为_解析：在abc中，a7，b8，c13，由余弦定理可得cos c，c(0，)，c.答案：三角形的面积公式过双基设abc的边为a，b，c，所对的三个角为a，b，c，其面积为s.(1)sah(h表示边a上的高)(2)sbcsin aacsin babsin c.(3)sr(abc)(r为abc内切圆的半径)1在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，若a1，b，b60°，则abc的面积为()a. b.c1

6、 d.解析：选b在abc中，由正弦定理可得sin a，则a30°，所以c90°，则abc的面积sabsin c×1××1.2在abc中，a60°，ab2，且abc的面积为，则bc的长为()a. b.c2 d2解析：选b由题意sabc·ab·ac·sin a，则ac1，由余弦定理可得bc.3在abc中，b120°，ac7，ab5，则abc的面积为_解析：由余弦定理知7252bc22×5×bc×cos 120°，即4925bc25bc，解得bc3.故sabca

7、b·bcsin b×5×3×.答案：4在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知abc的面积为3，bc2，cos a，则a的值为_解析：由cos a，得sin a，所以abc的面积为bcsin abc×3，解得bc24，又bc2，所以a2b2c22bccos a(bc)22bc2bccos a222×242×24×64，解得a8.答案：8清易错应用三角形面积公式sabsin cacsin bbcsin a时，注意公式中的角应为两边的夹角在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a2，c2，

8、a30°，则abc的面积为_解析：a2，c2，a30°，由正弦定理得sin c，c60°或120°，b90°或30°，则sabcacsin b2或.答案：2或正弦、余弦定理实际应用中的有关术语过双基1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似4坡角

9、与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图，角为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比1(2018·潍坊调研)海面上有a，b，c三个灯塔，ab10 n mile，从a望c和b成60°视角，从b望c和a成75°视角，则bc()a10 n mileb. n milec5 n mile d5 n mile解析：选d如图，在abc中，c180°60°75°45°，又a60°，由正弦定理，得，即，解得bc5.2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，

10、由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_m.解析：如图，omao·tan 45°30(m)，onao·tan 30°×3010(m)，在mon中，由余弦定理得，mn 10(m)答案：103.如图，一艘船上午9：30在a处测得灯塔s在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达b处，此时又测得灯塔s在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 n mile.则此船的航速是_n mile/h.解析：设航速为v n mile/h，

11、在abs中abv，bs8，bsa45°，由正弦定理得，则v32.答案：32清易错易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角若点a在点c的北偏东30°，点b在点c的南偏东60°，且acbc，则点a在点b的()a北偏东15° b北偏西15°c北偏东10° d北偏西10°解析：选b如图所示，acb90°，又acbc，cba45°，而30°，90°45°30°15°.点a在点b

12、的北偏西15°.一、选择题1已知abc中，sin asin bsin c11，则此三角形的最大内角为()a60°b90°c120° d135°解析：选csin asin bsin c11，abc11，设am，则bm，cm.cos c，c120°.2在abc中，已知b40，c20，c60°，则此三角形的解的情况是()a有一解 b有两解c无解 d有解但解的个数不确定解析：选c由正弦定理得，sin b>1.角b不存在，即满足条件的三角形不存在3在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若c2a，b4，cos b.则c

13、的值为()a4 b2c5 d6解析：选ac2a，b4，cos b，由余弦定理得b2a2c22accos b，即16c2c2c2c2，解得c4.4已知abc中，内角a，b，c所对边分别为a，b，c，若a，b2acos b，c1，则abc的面积等于()a. b.c. d.解析：选b由正弦定理得sin b2sin acos b，故tan b2sin a2sin，又b(0，)，所以b，又ab，则abc是正三角形，所以sabcbcsin a×1×1×.5(2018·湖南四校联考)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若(a2b2c2)tan cab，则

14、角c的大小为()a.或 b.或c. d.解析：选a由题意知，cos c，sin c，又c(0，)，c或.6已知a，b两地间的距离为10 km，b，c两地间的距离为20 km，现测得abc120°，则a，c两地间的距离为()a10 km b10 kmc10 km d10 km解析：选d如图所示，由余弦定理可得，ac21004002×10×20×cos 120°700，ac10(km)7(2018·贵州质检)在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，c，则abc的面积是()a3 b.c. d3解析：选cc2(

15、ab)26，c2a2b22ab6.c，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.sabcabsin c×6×.8一艘海轮从a处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么b，c两点间的距离是()a10 n mileb10 n milec20 n mile d20 n mile解析：选a画出示意图如图所示，易知，在abc中，ab20，cab30°，acb45°，

16、根据正弦定理得，解得bc10.故b，c两点间的距离是10 n mile.二、填空题9在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且a2，cos c，3sin a2sin b，则c_.解析：因为3sin a2sin b，所以由正弦定理可得3a2b，则b3，由余弦定理可得c2a2b22abcos c492×2×3×16，则c4.答案：410在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若角a，b，c成等差数列，且边a，b，c成等比数列，则abc的形状为_解析：在abc中，角a，b，c成等差数列，2bac，由三角形内角和定理，可得b，又边a，b，c成等比数列，

17、b2ac，由余弦定理可得b2a2c22accos b，aca2c2ac，即a2c22ac0，故(ac)20，可得ac，所以abc的形状为等边三角形答案：等边三角形11已知abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且ax，b2，b45°，若三角形有两解，则x的取值范围为_解析：由acb2，要使三角形有两解，就是要使以c为圆心，以2为半径的圆与ab有两个交点，当a90°时，圆与ab相切，只有一解；当a45°时，交于b点，也就是只有一解，所以要使三角形有两解，需满足45°<a<90°，即<sin a<1，由正弦定理可得a

18、x2sin a，所以2<x<2.答案：(2,2)12如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为_m(取1.4，1.7)解析：如图，作cd垂直于ab的延长线于点d，由题意知a15°，dbc45°，acb30°，ab50×42021 000(m)又在abc中，bc×sin 15°10 500()cdad，cdbc·sindbc10 500()&

19、#215;10 500(1)7 350.故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)答案：2 650三、解答题13(2017·山东高考)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知b3，6，sabc3，求a和a.解：因为·6，所以bccos a6，又sabc3，所以bcsin a6，因此tan a1，又0a，所以a.又b3，所以c2.由余弦定理a2b2c22bccos a，得a2982×3×2×29，所以a.14在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知2bcos cacos cccos a.(1)求角c的大小；(

20、2)若b2，c，求a及abc的面积解：(1)2bcos cacos cccos a，由正弦定理可得2sin bcos csin acos ccos asin c，即2sin bcos csin(ac)sin b.又sin b0，cos c，c.(2)b2，c，c，由余弦定理可得7a242×a×2×，即a22a30，解得a3或1(舍去)，abc的面积sabsin c×3×2×.高考研究课(一)正、余弦定理的3个基础点边角、形状和面积全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度解三角形求边、角5年6考求解三角形中的边、角值三角形面积问题5年6考

21、由面积求边、求比值，求面积最值利用正、余弦定理解三角形典例(2017·天津高考)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a5，c6，sin b.(1)求b和sin a的值；(2)求sin的值解(1)在abc中，因为a>b，故由sin b，可得cos b.由已知及余弦定理，得b2a2c22accos b13，所以b.由正弦定理，得sin a.所以b的值为，sin a的值为.(2)由(1)及a<c，得cos a，所以sin 2a2sin acos a，cos 2a12sin2a.故sinsin 2acoscos 2asin×.方法技巧应

22、用正、余弦定理的解题策略(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断即时演练1(2017·山东高考)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.若abc为锐角三角形，且满足sin b(12cos c)2sin acos ccos asin c，则下列等式成立的是()aa2bbb2ac

23、a2b db2a解析：选a由题意可知sin b2sin bcos csin acos csin(ac)，即2sin bcos csin acos c，又cos c0，故2sin bsin a，由正弦定理可知a2b.2(2017·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若2bcos bacos cccos a，则b_.解析：法一：由2bcos bacos cccos a及正弦定理，得2sin bcos bsin acos csin ccos asin(ac)sin b0，因此cos b.又0b，所以b.法二：由2bcos bacos cccos a及余弦定理，得2b

24、83;a·c·，整理得，a2c2b2ac，所以2accos bac0，cos b.又0b，所以b.答案：3.(2018·成都二诊)如图，在平面四边形abcd中，已知a，b，ab6.在ab边上取点e，使得be1，连接ec，ed.若ced，ec.(1)求sinbce的值；(2)求cd的长解：(1)在bec中，由正弦定理，知.b，be1，ce，sinbce.(2)cedb，deabce，cosdea.a，aed为直角三角形，又ae5，ed2.在ced中，cd2ce2de22ce·de·cosced7282××2×49.c

25、d7.利用正、余弦定理判断三角形形状要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)角化边；(2)边化角.典例在abc中，“(a2b2)sin(ab)(a2b2)·sin(ab)”，试判断三角形的形状解(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，b2sin(ab)sin(ab)a2sin(ab)sin(ab)，2sin acos b·b22cos asin b·

26、;a2，即a2cos asin bb2sin acos b.法一：用“边化角”解题由正弦定理得a2rsin a，b2rsin b，sin2acos asin bsin2bsin acos b，又sin a·sin b0，sin acos asin bcos b，sin 2asin 2b.在abc中，02a2，02b2，2a2b或2a2b，ab或ab.abc为等腰三角形或直角三角形法二：用“角化边”解题由正弦定理、余弦定理得：a2b·b2a·，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.

27、abc为等腰三角形或直角三角形方法技巧判断三角形形状的2种方法(1)“边化角”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用abc这个结论(2)“角化边”利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状提醒在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解即时演练1设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcos cccos basin a，则abc的形状为()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d不确定解

28、析：选b依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin bcos ccos bsin csin2a，有sin(bc)sin2a，从而sin(bc)sin asin2a，解得sin a1，a，abc是直角三角形2在abc中，“2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c，且sin bsin c1”，试判断abc的形状解：由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得，cos a，sin a，则sin2asin2bsin2csin bsin c.又sin bsin c1，所以sin bsin c，解得sin bsin c.因为0<b<，0&l

29、t;c<，故bc，所以abc是等腰钝角三角形三角形面积问题典例(2017·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知sin(ac)8sin2.(1)求cos b；(2)若ac6，abc的面积为2，求b.解(1)由题设及abc得sin b8sin2，即sin b4(1cos b)，故17cos2b32cos b150，解得cos b或cos b1(舍去)(2)由cos b，得sin b，故sabcacsin bac.又sabc2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos b(ac)22ac(1cos b)362××4.所以b2.方法

30、技巧三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 即时演练1(2018·太原一模)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若a60°，b1，sabc，则c等于()a1 b2c3 d4解析：选dsabcbcsin a，×1×c×，c4.2(2018·陕西四校联考)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且cos a.(1)求cos2cos 2a的值；(2)若a，求abc面积的

31、最大值解：(1)cos2cos 2a2cos2a12cos2a1×2×21.(2)由余弦定理可得()2b2c22bccos ab2c2bc2bcbcbc，所以bc，当且仅当bc时，bc有最大值.又cos a，a(0，)，所以sin a ，于是abc面积的最大值为××.1(2016·全国卷)在abc中，b，bc边上的高等于bc，则cos a()a. b.c d解析：选c法一：设abc中角a，b，c所对的边分别为a，b，c，则由题意得sabca·aacsin b，ca.由余弦定理得b2a2c22accos ba2a22×a

32、15;a×a2，ba.cos a.法二：如图，ad为abc中bc边上的高设bca，由题意知adbca，b，易知bdada，dca.在rtabd中，由勾股定理得，ab a.同理，在rtacd中，ac a.cos a.2(2017·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知c60°，b，c3，则a_.解析：由正弦定理，得sin b，因为0°b180°，所以b45°或135°.因为bc，所以bc，故b45°，所以a180°60°45°75°.答案：75°3

33、(2016·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若cos a，cos c，a1，则b_.解析：因为a，c为abc的内角，且cos a，cos c，所以sin a，sin c，所以sin bsin(ac)sin(ac)sin acos ccos asin c××.又a1，所以由正弦定理得b×.答案：4(2017·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知abc的面积为.(1)求sin bsin c；(2)若6cos bcos c1，a3，求abc的周长解：(1)由题设得acsin b，即csin b.由正弦定理得

34、sin csin b.故sin bsin c.(2)由题设及(1)得cos bcos csin bsin c，即cos(bc).所以bc，故a.由题设得bcsin a，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc.故abc的周长为3.5(2017·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知sin acos a0，a2，b2.(1)求c；(2)设d为bc边上一点，且adac，求abd的面积解：(1)由已知可得tan a，所以a.在abc中，由余弦定理得284c24ccos ，即c22c240.解得c4(负值舍去)(2)由题设可得cad，所以badb

35、accad.故abd的面积与acd的面积的比值为1.又abc的面积为×4×2×sin2，所以abd的面积为.6(2016·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知2cos c(acos bbcos a)c.(1)求c；(2)若c，abc的面积为，求abc的周长解：(1)由已知及正弦定理得2cos c(sin acos bsin bcos a)sin c，即2cos csin(ab)sin c，故2sin ccos csin c.因为sin c0，可得cos c，所以c.(2)由已知得absin c.又c，所以ab6.由已知及余弦定理得a

36、2b22abcos c7，故a2b213，从而(ab)225.所以abc的周长为5.7(2015·全国卷)abc中，d是bc上的点，ad平分bac，bd2dc.(1)求；(2)若bac60°，求b.解：(1)由正弦定理，得，.因为ad平分bac，bd2dc，所以.(2)因为c180°(bacb)，bac60°，所以sin csin(bacb)cos bsinb.由(1)知2sin bsin c，所以tan b，所以b30°.8(2013·全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知abcos ccsin b.(1)求b；

37、(2)若b2，求abc面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sin asin bcos csin csin b又a(bc)，故sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c由和c(0，)得sin bcos b.又b(0，)，所以b.(2)abc的面积sacsin bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此abc面积的最大值为×1.一、选择题1在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a1，b，a30°，若b为锐角，则abc()a113b123c132 d141解析：选b因为a1，b，

38、a30°，b为锐角，所以由正弦定理可得sin b，则b60°，所以c90°，则abc123.2如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是()a锐角三角形b钝角三角形c直角三角形d根据增加的长度确定三角形的形状解析：选a设原来直角三角形的三边长是a，b，c且a2b2c2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为d，原来的斜边仍然是最长的边，故cos a>0，所以新三角形中最大的角是一个锐角，故选a.3(2018·太原模拟)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若b2c2a2bc，且ba，则下列关系一定不成立的是()a

39、ac bbcc2ac da2b2c2解析：选b由余弦定理，得cos a，则a30°.又ba，由正弦定理得sin bsin asin 30°，所以b60°或120°.当b60°时，abc为直角三角形，且2ac，可知c、d成立；当b120°时，c30°，所以ac，即ac，可知a成立，故选b.4在直角梯形abcd中，abcd，abc90°，ab2bc2cd，则cosdac()a. b.c. d.解析：选b如图所示，设cda，则易知aca，ada，在acd中，cd2ad2ac22ad×ac×cosdac

40、，a2(a)2(a)22×a×a×cosdac，cosdac.5在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若abc的面积为s，且2s(ab)2c2，则tan c等于()a. b.c d解析：选c因为2s(ab)2c2a2b2c22ab，则由面积公式与余弦定理，得absin c2abcos c2ab，即sin c2cos c2，所以(sin c2cos c)24，即4，所以4，解得tan c或tan c0(舍去)6在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足b2c2a2bc，·>0，a，则bc的取值范围是()a. b.c. d.解

41、析：选b在abc中，b2c2a2bc，由余弦定理可得cos a，a是abc的内角，a60°.a，由正弦定理得1，bcsin bsin(120°b)sin bcos bsin(b30°)·|·|·cos(b)>0，cos b<0，b为钝角，90°<b<120°，120°<b30°<150°，故sin(b30°)，bcsin(b30°).二、填空题7在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且2ccos b2ab，若abc的面积

42、sc，则ab的最小值为_解析：将2ccos b2ab中的边化为角可得2sin ccos b2sin asin b2sin ccos b2sin bcos csin b则2sin bcos csin b0，因为sin b0，所以cos c，则c120°，所以sabsin 120°c，则cab.由余弦定理可得2a2b22abcos c3ab，则ab12，当且仅当ab2时取等号，所以ab的最小值为12.答案：128(2017·浙江高考)已知abc，abac4，bc2.点d为ab延长线上一点，bd2，连接cd，则bdc的面积是_，cosbdc_.解析：在abc中，abac

43、4，bc2，由余弦定理得cosabc，则sinabcsincbd，所以sbdcbd·bcsincbd×2×2×.因为bdbc2，所以cdbabc，则coscdb .答案：9已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，a2，且(2b)(sin asin b)(cb)sin c，则abc面积的最大值为_解析：因为a2，且(2b)(sin asin b)(cb)sin c，所以(ab)(sin asin b)(cb)sin c.由正弦定理得b2c2bc4，又因为b2c22bc，所以bc4，当且仅当bc2时取等号，此时三角形为等边三角形，所以sbcsin

44、 60°×4×，故abc的面积的最大值为.答案：三、解答题10(2017·天津高考)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知asin a4bsin b，ac(a2b2c2)(1)求cos a的值；(2)求sin(2ba)的值解：(1)由asin a4bsin b，及，得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，得cos a.(2)由(1)，可得sin a，代入asin a4bsin b，得sin b.由(1)知，a为钝角，所以cos b.于是sin 2b2sin bcos b，cos 2b12sin2b，故sin(2ba)sin 2bco

45、s acos 2bsin a××.11在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知asin bbcos a.(1)求角a的大小；(2)若a，b2，求abc的面积解：(1)因为asin bbcos a，由正弦定理得sin asin bsin bcos a.又sin b0，从而tan a.由于0<a<，所以a.(2)法一：由余弦定理a2b2c22bccos a，及a，b2，a，得74c22c，即c22c30.因为c>0，所以c3.故abc的面积sbcsin a.法二：由正弦定理，得，从而sin b，又由a>b，知a>b，所以cos b.故s

46、in csin(ab)sinsin bcos cos bsin .所以abc的面积sabsin c.12在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，sin b·(acos bbcos a)ccos b.(1)求b；(2)若b2，abc的面积为2，求abc的周长解：(1)由正弦定理得，sin b(sin acos bsin bcos a)sin ccos b，sin bsin(ab)sin ccos b，sin bsin csin ccos b.sin c0，sin bcos b，即tan b.b(0，)，b.(2)sabcacsin bac2，ac8.根据余弦定理得，b2a2

47、c22accos b，12a2c28，即a2c220，ac6，abc的周长为62.1在平面五边形abcde中，已知a120°，b90°，c120°，e90°，ab3，ae3，当五边形abcde的面积s时，则bc的取值范围为_解析：因为ab3，ae3，且a120°，由余弦定理可得be3，且abeaeb30°.又b90°，e90°，所以debebc60°.又c120°，所以四边形bcde是等腰梯形易得三角形abe的面积为，所以四边形bcde的面积的取值范围是.在等腰梯形bcde中，令bcx，则cd3

48、x，且梯形的高为，故梯形bcde的面积为·(33x)·，即15(6x)x<24，解得x<2或4<x5.答案：，2)(4，52.如图，有一直径为8 m的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照半圆周上的c处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是ecf，点e，f在直径ab上，且abc.(1)若ce，求ae的长；(2)设ace，求该空地种植果树的最大面积解：(1)由已知得abc为直角三角形，因为ab8，abc，所以bac，ac4.在ace中，由余弦定理得，ce2ac2ae22ac·aecos a，且ce，所以1316ae24ae，解得

49、ae1或ae3.(2)因为acb，ecf，所以ace，所以afcbacacf，在acf中，由正弦定理得，所以cf，在ace中，由正弦定理得，所以ce，所以secfce·cfsinecf.因为，所以2，所以0sin1，所以当sin0，即时，secf取得最大值为4.即该空地种植果树的最大面积为4 m2.高考研究课(二)正、余弦定理的3个应用点高度、距离和角度全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度高度问题5年1考测量山高问题距离问题未考查角度问题未考查测量高度问题典例如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到

50、达b处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度cd_m.解析由题意，在abc中，bac30°，abc180°75°105°，故acb45°.又ab600 m，故由正弦定理得，解得bc300 m.在rtbcd中，cdbc·tan 30°300×100 (m)答案100方法技巧利用正、余弦定理求解高度问题应注意的3个方面(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地

51、面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题即时演练1.要测量底部不能到达的电视塔ab的高度，在c点测得塔顶a的仰角是45°，在d点测得塔顶a的仰角是30°，并测得水平面上的bcd120°，cd40 m，则电视塔的高度为()a10 mb20 mc20 m d40 m解析：选d设电视塔的高度为x m，则bcx，bdx.在bcd中，根据余弦定理得3x2x24022×40x×cos 120°，即x220x8000，解得x40或x

52、20(舍去)故电视塔的高度为40 m.2.如图，为测得河岸塔ab的高，先在河岸上选一点c，使c在塔底b的正东方向上，测得点a的仰角为60°，再由点c沿北偏东15°方向走10 m到位置d，测得bdc45°，则塔ab的高是_m.解析：在bcd中，cd10，bdc45°，bcd15°90°105°，dbc30°，由正弦定理得，所以bc10.在rtabc中，tan 60°，abbctan 60°10(m)答案：10测量距离问题典例如图所示，a，b两点在一条河的两岸，测量者在a的同侧，且b点不可到达，要测

53、出a，b的距离，其方法在a所在的岸边选定一点c，可以测出a，c的距离m，再借助仪器，测出acb，cab，在abc中，运用正弦定理就可以求出ab.若测出ac60 m，bac75°，bca45°，则a，b两点间的距离为_m.解析abc180°75°45°60°，由正弦定理得，ab20(m)即a，b两点间的距离为20 m.答案20方法技巧求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理即时演练1.如图所示，要测量一水塘两侧a，b两点间的距离，其方法先选定适当的位置c，用经纬仪测出角，再分别测出ac，bc的长b，a，则可求出a，b两点间的距离即ab.若测得ca400 m，cb600 m，acb60°