昆明理工大学—数值分析各年考试题与答案

1、.昆明理工大学数值分析考试题（ 07 ）一填空 （每空 3 分，共 30 分）xA 0.231是真值xT 0.229的近似值 ，则xA有位有效数字 。1 设2 若 f (x)6 x7x43x1，则 f 2 0 ,2 1,.2 7 ， f 2 0,2 1 ,.28 。10A 1 =； A =； A 23 A=3, 则=1cond2 ( A) =。4 求方程 xf ( x) 根的牛顿迭代格式是。5 设 x105% ，则求函数 f ( x)n x 的相对误差限为。2106A= 12a ,为使其可分解为L LT （ L 为下三角阵 ，主对角线元素 >0 ）， a 的取值0a2范围应为。7 用最小

2、二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2) 的直线是。（注意 ：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。）二推导与计算（一）对下表构造f(x)的不超过3 次的插值多项式，并建立插值误差公式。（12 分）x012f ( x )123f ' ( x )3.专业 .专注.（二）已知 x( x) 和(x)满足(x) -3 1。 请利用( x) 构造一个收敛的简单迭代函数(x) ，使 xk 1( xk ), k0,1,. 收敛 。（ 8 分）12（三）利用复化梯形公式计算Ie x dx ，使其误差限为 0.5 10 6 ，应将区间 0 ， 10等份 。（8 分）1

3、0a0（四）设 A=b10b0a5， detA 0 ，推导用 a， b 表示解方程组AX=f的 Seidel(G-S)迭代法收敛的充分必要条件。（10 分）（五）确定节点及系数，建立如下GAUSS 型求积公式1 f (x)dx A f (x ) A f (x ) 。 （10分）0x1122（六）对微分方程初值问题y'f ( x, y)y( x0 ) y0（）用数值积分法推导如下数值算法： yn 1yn 1h ( f n 1 4 fnf n 1) ，其中3fi f ( xi, yi ) ， (in1,n, n1)。（8 分）（）试构造形如yn 1a0 yna1 yn 1h(b0 f nb

4、1fn 1 ), 的线形二步显格式差分格式 ，其中 fnf ( xn, yn ), fn 1f ( x1, yn 1) 。 试确定系数 a, a ,b ,b ，n010 1使差分格式的阶尽可能高，写出其局部截断误差主项，并指明方法是多少阶。 （14分）.专业 .专注.（考试时间 2 小时 30 分钟）（08 ）一、填空（每空 3 分，共 30 分）1若开平方查 6 位函数表 ，则当 x=30 时，x21 的误差限为。2若 f (x)an xn1,( an1),则 fx 0 ,x 1 ,.xn =。3若x3,0x1S( x)1 ( x 1)3a(x 1)2b( x是 3 次样条函数 ，则1) c

5、,1 x 32.专业 .专注.a=， b=，c=。4 A=12,则 A 1=；A 2 =； Cond 2 (A)=。225 考虑用复化梯形公式计算1x2dx，要使误差小于 0.5 106 ，那么e00， 1应分为个子区间 。6( x)x a( x2要使迭代法x( x)局部收敛到x5，即在5) ,邻域 | x5 |1时，则 a 的取值范围是。二、计算与推导1、 用追赶法解三对角方程组Axb ，其中21001A1 210， b0。 （12 分）01210001202、已知一组试验数据t12345y4.006.408.008.809.22请确定其形如 yt的拟合函数 。（ 13 分）atb3、确定系

6、数 ，建立如下 GAUSS 型求积公式1f ( x)f ( x 1) A 2f ( x )2 。（13 分）0dx A1x.专业 .专注.4、证明用 Gauss-seidel 迭代法求解下列方程组302x11021x24时，对任意的初始向量都收敛 ；若要求212x31x *x (k )104，需要迭代几次 （推导时请统一取初始迭代向量x(0)(0 0 0)T）？（ 13 分）5、试用数值积分法或Taylor 展开法推导求解初值微分问题y 'f (x,y) , y ( 0 x )的a如下中点公式 ：y n 2y n2 h f( xn 1 ,yn 1 )及其局部截断误差 。（ 14 分）6

7、、 试推导bdaf ( x, y)dydx 的复化 Simpson 数值求积公式 。（ 5 分）c（考试时间 2 个半小时）.专业 .专注.（09 ）一、（填空 (每空 3 分,共 36 分)1 S( x)x3x2 ,0x13 bx2cx1,1x 22x是以 0， 1 ， 2 为节点的三次样条函数，则 b=， c=。2 设 f ( x)4x32x 1，则差商 f 0,1,2,3， f 0,1,2,3,4。3 函数 f ( x)3x32x24x 5 在 -1 ， 1上的最佳2 次逼近多项式是，.专业 .专注.最佳 2 次平方逼近多项式是。a124 A21，当 a 满足条件时， A 可作LU 分解

8、 ；当 a 满足条件时，A 可作 AL LT分解；1111222211115A2222，则 A， cond ( A)2。1100220011226 求方程 xcos x 根的 newton迭代格式是。7 用显式 Euler 法求解 y'80 y, y(0) 1，要使数值计算是稳定的，应使步长 0<h<。二、计算与推导一、计算函数 f ( x)sin(n3x) 在 x*0.0001 附近的函数值。 当 n=100 时，试计算在相对误差意义下 f (x* ) 的条件数 ，并估计满足 r ( f ( x* )0.1% 时自变量的相对误差限和绝对误差限 。（12 分）二、有复化梯形

9、 ，复化 simpson1ex dx 的近似值时 ，需要有多少个节点 ，才能公式求积分0保证近似值具有6 位有效数字 。（ 12 分）四、确定求解一阶常微分初值问题的如下多步法yn 1( ynyn 1)yn 21 (3)h( f nfn 1) 中的值，使方法是四阶的。（ 12 分）2.专业 .专注.五、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据（小数点后保留 5位）xi1.02.03.04.0yi0.81.51.82.0并计算其最小二乘误差。（ 14 分）2x22x31六、对下列线性方程组2x110 x2x30.5 ，（ 1 ）构造一定常迭代数值求解公式，并x12x23x31证

10、明你构造的迭代格式是收敛的；(2)记精确解向量为 X* ，若取初始迭代向量X (0)(000) T ,要使X *X (K )10 3 ，请估计需要多少次迭代计算。（ 14 分）（考试时间 2 个半小时）.专业 .专注.（ 10 ）一、填空（每空 2 分，共 24 分）1 近似数 490.00 的有效数字有位，其相对误差限为。2设f ( x)4x7x43x1，则f 2 0 ,21,.2 7 ，f 2 0, 21 ,.28 。3 设 f ( x)2x4 , x1,1， f (x) 的三次最佳一致逼近多项式为。.专业 .专注.4 A12， A 1， A， A 2。342105 A121 ，其条件数

11、Cond ( A)2。0122106 A12a ，为使分解 AL LT 成立 （ L 是对角线元素为正的下三角阵）， a 的0a2取值范围应是。7 给定方程组x1ax2b1 , a 为实数 。当 a 满足且 02 时， SOR 迭代法收ax1x2b2敛。8 对于初值问题y/100( yx2 )2x, y(0)1 ，要使用欧拉法求解的数值计算稳定，应限定步长h 的范围是。二、推导计算1 应用下列数据表建立不超过3 次的插值多项式并给出误差估计式x012f ( x)129f / (x)3（ 15 分）2 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合于下列数据x1 02 03 04 0y0 81

12、 51 82 0（小数点后至少保留5 位）。（ 15 分）.专业 .专注.3 确定高斯型求积公式10A f( 0x)1A (f 1 x), 0 x1 x ( 0, 1)x f ( x) d x0的节点 x0 , x1 及积分系数 A0, A1 。（ 15分）书内三、证明1aa11.在线性方程组AXb 中， A a1a。证明当a 1 时高斯 - 塞德尔法收敛 ，aa12而雅可比法只在1a1分）2时才收敛 。（ 1022.给定初值 x00, 2以及迭代公式axk 1xk( 2axk ), (k0, 1, 2.a ,0 )证明该迭代公式是二阶收敛的。（7分）3.试证明线性二步法yn 2(b1) yn

13、 1bynh (b 3) fn 2 (3b 1) fn 4当 b1时，方法是二阶 ，当 b1时，方法是三阶的 。（ 14 分）.专业 .专注.（12）一、填空题（每空 2 分，共 40分）1 设 x*0.231 是真值 x0.228的近似值 ，则 x* 有位有效数字 ， x* 的相对误差限为。.专业 .专注.3.过点 (1,0), (2,0) 和 (1,3)的二次拉格朗日插值函数为L2 ( x) =，并计算 L2 (0)。4 设f (x) 3x32 x24 x5 在1,1上的最佳二次逼近多项式为，最佳二次平方逼近多项式为。15高斯求积公式x f (x)dx A0 f ( x0 ) A1 f (

14、 x1 ) 的 系 数 A0，0A1，节点 x0， x1。6 方程组 Axb ， ADLU , 建立迭代公式 x(k 1)Bx (k )f ，写出雅可比迭代法和高斯-赛 德 尔 迭 代 法 的 迭 代 矩 阵 ， BJacobi，BGaussSeidel。101227 A010，其条件数 Cond ( A)2。101228设 A31，计算矩阵 A 的范数，|A|1=，12| A |2=。9 求方程 xf (x) 根的牛顿迭代格式是。12310对矩阵 A252作 LU分解，其 L=， U= _315二、计算题（每题 10 分，共 50 分）1.求一个次数不高于 4 次的多项式(), 使它满足 :

15、p(0)0,p'(0)0,p(1) 1'(1) 1,P x, pp( 2) 1,并写出其余项表达式（要求有推导过程 ）。2.若用复合梯形公式计算积分1exdx ，问区间 0,1 应分成多少等分才能使截断误差不超0.专业 .专注.过 110 5 ?若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间0, 1 应该分成多少等份? 由2下表数据 ，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。x00.250.50.751ex11.281.642.112.7110.40.43. 线性方程组Axb，其中 A0.410.8 ， b1,2,3 T ，（ 1）建立雅可比迭代0.40.81法和高斯 -赛德尔迭代法的

16、分量形式。（ 2 ）问雅可比迭代法和高斯- 赛德尔迭代法都收敛吗 ?4. 已知如下实验数据(xi , yi ), i0,1,4 , 用最小二乘法求形如ya0a1 x 的经验公式，并计算最小二乘法的误差。xi123yi44.565. 用改进的欧拉公式( 预估 - 校正方法 )，解初值问题4588.5dyx 2100 y2 , y( 0) 0 ，取步长dxh 0.1, 计算到 x 0.2 （保留到小数点后四位 ）。三、证明题（共 10 分）1 如果 A 是对称正定矩阵，则 A 可唯一地写成ALLT ，其中 L 是具有正对角元的下三角阵 。（考试时间 2 个半小时）.专业 .专注.07 答案填空1

17、226；03 4；4；xnf ( xn )4 xn 1xn1f (xn )5 0.005 n63a37 y1 x 322一、 推导与计算.专业 .专注.（一） 方法 1 先确定 2 次插值 N ( x) f (0)f 0,1( x0) f 0,1,2( x 0)( x 1)再设该 Hermit 插值为 H 3 (x)N (x) k( x0)( x 1)(x 3)将导数要求代入即可确定k 值（略）得： H 3 ( x)2 x36x23x1方法 2 直接设 H 3 (x)ax3bx2cxd将插值要求代入得方程组（略）解得各待定系数得 H 3 ( x)2x36x23x1 推导余项 ： 根据条件要求设

18、 余 项 R( x)f ( x)3H ( x)2的辅助函数K ( x) x( x 1 ) (x构 造2 )关 于 t(t) f (t ) H 3 (t )K ( x)t(t1)2 (t2)其是充分光滑的 ，且满足(0)(1)(2)( x) 0, (1) 0故 有 4个 零 点反 复 运 用 Roll定理，有(4) ( )f (4) ()K ( x)4！（0，2）K (x)f(4)( )！4故 R( x)f (4) ( ) x(x 1)2 ( x2),(0, 2)且依赖于 x和节点 0,1,24！由 x( x)可得 x3x( x)3x（二）1 ( ( x)3x)-即 x2故设(x)1 ( (x)

19、3x)2.专业 .专注.因(x)1(x)3121-2故迭代格式 xn 1( xn )是收敛的（三）令 Rn f 1 0 h2 f ( )110 6, 其中 h1 0122n解得h 1 . 733-（1略）-60.将 h1 代入取整即得 n 578n故需将区间578 等分 。a0010（四）G-SBGabb迭 代 阵b令10010a2bab050500det( I BG )2 (3ab)0100迭代收敛的充要条件是需(BG )3ab100解出既ab1003（五）方法 1 设( x)( xx0 )( x11( x) dx 00x则有1x( x) dx00 xx0 x11 ( x0x1 )整理得31

20、 xx1 ( xx )301501x1 )为0,1上带权1 的正交多项式x1517.专业 .专注.解出 x01(3 2 6 5), x117(3 2 65)7又该公式应对f (x)1, x 准确成立 ，代入有2 A0A1A01 15 62解之得3A 0 x013A1 x1A15 613-故可构造出Gauss 积分公式为 。方法 2 直接用代数精度验证法列方程组求解方程组每个待定系数积分公式（六）（ 1）将 y'f ( x, y) 两边同时在区间 xn 1 , xn 1 上积分得y( xn 1) y(xn 1 )xn 1f (x, y)dxxn 1得右边用积分的Simpson公式展开xn

21、 1将 y( xi ) 用相应数值值yi 代替f ( x, y)dx （略）xn 1既推出公式 yn 1yn 1h ( f n 1 4 fn fn 1 )3（ 2 ）方法 1 因前提是 yny( xn ), yn 1 y( xn 1 )故利用 Tarlor 公式.专业 .专注.y( xn 1 )y( xn ) y (xn )h y (xn ) h2y ( x n ) hy (4) ( ) h4234(xnxn 1 )yn 1a 0y(xn ) a 1y( xn)1 h(b 0f (xn , y(xn ).( a0a1) y(xn ) ( a 1b 0b )1hy ( xn ) ( a12a1

22、h4y( )b1h4y( )4！3！b f1 ( xn , 1y(xn )1b )1h2 y ( xn ) ( a 13b ) 1h3y ( xn )3！考察局部截断误差Rn 1y( xn 1 )yn 1 ，使Rn 1h4y(4) ( )a1h4y ( )b1h4y ( ) O( h4 ) 可得！443a0a11a1b0b11a112b12a13b1 1a04,a15,b04,b1。故所给格式为2解之得4yn5yn 1h(4 fn 2 fn 1)yn 1其局部截断误差的主项为h4y(4) ( )5h4y ( )2h4y ( )，其是 3阶方法。4！4！3！方法 2 直接套课本中公式，但此时0a

23、1 ,1a0 ,0b1 ,1b0,20而 k2令 C0C1C2C30 列方程组可解出各系数。.专业 .专注.其局部截断误差的主项为 C 4(4)(xn )84y(4)，其是 3阶方法。4 h yh( xn )！3（ 09 ）一、填空 (每空 3 分,共 36 分)1. b=-2， c=3。2.f 0,1,2,34， f 0,1,2,3,40 .3.P ( x )x 27x 5,P ( x)2 x211x24254.a15.A2， cond ( A) 216.x k 1x kxkcosx k1sinxk9517. 0<h<。40二、 解 Cond r ( f ( x* )r ( f

24、( x * )xf / ( x)n3 x取 n=100, 则r ( x* )f ( x)tan(n3 x).专业 .专注. . .Cond r ( f ( x*)10 6x*170.3*0.1由要求知要求r ( f ( x )时tan(100)100则自变量的相对误差限r ( x * )r ( f ( x *) / Cond r ( f ( x *)绝对误差限0.578105( x * )r ( x * ) x *0.578109三解 f ( x )e x , a0, b1用复化梯形时 ，即要求 R n ( f )h 2f/ /( )1104由此解得应122取214个节点用复化Simpson时

25、, 即 要求ba4h (1R n (f)4)(1401802f)2由此解得应取9个节点。四（ 该题是课本 - 清华第4版372页的例题 ）正确展开 T n1 正确合并同阶项为3 项。求出9, T n 1O ( h 5 )五 解 按题意 ，所求拟合函数应形如p ( x )axbx2其最小二乘拟合误232yi ) 2差平方和为( ax ibx i为使其达到最小 ，应令i0(2 )030a 100b17.2a。代入数据后得出。 解出 a,b ，即得所(2 )100a354b550b求拟合函数为p(x)0.94968 x 0.112903 x2。最小二乘拟合误差20.00523或20.0046。六.专

26、业 .专注.（ 10 ）一、填空 (每空 2 分)(1)50.0050.0000102;(2)40;(3) 2x214(4)671 55 ; 5(5) 322 ;(6) a ( 3, 3) ; (7) a 1 ;(8) 0 h 0.02二、推导计算1.解： (待定参数法 ):根据节点条件及多项式性质,设所求函数为H ( x)f ( 0)f 0, 1(x0) f 0, 1,x2(x 0)(A1)x( x 0)( x1)代入导数条件,求出 A=1H ( x)31 设余项为R( x) f ( x)H (x) K (x) x( x1)2(x 2)当 x 1,2x且不同于 0,1,2时 ,构造关于变量t

27、 的函数g( t )f ( t)H ( t) K ( x) t ( t2 1) (t - 2 )此函数是充分光滑的,且有零点 :0,1,2,x(1 是 2重零点 )-在 4个零点的 3 个区间上反复运用Rolle 定理，可知至少有一倚赖于0， 1， 2 ，x的点，使g ( 4 )( )f ( 4() ) 4! K (x) 0K ( x)f ( 4 )( )于是4!R( x)f ( x)f ( ()2 42),)H ( x)x(x1) ( x(0, 2)4! 本题 H(x) 的推出 也可以用 1重节点的差商表方法； 2 直接设为3 次多项式一般式 ，代入条件建立方程组求出。2 解：由过原点条件,可知拟合函数形如:y( x)axbx2.专业 .专注.故需按最小二乘法定义来推导。232设最小二乘拟合误差为 y(xi ) yi 要使其为极小 ，必需符合i023bxi2a2(axiyi )xi0i 023bxi22b2(axiyi )xi0i 0可得法方程30100a17.2100354b- 解之得 a=