优秀毕业论文毕业设计与矩阵有关的毕业论文

1、随着现代科学技术的迅速发展，矩阵求逆在工程科学领域的应用越来越广泛，但 其运算繁琐，在一定程度上给其应用和推广带來许多不便而计算机的推广促进了数学 的发展，也给矩阵逆的求法带來了机遇与挑战.本文首先介绍了逆炬阵的定义与矩阵存在逆的条件，随后讨论了炬阵求逆的常见 算法（如定义法、伴随炬阵法、初等变换法、分块矩阵法和列主元一高斯一约当消去 法等）以及一些特殊矩阵的逆矩阵的求法，给出了具体的矩阵求逆的步骤.其次从计算 复朵度的角度，以定理的形式给出了各种算法的复朵度，并根据算法复杂度的形式， 对各种算法进行了评价最后对一些算法进行了编程，通过实例运算结果，验证了评价 结果的正确性，有一定的现实与理论

2、意义.关键词：矩阵；逆矩阵；算法；实用程序abstractwith the rapid development of modern science and technology, matrix inversion is used more and more widely in the engineering science, but its operations complicated, to some extent, this brings a lot of inconvenience to its application and promotion. the promotion of th

3、e computer promotes the development of mathematics, which also bring opportunities and challenges to the matrix inversion.first, this paper introduces the definition of inverse matrix and the existence of matrix inversion, and discusses the common algorithm of matrix inversion (such as the definitio

4、n of matrix inversion, the method of adjoin matrix, elementary transformation, partitioned matrix and the-column primary-gauss-jordan elimination method etc.) as well as the matrix inversion method of some special matrix, and the steps of matrix inversion are given. second, from the angle of computa

5、tional complexity, each algorithm complexity is given by theorem, and all sorts of algorithms are evaluated according to the form of computational complexity. finally, for some methods, the procedures are achieved and proved the correctness of program by example, it is has certain practical and theo

6、retical significance.key words : matrix； matrix inversion； algorithm； utility program摘要(i)abstract (ii )引言(1)1矩阵的逆(2)11矩阵逆的定义及运算性质 (2)12矩阵可逆的条件 (4)2 一般矩阵求逆的算法(6)2. 1定义法 (6)2.2伴随矩阵法 (6)2.3初等变换法 (7)2.4分块矩阵法 (8)2.5列主元一高斯一约当消去法 (11)3特殊矩阵的求逆算法分析 (13)3. 1对称正定矩阵求逆 (13)3.2有理矩阵求逆 (14)3.3托伯利兹矩阵求逆的特兰持方法 (15)3.

7、4 r-循环矩阵求逆 (17)4 一般矩阵求逆算法复杂度的分析及比较 (20)5数值算例(22)结束语(24)参考文献(25)致谢(26)附录(27)引言矩阵是数学屮一个重要的基木概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数 学研究和应用屮的一个强有力的工具.而逆矩阵乂是矩阵理论屮一个菲常重要的 部分，逆矩阵的求解问题自然也就成为我们要研究的主耍内容z-求矩阵的逆矩阵是数学家很早就开始研究的问题，它发源于行列式，拥有深 刻的数学基础随着近二十年计算机行业的不断发展，其已与计算机、机械工程 等学科越来越多的交织在i起，对许多复朵问题的求解做出了很大的贡献，因此 引起了越來越多的学者和决策者们的关注与

8、重视矩阵求逆是对方案选择和判断 的-种简洁而有力的工具，随着其应用领域的口益增多，人们自然要了解和掌握 求逆矩阵的应用技巧.但是可逆矩阵的逆的求法却是相当复杂的，也需要灵活的区别对待在现行 教材中主要介绍了两种求逆的方法：其一，通过伴随矩阵求可逆矩阵的逆，这种 方法运算量人，一般只适用于求三阶或三阶以内的可逆矩阵的逆或某些特殊的高 阶可逆矩阵的逆；其二，用初等变换法求可逆炬阵的逆，该方法简便易行，应用 广泛.在实际应用中，逆矩阵的求解方法除了上述两种外，还有很多.龚莹在矩 阵求逆算法及其在tms320vc33上的实现一文中详细介绍了 gauss-jordan全选 主元算法，并将此法在tms32

9、0vc33上实现，给出了简要的汇编程序.陈逢明在逆 矩阵的求法及其在证券投资组合中的应用一文中就不同类型矩阵的逆矩阵，给 出了儿种常见解法，并通过求协方差矩阵的逆矩阵，说明了逆矩阵在证券投资组 合中的应用蒋银山在求矩阵的逆矩阵的方法一文屮综述了求解逆矩阵的儿 种方法，并详细讲述了求解的过程.本文分析整理了逆矩阵求法的几种常用方法，如定义法、伴随矩阵法、初等 变换法、分块矩阵法和列主元一高斯一约当消去法等，并简要阐述了几类特殊矩 阵的求逆算法，月.对这些算法进行计算复杂度的分析比较，以促进矩阵求逆计算 方法的优化，从而推动逆矩阵在各个学科领域的应用.1矩阵的逆1.1矩阵逆的定义及运算性质(1)

10、矩阵逆的定义定义1 对于斤阶矩阵a ,如杲有一个阶矩阵使ab = ba = e ,则说矩阵4是可逆的，并把矩阵b称为4的逆矩阵，4的逆矩阵记作a".1 -1、'1/2 1/2、人=,b =<1 1丿,1/21/2 丿ab = ba = e ,b是a的一个逆矩阵.说明 若a是可逆矩阵，则a的逆矩阵是唯一的若设b和c是a的可逆矩 阵，则有ab = ba = e ， ac = ca = e ，可得b = eb = (ca)b = c(ab) = ce = c . 所以a的逆矩阵是唯一的，b = c = a-1.定义2设矩阵a是刃阶方阵a2。22ann)由其元素的代数余子式每组

11、成的矩阵人21a22 * *'ah 九2称为a的伴随矩阵.定理1矩阵a可逆的充要条件是|4卜()，月.a-1 其中才为矩阵a的伴随矩阵.证明若a可逆，即有犷使/1a-1 = e 故aa = e = ,所以国工0 当a工0时，a2人21a?4a* =a2a22如a 2短2a,2 a “2 ann /、九丿4* aa = aa = aea = a = e11 m按逆矩阵的定义得a_,当|a| = o时，a称为奇异矩阵；当同"时，人称为非奇异矩阵由此可得, a是可逆阵的充要条件是a为非奇异炬阵.推论若 ab = e (或 ba = e),则 b = a证明 |a|-|b| = |f

12、| = i,同工0因而a"存在，于是b = eb = (a-ia)b = a'ab)(2) 逆矩阵的运算性质 若a可逆,则屮亦可逆,月 若a可逆，数久工()，则/l4可逆，且(aa)-1 =丄4"a 若a, b为同阶方阵且均可逆，则ab亦可逆，且（ab）t=bw 证明.（佔）（矿才）=人（血才= aeal = aa = e '（aby1 =bal推广厲九尸皿二爲艸 若4可逆，则屮可逆，且（以尸=（犷厂证明 . ara'xy = （ala）t = e1 = e ,:.（m）=（/rv 另外，当|內工0时，定义屮=e,ak =一于'伙为正整数）.

13、当|a|0, x, 为整数时，有心"=右",（仆=4化 若4可逆，则有卜十=|4证明 j aa_i = e ,同卜计=1 ，因此 卜十=|41.2矩阵可逆的条件矩阵可逆的判定除了基本定理外，还有一些等价条件，它们同样是矩阵可逆的充要条件，现归纳如下：（1） |“0 ；（2）存在”阶矩阵使= e （或ba = e）；（3）4的个行向量线性无关；（4）a的斤个列向量线性无关；（5）/7元齐次线性方程组ax= 0只有零解；（6）a = e （4可只用初等行变换化为e,或a可只用初等列变换化为e）；（7）r（a） = n （或称 4 满 ）；(8) 4恒可表示为若干个初等矩阵之积;

14、(9) a的特征值不全为零；(10) a的极小多项式的常数项不为零.2 般矩阵求逆的算法矩阵是高等代数屮的一个主要内容，也是处理经济方面问题的重要工具，它 在很多领域都有广泛的应用对于不同类型矩阵的逆矩阵可用不同的方法来求， 这样可用达到简单、易求的冃的，本节将介绍儿种矩阵求逆的算法.2. 1定义法当矩阵的行列式|4| h 0时，矩阵的逆矩阵存在根据a-'a = e列方程组就可 求岀方阵的逆.223、例1求矩阵a的逆矩阵，其1-1 0/%x2兀13犷=x2l兀22兀23宀1x32x33>解因为|a|ho,所以存在.设由定义知aa = e9厂 223、兀】1x2兀13、“ 0 0、

15、所以1 -1 0“21兀22兀230 1 02 1,1兀31兀32兀33丿<0 0 b由矩阵乘法得"2 兀i +2 兀2 +3x3i2x|2 + 2 兀 22 + 3兀322 兀3 + 2兀23 + 3兀33<1 00、x x2兀12 x22兀 13 _兀23二0 10、兀+ 2x2j一兀2 + 2勺2 + x32x3 + 2兀23 + x33 )<0 01;/xn =jx|2 = -4x3 = _3由矩阵相等可解得x21 =1 ; <x22 = -5 ； v兀23 = - 3j31 =-1兀32 = 6、兀33= 4-4-3、故 al -1-5-364丿2.

16、 2伴随矩阵法4*根据定理i,用伴随矩阵法求逆矩阵的计算公式为亠阿4例2求0°)-25丿的逆矩阵.解由于|a|= o0-25= 60 + 8 = 68 ,所以4可逆.下面求ala.=(-d,+,-»3+,<1700-25020-417,=0,0-20,0、-812丿al2=(-1 严a22 =(-1)2+2a32=(-l)3+2-250,= 20,a3 =(-i)1+3a23 = (-l)2+30；=-4 ；12.八生020-4680、812丿£171172_17317>通过以上求解过程可以发现，用伴随短阵法求逆,当阶数较高时，计算量很大，所以该方法主

17、要用于理论推导.2. 3初等变换法定理2 若人为可逆方阵，则存在有限个初等炬阵p,p“，pi ,使 a = pp2- pi(证明略)如果人可逆，则4"也可逆，由定理2,存在初等矩阵p,p",r，使 4=人乙£疋,贝= £鬥£4于是得到一个求逆矩阵的方法：作一个nx2n的矩阵(a,e),然后对此矩阵施行初等变换，当子块a化为e,则同时子块e化为a" 即(aie) 初等行变换(e|a".o 1 f、同理可作初等列变换，将 化为 i ,£丿 *丿(a>初等列变换v< e )2.4分块矩阵法分块矩阵法可将阶数较

18、高的矩阵化为阶数较低的矩阵再求其逆，使计算简(1)利用分块矩阵的乘法，求可逆矩阵的逆阵.(4、例3设分块矩阵x=，其中a, c均可逆，求x".上0丿解令树，于是有“21 “22 丿p 4、'ab" ab22y、c 0,<s2ib22,5 cb-(e 0)=e.i。e丿可得42i=e，4322=0, cbu = 0,cb12 = e 所以场】=a",b22=0,bh=0,bi2=c_1,从而 x f 0 l)i" 0丿(2)利用分块矩阵的初等变换，降阶求逆.定理3 设a和b分别是可逆矩阵，c是rx厂矩阵，d是rxr矩阵,a r(a-cbld可

19、逆”或a b-dc可逆”，则矩阵可逆.3 b丿证明当"及。可逆时，bc e 0、boe,r, -cbr2 ,(a-cb-'d 0 e -cbd boer2-d(a-cb-d)r,(a-cbxd00eb -d(a-cbdy-cbe + d(a-cb-'d)cb£ 01° er-(a-cb'ld)cb- 、b'1 +bd(a-cb'ldycb'故p可逆，且kx-、一 bdx"-x-'cb-'、b+ bldx'cb-当a, b y = b-da-'c可逆时，同理可证p可逆，且 a-

20、a-'cy'1 _a-icy-i>-y'ldal厂 °p7当4, b, x =a-cbid) 丫 = b-04一上均可逆时，上述两式同时成立，此 时，p有较简明的形式从而有实用价值的求逆公式为"x-'_a“c厂、_b7dx_ ylp'厂2例4求户=1-12-123、0的逆矩阵.1丿(2-1)r a-1 ,_b'da0b，这里 a = (2),1<23), d=-1 0、.2 1丿.x =人一3力=(2)-(2-1 0、f 1 )<2 1丿3)x=(l)r-i0、¥1丿丄. y = b-da-'

21、;c(m(2 3)二-2?、252 >'-5 -3、,64,存吩- 20、b根据公式(2-1),得pcy1r 1-4-3、=1-5-3db丿/64丿上例说明定理3可以应用到任何阶(奇数阶或偶数阶)可逆矩阵的求逆问题 中.通常它使2阶可逆阵的求逆问题转化为一些阶可逆阵的求逆问题，而使 2m +1阶可逆阵的求逆问题转化为一些加阶和一些加+1阶可逆阵的求逆问题，从而使计算的难度降低，因而这种求逆矩阵的方法也称z为“降阶法” (r a 应当指出，当a, b可逆时，相平行地，对于形如！2=的矩阵(这里is °)a. b分别是k阶和1阶可逆矩阵，c是kxi矩阵，d是厂x£

22、矩阵)有着类似的 结论：当x=a-cbld可逆时，q可逆，且八.(-bxdxx bl0 = ；一x-1-xlcb"-y-'da'1a-1 + alcylda-' 当y = b-da-c可逆时，q可逆，且2_, 当x =a-cb-d与丫 = -da-c同时可逆时，q可逆，口qx =-acy下面是在a, b均为可逆阵的前提下,c、b丿或2 =fc(2-2)运用公式(2-1)或(2-2)的特殊情况.(a of'a'10、b当c = 0时,< 0丿u0>-10 )b丿< 0b-1/当c = 0且£> = 0时,% c、

23、,0 b丿d) 当c=0时，<a"10,r 0 沪 、冷d)(r a 当d = o时，剧0丿"0-1"0b、2 0丿才°丿当c = 0且d = 0时,2.5列主元一高斯一约当消去法设犷为矩阵a的逆矩阵，按定义有/1a-1 = e ,(2-3)其中a2ai2a22%、a2nan2按矩阵分块，可将式(2-3)£2/ 兀i/ 兀12<0>9a兀21=0,a兀22=1,a兀2“=0宀丿<0;"2丿f丿分解为:因此矩阵4"的各列矢量可通过求个线性方程的解，出于各方程组的系数 矩阵是同一个矩阵4,于是我们只要将矩

24、阵a增广成如下矩阵九：a2an100、儿=a2a2n01 0 00 10%2 ann00并用求解线性方程组的列主元一高斯一约当消去法求解，则当原矩阵a化为 单位阵e时，增广部分的矩阵就是所要求的矩阵a的逆矩阵a-1.3特殊矩阵的求逆算法分析3. 1对称正定矩阵求逆y = cx设c为n阶对称正定矩阵，厂兀为川维向量，其关系式为:(3-1)确定了疋上的一个映像，如能写出逆关系(3-2)x = by ，则为c的逆阵，即b = c '.现将式(3-1)写成闾=cllx1+cl2x2 + + chxn(3-3)儿二 c“內+c“2 尢2+ c,m“因c对称正定，必有c"ho,用ch除式

25、(3-3)的第一个方程的两端，解出x,把西和)的位置交换，并将西代入其他各式得% 产 s5+c曲+ + ©：)£儿=+ +(3-4)儿=邙5+4拓+©；)£事实上式(3-4)可以改写为y 2 = c；x + c朕 + + g1x + v(3-5)=cx2 + c；3)%3 t 卜 3nxn + clhx1 = c2x2 + c3x3 + + cnxn + vl如对式(3-5)屮的变量按如下规则重新编号西 x2 丄丄r xakan-1丄丄1£ y r_l£一2£一(3-6)儿儿一】儿儿儿-1 -儿-2儿经次变换后恢复原状，采用

26、变量循环重新编号法的计算公式如门 寸于 k =c = i/chr =-r ic ，i = 2,3,丿由于变量循环重新编号法求逆均在下三角阵（包括对角元素）进行，因而运 行速度快.根据如上计算公式，编写的求逆程序见附录源程序一（tnrnil. c和ssgj. c）.7 例5求下列4阶对称正定矩阵a的逆矩阵犷,并计算aa-1以检验结果的 止确性5765710876810957910求解本题逆矩阵的主函数程序见附录源程序二，结果表明编写的程序是有效 可行的.3. 2有理矩阵求逆定义3设知），其中列对任意的八/都是有理数，则称a为 有理矩阵.引理1 n阶有理炬阵a与斤阶有理矩阵b的乘积可在0（/?）时

27、间内完成. 下面讨论斤阶有理矩阵的求逆问题.设a e r2,tx2n, a为有理矩阵，川存在记ai a 2 、血|短2其中a , a 2,码 “2 w r，lxn 若av存在，令由分块矩阵的求逆公式有显然，c22,c2pc12,ch都是有理矩阵.令"2)表示n阶有理矩阵求逆的复杂度，应 用引理1,计算码歸绻的运算量不超过"1) + 20(刊，而炬阵加法 a22-a2iaal2仅需运算量0斤)，于是求c22的运算量为2t(n) + 2 o(/i2) 用同样 的方法讨论计算c2pci2,cn的运算量，可得关系式t(2m) = 2ts) + 8o(t?).令 n = 2k，贝ij

28、t(n) = t(2*)= 2-t(2a_,) + 8-o(22(,)=4 t(2k'2) + 8 0(2 22(3)+ 8- 0(2 心)=2人7(1) + 8 0(严 + 2 4心 + + 22 4 + 2kl) 显然门1) = 0,从而ak _°kr(2a) = 8- 0() = 0(举)=0(n2),4-2若n"，则有正整数r满足2'_, <n<2k ,于是只要将有理矩阵人扩充为2邛介有理矩阵：l其中一亿 0)a =2 _w ,i 04丿且而求 亍可在0(4*)时间内完成.由o(22a)<o(22-/i2) = (?(/i2),得定

29、理477阶有理矩阵的求逆可在0(卅)时间内完成.3.3托伯利兹矩阵求逆的特兰特方法设斤阶托伯利兹矩阵为sjj2严）=t24）也 jn-lfn-2'“-3 4)简称t型矩阵托伯利兹矩阵的特点是主对角线上的各元素彼此和等，平行于主对角线的各对角线上的元素也彼此和等.l9其逆矩阵的特兰特算法如门取初值 a（）= r0,cj（0） =r）/（），斤® = tjt（）,第一步：对于k从0到-3做以下运算：/伙）+1=c： + "iz* -耳+2）=0,1,比,代 7=11力+1八仏+1） _1（rr（k） r、s+2 - 一（5+2 一乙 5+2一月八akj=1厂伙） r+l

30、（2）严才+4（£畑厂仏2）,心0,1,北,畋冃1k+川+1） _丄“匸川）t rm 一 （4+2 一 乙耳'+2-/）'57=1k+2（3）%+i =心-£ -cfj=i最后算出2以及c广2）和严2）（心0丄,_2）这一步的计算工作量为曲）.第二步 计算逆矩阵b（“）中的各元素.c钱严-丄c厂2）沪0,1,/-2 ,叽2这一步的计算工作量也为0(刊因此，特兰特算法的总工作量为0(/),比通常的求逆算法(工作量为0(/) 低一阶.3. 4 l循环矩阵求逆定义4若a具有形状5)ran-ldd()a°ai4 二ran-2ao < 5ra2ra a

31、n-2an-l an-3an-2 an-45-3 cla丿则称为a为厂-循环矩阵，因为a决定于及参数厂，故可简记为 4acmo4，“t)wcmf，特别当厂=1时，就是通常的循环炬阵，当厂=1时, 就是通常的反循环炬阵.a如果写作a =(67. )(/,; = 0,1,«-!)，则aij =<勺t，/<,i > j j<0100 000010 00定义5d =0001 000000 01001 00丿= c,.(0,l,0,0)wcm其中乞为斤阶单位矩阵.i+1显然有 d 二 c(0,0,0, 1,0,0),丹二 e”,引理2 awc"；4 = c,.

32、(do，q,d”t)wcmr的充要条件为a = atdl ,具/=0?:-1屮d = q(0,1,0,() g cmr, /(x)=工兀则a = /(p)称为循环矩阵a的伴随多1=0项式.令g(x) = xn-r,则g(d) = o,即g。)是d的最小零化多项式.引理3设a = cr(do，di，,a”_)wcmr，若厂=0 ,则a的"个特征值均为兔)； 若厂工0,则a的斤个特征值为fso)，f )，/(%)，n其中w/(j = 0,1,一1)为方程x"=厂的个根.而/(兀)=工4忑»=0引理4若4是厂-循环矩阵，则人“也是厂-循环矩阵.定理 5 设 a = cr

33、(aq9a-9an_i) = f(d)ecmr(r0 ,)则 a 非奇异的充要条 件为(m),g(x) = l，其中 g(x) = xn-r.定理6设4 = c,),“,) = /(£>) w cm,(心0执非奇异，则存在唯一 的 r-循环矩阵 b = c(b°,b,bq = q(d) w cm,使得 ab = en ,其中 q(x)=工 g./=()证明 因为 r-循环矩阵 a = cr(a0,a19-9an_l) = f(d)ecmr(r0 非奇异, 所以由定理4得(/,g(q) = l ,从而存在多项式p(x) , d(x)使得 (x)/?(%) + f(x)q

34、x) = 1,令孑=g(x)u(x) + q(x)是 /(%)去除 qx)所得的商式, 而。(?(兀)<且讥兀)工0,所以g(兀)卩(兀)+ /(兀)比(兀)+ f(x)q(x) = 1,故 f(d)q(d) = en(3-7)?j-1令 b = q(d) = q'(d) = (%,»丘 cm这就是我们要求/=()的.若存在一个r-循环矩阵b,使得ab, = en,(3-8)1n出式(3-7). (3-8)得a(b 耳)=0,因而a非奇异，所以b、=b从上面的证明过程可以看出，已给出了求厂-循环矩阵a求逆的具体计算方 法，若同时注意到dn=ren,在具体求逆时，计算还可

35、以简化，即不需计算除法 qx) = g(x)«(x) + q(x),只要qx)的常数项与兀"项的系数厂倍相加，兀项的系数 与兀项的系数厂倍相加，,即得讥兀)的各项系数.现在的问题就是如何去求孑(兀)，这里用矩阵的初等变换，求知道数域p上 两个多项式的最大公因式具有以下基本性质：(/(x),g(x) = u(x),/(x)；(2) 若(/(x),ft(x) = 1,贝'j(/(x),g(x) = (/(xxg(x)/z(x)；(3) (f(兀),g(x) = (/(x) + 畑,gcx),kep根据多项式最大公因式性质，引入的二行矩阵屮可以进行下列三种行初等变 换：(

36、1) 交换二行矩阵两行的位置，得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大 公因式；(2) 当兔=0时,有(/，才)= 1,故(/(ax(x) = (/(x),g(x)(s ez+), 当 cho时，(/(x),g(y) = (q(x),g(x) = (/(x),q(x).因此,二行矩阵中的某一 行乘以c倍，得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式.(3) 二行矩阵与某一行的£倍(或疋倍)加到另一行得到的矩阵仍然对应 这两个多项式的最大公因式.这即意味着数域p上多项式的最大公因式(./v),g(x)可以利用二行矩阵进 行初等变换求得.设多项式矩阵鳥0 j经过初等行变换化为'd(x)

37、 u(x) v(x)< 0 s(x)心力则(/(x),g(x) = j(x)且满足 g(x)u(x)4- f(x)v(x) = d(x).利用定理7求厂-循环矩阵求逆的步骤为：(1) 由厂-循环矩阵得到伴随多项式/(%);(2) 由/*(兀)与 g(x) = xn -r ,求岀最大公因式(/(x),g(x) = (x)；(3) 判别人是否可逆，若(兀)不是非零常数，则a不可逆；若d(x)是非 零常数时，则a可逆；(4) 当d(x)是非零常数时,利用初等行变换(2)得d(x) = 1,此时咻) (3(v(x) < n )的系数就是r-循环矩阵的逆的第一行元素.4一般矩阵求逆算法复杂度

38、的分析及比较依据上文的叙述，我们来分析一般审阵求逆算法的计算复杂度.定义法求逆矩阵，实质上就是求解斤个线性方程组，我们按照线性方程组的 直接解法高斯消去法来考虑其计算复朵度对于每个方程组来说，高斯消去 法分为消元与回代两个过程，若取一次乘法和加法运算时间或一次除法运算时间 为一个单位时间，则消去过程的时间复杂度为£产，冋代过程的时间复杂度为 yi,所以其总的时间复杂度为 j/=!总.° 宀./i(n +1)(2/? +1) n(n + l) lr+lz=x+少，j=1/=1°仏n' +3n2 +2n3因此可得定理8定义法求逆矩阵的计算复杂度为0(/)伴随矩

39、阵法求逆矩阵就是根据公式a"=亠來求解的，计算矩阵a的行列式需要进行乘法运算的次数为(n-l)xn!，计算4的伴随矩阵需要进行乘法运算的 次数为(/7-2)x(n-l)!x2,因此利用伴随矩阵法求逆矩阵的总的计算复杂度为/(n) = (n -l)x n! + (/2 - 2) x (n -1) !x n2.因此可彳导定理9伴随矩阵法求逆矩阵的计算复杂度为0(+2).初等变换法求逆炬阵分为行初等变换和列初等变换，这里以行初等变换为 例，应用行初等变换法求逆矩阵时，将子块a化为三角矩阵块需要的运算次数为 2班兀-1) + (2-1)一2)+ 1x(m + 2),再将三角矩阵块化为对角矩阵

40、块需要的 运算次数为2m 1 + 2(22)+ + (1)5 + 1),最后将对角矩阵块化为单位阵的 运算次数为加彳，因此可得定理10 一般n阶矩阵运用初等变换法求逆矩阵的计算复杂度为0(/)分块矩阵法求逆矩阵实质上就是广义初等变换法的应用，也可以理解为矩阵 乘法与初等变换法的综合运用，根据矩阵乘法的基本理论可得定理11分块矩阵法求逆矩阵的计算复杂度为o(n3).根据列主元一高斯一约当消去法的过程，在程序屮将其屮列循环的终值由n + 1改成n + n即可.因此可得定理12列主元一高斯一约当消去法求逆矩阵的复杂度为o(n3).通过对上述一般矩阵求逆的算法复杂度的分析，我们发现不同算法的计算复 杂

41、度可能是不同的，即使相同对丁不同类型矩阵的逆矩阵的计算复杂性也是不同 的，进而影响了矩阵求逆的计算效率.定义法求逆矩阵对任何可逆矩阵都适用，当阶数比较大时，计算量比较大， 但我们可以借助成熟的线性方程组的解法利用计算机进行运算，同时定义求逆法 除了求解具体的数字矩阵外，对于非具体数字的一些矩阵求逆也是十分方便的.伴随矩阵法求逆矩阵虽然对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只 用于较低阶矩阵的求逆，比如二阶、三阶矩阵的逆，尤其对二阶，此方法更方便.初等变换法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当 阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显.分块矩阵法虽然可以通过降低矩阵的阶数来

42、求逆，使矩阵求逆变得简捷，但 它的使用是有条件的，并不是对任何形式的矩阵都适用.列主元一高斯一约当消去法求逆占用存储空间小，尽管这种算法有排序操 作，但总的来说，运算量还是较小的，因而运算速度高其最大优点是计算结果 精度高.5数值算例木节将通过例题的数值解法验证编写程序的止确性.例6求矩阵的逆:2 10,1-10所以1/3-2/32/3一1/3 丿fl 1-11 0 0、q 1-110 0、2 1 00 1 0t0 -1 2-2101 -1 0x0 0 1丿/<0 -2 1-10 1 丿01-110、<10001/31/3、0-12-210t01001/3-2/3<00-33

43、-21丿01-12/3-1/3701/31/3、矩阵求逆是矩阵运算中经常遇到的一种运算，人工进行矩阵求逆运算通常是 使用初等变换法通过以上求解过程，我们会发现对于阶数比较大的矩阵来说， 求逆的工作量是相当大，靠人工进行已经不能满足需要.为了提高矩阵求逆的运 算速度和准确度，我们可以使用计算机来求逆矩阵.在matlabri11环境下，建立m 文件（见附录源程序三：invbycol.m）运用matlab软件求解例6的测试过程为：>>a二1 1 -1； 2 1 0； 1 -1 0；>>format rat；>>invbycol(a)运行结果为:b =00-1mat

44、lab精确解:inv =01/31/32/31/31/3-2/3-1/31/301/3-2/3-12/3-1/3ans =01/31/301/3-2/3-12/3-1/3应用列主元一高斯一约当消去法求可逆矩阵的逆矩阵，在进行消元之前先选 主元，目的是为了防止因矩阵为病态矩阵时产生的错误.利用matlab软件编写的 通用函数见附录源程序四(in version.m).为了验证所编程序的正确性及稳定性，下面应用上述编好的程序inversion.m 对下面的炬阵进行求逆.0.00123、例 7-13.712 4.623 .i -21.072 4.643,在mat lab命令窗口输入如下命令，即得运行

45、结果.inva=inversion(a)1.3315-0.67190.1574、inva= -0.30000.5043-0.2536,0.5289-0.33400.2536,再利用matlab内部求逆两数inv.m运行结果进行比较.inva=inv(a)厂 1.3315-0.67190.1574、inva= -0.30000.5043-0.2536,0.5289-0.3340-0.2536丿从上述运行结果可以看出其运行结果完全一样，由此证明所编程序完全正 确.结束语矩阵理论不但是经典数学的基础，同时又是很有实用价值的数学理论.计算 机的广泛应用为矩阵理论的应用开辟了广阔的应用前景.逆矩阵的概念

46、在矩阵理 论中占有重要位置，随着科技的发展，逆矩阵的应用范围也越來越广，可见对逆 矩阵的研究具有深远的意义.木文在逆矩阵的性质以及矩阵可逆的等价条件的基础上介绍了定义法、伴随 矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、列主元一高斯一约当消去法等求逆矩阵的常 用方法，但出于矩阵的类型繁多，对于不同类型的矩阵可以用不同的方法來求， 这样可以达到简单、易求的目的.文中只是给出了逆矩阵求法的部分方法，另外列主元一高斯消去法程序有些 地方有待于进一步改进，如对逆矩阵的压缩存储等，在这里只是为了方便说明算 法的过程.参考文献1 北京大学数学系高等代数（第三版）m.北京：高等教育出版社，2003. 177-187.2

47、 宋扬.关于矩阵求逆的探索j.理科爱好者，2009, 1（3）:109-110.3 蒋银山.求矩阵的逆矩阵的方法j.数学教学与研究，2010,28:72-73.4 庄战友.关于矩阵求逆的几种方法j.数学教学与研究，2009,26:97-9&5 丁丽娟.数值计算方法m.北京：北京理工大学出版社，1997.13-15.6 许松钧.大型对称止定矩阵求逆算法的选择j.昆工科技，1991, 1:1-5.7 徐士良.c常用算法程序集（第二版）m,北京:清华大学出版社,1996.34-42.8 徐寅峰.有理矩阵求逆与正定性判别的快速算法j.数学的实践与认识，1990, 4:29-31.9 徐仲,张凯

48、院，陆全.toeplitz矩阵类的快速算法m西安:西北工业大学出版社1993. 42-48.10 蒋加清.l循环矩阵求逆的一种新算法j江西教育学院报（综合）,2010,31（3）:1-3.11 郑阿奇,曹弋,赵ph. matlab实用教程m北京:电子工业出版社,2005. 81-88.附录源程序一：% trmul.cvoid trmul(a,b,m,n,k,c)int m,n,k;double a,b,c; int i,j,l,u;for (i=0; i<=m-l; i+)for (j=0; j<=k-l ； j+) u=i*k+j; cu=0.0;for (1=0; l<=n-l; 1+) cu=cu+ai *n+l *bl *k+j;return;% ssgj. c#include "stdlib.h"#include &quo