2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3讲　高效演练分层突破 (8)

1、基础题组练1下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()ay1xby|x|1cylg xdy12|x|解析： 选 by1x为奇函数；ylg x 的定义域为(0， )， 不具备奇偶性； y12|x|在(0，)上为减函数；y|x|1 在(0，)上为增函数，且在定义域上为偶函数2已知 f(x)为定义在 r 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2xm，则 f(2)()a3b54c54d3解析：选 a由 f(x)为 r 上的奇函数，知 f(0)0，即 f(0)20m0，解得 m1，则 f(2)f(2)(221)3.3定义在 r 上的偶函数 f(x)满足 f(x3)f(x)若 f(2)1，f(7

2、)a，则实数 a 的取值范围为()a(，3)b(3，)c(，1)d(1，)解析：选 d因为 f(x3)f(x)，所以 f(x)是定义在 r 上的以 3 为周期的周期函数，所以 f(7)f(79)f(2)又因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(2)f(2)，所以 f(7)f(2)1，所以 a1，即 a(1，)故选 d4若 f(x)是定义在(，)上的偶函数，x1，x20，)(x1x2)，有f（x2）f（x1）x2x10，则()af(3)f(1)f(2)bf(1)f(2)f(3)cf(2)f(1)f(3)df(3)f(2)f(1)解析：选 d因为x1，x20，)(x1x2)，有f（x2）f（x1）x

3、2x10，所以当 x0 时，函数 f(x)为减函数，因为 f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以 f(3)f(2)f(1)，即 f(3)f(2)0，a，x0，g（2x） ，x0为奇函数，则 a_，f(g(2)_解析：因为 f(x)是 r 上的奇函数 ，所以 f(0)0，即 a0，若 x0，则 f(x)f(x)，即 f(x)f(x)，则 g(2x)(x22x1)，令 x1，则 g(2)(121)2，f(2)f(2)(441)7，故 f(g(2)7.答案：078定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(x)f(2x)及 f(x)f(x)，且在0，1上有 f(x)x2，则 f2 01912 _解析：函

4、数 f(x)的定义域是 r，f(x)f(x)，所以函数 f(x)是奇函数. 又 f(x)f(2x)，所以 f(x)f(2x)f(x)，所以 f(4x)f(2x)f(x)， 故函数 f(x)是以 4 为周期的奇函数，所以 f2 01912 f2 02012 f12 f12 .因为在0，1上有 f(x)x2，所以 f12 12214，故 f2 01912 14.答案：149 设 f(x)是定义域为 r 的周期函数， 最小正周期为 2， 且 f(1x)f(1x)， 当1x0时，f(x)x.(1)判定 f(x)的奇偶性；(2)试求出函数 f(x)在区间1，2上的表达式解：(1)因为 f(1x)f(1x

5、)，所以 f(x)f(2x)又 f(x2)f(x)，所以 f(x)f(x)又 f(x)的定义域为 r，所以 f(x)是偶函数(2)当 x0，1时，x1，0，则 f(x)f(x)x；从而当 1x2 时，1x20，f(x)f(x2)(x2)x2.故 f(x)x，x1，0，x，x（0，1） ，x2，x1，2.10设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x.(1)求 f()的值；(2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成的图形的面积解：(1)由 f(x2)f(x)，得 f(x4)f(x2)2)f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数

6、所以 f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x2)f(x)，得 f(x1)2)f(x1)f(x1)，即 f(1x)f(1x)从而可知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称又当 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示设当4x4 时， f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 s， 则 s4soab412214.综合题组练1(多选)(创新型)如果定义在 r 上的奇函数 yf(x)，对任意两个不相等的实数 x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数 yf(x)为“h

7、 函数”下列函数为“h 函数”的是()af(x)sin xbf(x)3x13xcf(x)x33xdf(x)x|x|解析：选 bd根据题意，对于任意的不相等的实数 x1，x2，都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒成立，则有(x1x2)f(x1)f(x2)0 恒成立，即函数 f(x)是定义在 r 上的增函数，则“h 函数”为奇函数且在 r 上为增函数对于 a，f(x)sin x 为正弦函数，是奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于 b，f(x)3x3xf(x)，故 f(x)为奇函数，由指数函数性质可得 f(x)在 r 上单调递增，符合题意； 对于 c，f(x)x33x

8、为奇函数，但在 r 上不是增函数，不符合题意； 对于 d，f(x)x|x|x2，x0，x2，x0为奇函数且在 r 上为增函数，符合题意，故选 bd2(多选)(综合型)函数 f(x)的定义域为 r，且 f(x1)与 f(x2)都为奇函数，则()af(x)为奇函数bf(x)为周期函数cf(x3)为奇函数df(x4)为偶函数解析：选 abc根据题意 f(x1)为奇函数，所以 f(x)的图象关于(1，0)对称，所以 f(x1)f(1x)，同理，f(x2)为奇函数，则 f(x)的图象关于(2，0)对称，所以 f(x2)f(2x)，所以 f(x1)1f2(x1)f(1x)，由式知 f(x2)f(x1)，所

9、以 t1，所以 f(x)是周期函数， 有一个周期是 2， 故 b 选项正确， 因为 f(x1)f(1x)f(x)，所以 f(x)关于(0，0)对称，故 a 选项正确，由 t2 及 f(x)关于(1，0)对称知 f(x)关于(3，0)对称，所以 f(x3)关于(0，0)对称，故 c 选项正确故为 abc3已知函数 f(x)x2x1x21，若 f(a)23，则 f(a)_解析：根据题意，f(x)x2x1x211xx21，而 h(x)xx21是奇函数，故 f(a)1h(a)1h(a)21h(a)2f(a)22343.答案：434定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，f(x2

10、)f(x)且 f(x)在1，0上是增函数，给出下列几个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于 x1 对称；f(x)在1，2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)解析：因为 f(xy)f(x)f(y)对任意 x，yr 恒成立令 xy0，所以 f(0)0.令 xy0，所以 yx，所以 f(0)f(x)f(x)所以 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数因为 f(x)在 x1，0上为增函数，又 f(x)为奇函数，所以 f(x)在0，1上为增函数由 f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，所以周期 t4，即 f(x)为周期函数f(

11、x2)f(x)f(x2)f(x)又因为 f(x)为奇函数，所以 f(2x)f(x)，所以函数关于 x1 对称由 f(x)在0，1上为增函数，又关于 x1 对称，所以 f(x)在1，2上为减函数由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2)f(0)f(0)答案：5设函数 f(x)是定义在 r 上的奇函数，对任意实数 x 有 f32xf32x成立(1)证明 yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值解：(1)由 f32xf32x，且 f(x)f(x)，所以 f(x3)f3232xf3232xf(x)f(x)，所以 yf(x)是周期函数，且 3 是其一个周期(

12、2)因为 f(x)为定义在 r 上的奇函数，所以 f(0)0，且 f(1)f(1)2，又 t3 是 yf(x)的一个周期，所以 f(2)f(3)f(1)f(0)202.6已知函数 yf(x)在定义域1，1上既是奇函数又是减函数(1)求证：对任意 x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若 f(1a)f(1a2)0，求实数 a 的取值范围解：(1)证明：若 x1x20，显然不等式成立若 x1x20，则1x1x21，因为 f(x)在1，1上是减函数且为奇函数，所以 f(x1)f(x2)f(x2)，所以 f(x1)f(x2)0.所以f(x1)f(x2)(x1x2)0 成立若 x1x20，则 1x1x21，同理可证