高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十四

1、高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十四第十四章极限与导数一、基础知识1极限定义：（1）若数列 un满足，对任意给定的正数，总存在正数m ，当 nm且 nn时，恒有 |un-a|f(a) 且 f(c)=m ， 则 c(a,b)， 且 f(c)为最大值，故0)( cf，综上得证。14 lagrange 中值定理：若f(x) 在a,b上连续，在 (a,b)上可导，则存在(a,b)，使.)()()( abafbff 证明 令 f(x)=f(x)-)()()(axabafbf, 则 f(x) 在a,b上连续，在 (a,b) 上可导，且f(a)=f(b) ，所以由13 知存在 (a,b) 使)( f=0，

2、即.)()()( abafbff15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间i 内具有二阶导数， （1）如果对任意xi,0)( xf, 则曲线 y=f(x)在 i 内是下凸的； （2） 如果对任意xi,0)( xf, 则 y=f(x)在 i 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设1, 2, , nr+，1+2+n=1。 （1）若 f(x) 是 a,b 上的凸函数，则 x1,x2, ,xna,b有 f(a1x1+a2x2+anxn) a1f(x1)+a2f(x2)+ +anf(xn). 二、方法与例题1极限的求法。例1 求下列极限：（ 1）22221limnn

3、nnn； （ 2）)0(1limaaannn； （ 3）nnnnn22212111lim； （4）).1(limnnnn 解 （1）22221limnnnnn=22)1(limnnnn212221limnn；（2）当 a1 时，.111lim1111lim1limnnnnnnnaaaa当 0a1 时，.0010lim1lim1limnnnnnnnaaaa当 a=1 时，.21111lim1limnnnnaa（3）因为.11211122222nnnnnnnnn而, 1111lim11lim, 1111limlim222nnnnnnnnnn所以.112111lim222nnnnn（4）.21111

4、1lim1lim)1(limnnnnnnnnnn例 2 求下列极限： （1）nlim(1+x)(1+x2)(1+22x)(1+nx2)(|x|0 且21x) 。 解 （1）)13() 13cos(xxy3cos(3x+1). (2)222)()35()35(xxxxxxxxxy223521310 xxxxxxx.2153x（3）.2sin2)2()2sin(2cos)2(cos2cos2cosxexxxexeyxx（4）1111)1(112222xxxxxxxxy.112x（5）)21ln()21()21ln()21ln(xxeexyxxxxx.212)21ln()21 (xxxxx5用导数讨

5、论函数的单调性。例 6 设 a0，求函数 f(x)=x-ln(x+a)(x(0,+ ) 的单调区间。 解 )0(121)( xaxxxf，因为 x0,a0 ，所以0)( xfx2+(2a-4)x+a20；0)( xfx2+(2a-4)x+a+1 时，对所有 x0，有 x2+(2a-4)x+a20，即 f(x)0,f(x)在(0,+ ) 上单调递增；（2）当 a=1 时，对 x1, 有 x2+(2a-4)x+a20，即0)( xf，所以 f(x) 在（ 0，1）内单调递增，在（ 1，+）内递增，又f(x)在 x=1 处连续，因此f(x) 在(0,+ ) 内递增；（3）当0a0，解得 x2-a+a

6、12，因此， f(x) 在(0,2-a-a12) 内单调递增，在(2-a+a12,+ ) 内也单调递增，而当2-a-a12x2-a+a12时 ， x2+(2a-4)x+a22x. 证 明 设f(x)=sinx+tanx-2x， 则)( xf=cosx+sec2x-2 ， 当)2,0(x时 ，2c o s2c o s1c o s2c o s1c o s22xxxxx（因为0cosxf(0)=0，即 sinx+tanx2x. 7. 利用导数讨论极值。例 8 设 f(x)=alnx+bx2+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值， 试求 a 与 b 的值， 并指出这时f(x)在 x1与 x2处

7、是取得极大值还是极小值。 解 因为f(x)在 (0,+ ) 上连续，可导，又f(x)在 x1=1， x2=2 处取得极值，所以0)2( )1 ( ff，又xaxf)( +2bx+1，所以, 0142,012baba解得.61,32ba所以xxxxxxfxxxxf3)2)(1(13132)( ,61ln32)(2. 所以当 x(0,1)时，0)( xf，所以 f(x)在(0,1 上递减；当 x(1,2) 时，0)( xf，所以 f(x) 在1 ，2 上递增；当 x(2,+ ) 时，0)( xf，所以 f(x) 在2 ，+）上递减。综上可知f(x) 在 x1=1 处取得极小值，在x2=2 处取得极

8、大值。例 9 设 x 0, ,y 0,1，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 解 首先，当x0, ,y 0,1时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2xxxyyxyxysin)1(12)1()1sin(2=(1-y)2xxxyyxxxyxysin)1(sin)1 ()1sin(22，令 g(x)=xxsin, ),2()tan(cos)( 2xxxxxxg当2,0 x时，因为cosx0,tanxx，所以0)( xg；当,2x时，因为 cosx0,tanx0，所以0)( xg；又因为 g(x) 在(0, )

9、 上连续，所以g(x) 在 (0, ) 上单调递减。又因为 0(1-y)xxg(x)，即0sin)1()1sin(xxxyxy，又因为0sin)1 (22xxyy，所以当x(0, ),y (0,1) 时， f(x,y)0. 其次，当x=0 时， f(x,y)=0；当 x=时， f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0. 当 y=1 时， f(x,y)=-sinx+sinx=0；当 y=1 时， f(x,y)=sinx0. 综上，当且仅当x=0 或 y=0 或 x=且 y=1 时， f(x,y)取最小值0。三、基础训练题1nnnnn3232lim11=_. 2已知211lim2bannnn，则

10、 a-b=_. 3223143lim) 1(2cos1lim2323xxxxnnnn_. 4211)1() 1(limxnxnxnx_. 5计算)11(lim) 1(2lim22xxnxnn_. 6若 f(x)是定义在 (- ,+ ) 上的偶函数，且)0( f存在，则)0( f_. 7函数 f(x)在(- ,+ ) 上可导， 且1)2( f，则hhfhfh2)2()2(lim0_.8若曲线f(x)=x4-x 在点 p处的切线平行于直线3x-y=0 ，则点 p 坐标为 _. 9函数 f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_. 10函数2211ln)(xxxf的导数为 _. 11若曲线22)(1

11、axxy在点)41,2(m处的切线的斜率为41，求实数a. 12. 求 sin290的近似值。13设 0ba0 时，比较大小：ln(x+1) _x. 9. 函数 f(x)=x5-5x4+5x3+1,x -1,2的最大值为 _，最小值为 _. 10曲线 y=e-x(x 0) 在点 m(t,e-t) 处的切线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为s(t) ，则 s(t) 的最大值为 _. 11若 x0，求证： (x2-1)lnx(x-1)2. 12函数y=f(x)在区间 (0,+ ) 内可导。导函数)( xf是减函数，且)( xf0， x0(0,+ ).y=kx+m是曲线y=f(x)在点

12、(x0,f(x0) 处的切线方程，另设g(x)=kx+m ， （ 1）用x0,f(x0),)( 0 xf表示 m ； （ 2）证明：当 x(0,+ ) 时，g(x) f(x)； （3）若关于 x 的不等式 x2+1ax+b3223x在(0,+ ) 上恒成立，其中a,b 为实数，求b 的取值范围及a,b 所满足的关系。13. 设各项为正的无穷数列xn 满足 lnxn+)(111nnxn, 证明： xn1(n n+). 五、联赛一试水平训练题1设 mn= （十进制） n 位纯小数0?inaaaa|21只取 0 或 1（i=1,2,n-1 ） ，an=1，tn是 mn中元素的个数，sn是 mn中所有

13、元素的和，则nnntslim_. 2若 (1-2x)9展开式的第3 项为 288，则nnxxx111lim2_. 3设 f(x),g(x)分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当x0 时，0)( )()()( xgxfxgxf，且 g(-3)=0 ，则不等式f(x)g(x)0)， 若 对 任 意x ln(3a),ln(4a)， 不 等 式|m-f-1(x)|+ln)( xf0 恒成立，则实数m取值范围是 _. 9. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（ 1）求函数 f(x)的最大值；（2）设 0ab，证明：0g(a)+g(b)-22bag(b-a)ln2. 10.(1)设函数f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0 x1)，求f(x)的最小值； （ 2）设正数p1,p2,np2满足 p1+p2+p3+np2=1，求证： p1log2p1+p2 log2p2+np2log2np2-n. 11. 若函数 ga(x) 的定义域a=a,b)