正弦稳态电路的分析与求解

1、正弦稳态电路的分析一、 目的1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法；2、了解止弦电流电路的i舜时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率 的概念及表达形式；3、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况；4、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法；5、掌握最人功率传输的概念及在不同情况下的最大传输条件；二、重点与难点1. 重点：仃)复阻抗、复导纳的概念以及它们z间的等效变换(2) .正弦稳态电路的分析(3) .止弦稳态电路中的平均功率、无功功率、视在功率、 复功率、功率因数的概念及计算(4) .最大功率传输。(5) .串、并联谐振的概念2. 难点：(1)复阻抗和复导纳的概念以及它们z间

2、的等效变换。(2) .直流电路的分析方法及定理在正弦稳态电路分析中的应 用。(3) .正弦稳态电路中的功率与能量关系，如平均功率、无功 功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算。(4) 应用相量图分析电路的方法。(5) 谐振的概念。三、本章与其它章节的联系：本章内容以直流电路的分析和第八章阐述的相量法为基础，正弦稳态屯路 的分析方法在第10、11、12章节中都要用到。四、内容§6-1 阻抗和导纳阻抗和导纳的概念以及对它们的运算和等效变换是线性电路止弦稳态分析 屮的重要内容。1. 阻抗1）阻抗的定义图6. 1所示的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处 于稳定状态时，

3、端口的电压相量和电流相量的比值定义为该一端口的阻抗z 0 即"卜乡4单位：q上式称为复数形式的欧姆定律，其中国哼称为阻抗模,称为图6.2等效电路无源线性c电感a电阻b电容阻抗角。由于z为复数，也称为复阻抗，这样图6.1所示的无源一端口网络可 以用图6.2所示的等效电路表示，所以z也称为一端口网络的等效阻抗或输入 阻抗。i+u图6.1无源线性一端口网络2）单个元件的阻抗当无源网络内为单个元件时，等效阻抗分别为:图6.3单个元件的网络3图”丁匕图c图 /7 几说明z可以是纯实数，也可以是纯虚数。3）rlc串联电路的阻抗由kvl得： 1 tssc图6.4 rlc串联电路图6.5阻抗三角形因

4、此,等效阻抗为= +1?+/y = |z|zft= &+几述一 ±）才其中等效电阻（阻抗的实部）；等效电抗（阻抗的虚部）；z、r和x之间的转换关系为：|2>w +x* x(r= |e|co9可以用图6.5所示的阻抗三角形表示。结论：对于rlc串联电路：（1）当3l a l 3c时，有x >0 ,血>0 ,表现为电压领先电流,称电路为感性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图6.6所示;uri - o1图6. 6泌 > 沁 时的相量图和等效电路（2）对于rlc串联电路当（几< 1/ec时，有x <0 ,必<0 ,表现为屯流领先

5、屯压，称电路为容性电路，其相量图（以电流为参考相量）和等效屯路如图6. 7所小；图6. 7 col < 1/ coc时的相量图和等效电路（3）当 讥 =7 3c吋，有才 =0 , 必=0 ,表现为电压和电流同相位，此时电路发牛了串联谐振，电路呈现电阻性，其相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图6. 8所示;t丄i4-0 丄+山=0*ur , uro图6. 8 （儿=1/（比时的相量图和等效电路（4）rlc串联电路的电压弘、u*、构成电压三角形，它和阻抗三角形 相似，满足：注：从以上相量图可以看出，正弦交流串联电路中，会岀现分电压大于总电 压的现象。2. 导纳1）导纳的定义图6. 1所示

6、的无源线性一端口网络，当它在角频率为的正弦电源激励下处 于稳定状态时，端口的电流相量和电压相量的比值定义为该一端口的导纳y。 即单位：s上式仍为复数形式的欧姆定律，其屮刃万称为导纳模，乃二钳一称为导纳角。由于y为复数，称为复导纳，这样图6.1所示的无源一端口网络可 以用图6.9所示的等效电路表示，所以y也称为一端口网络的等效导纳或输入 导纳。图6.6无源线性一端口网络等效导纳2）单个元件的导纳当无源网络内为单个元件时如图6.3所示，等效导纳分别为:c图生图6. 11导纳三角形由kcl得:说明y可以是纯实数，也可以是纯虚数。3）rlc并联电路的导纳图6. 10 rlc并联电路其中等效电导（导纳的

7、实部）； 1等效电纳（导纳的虚部）；y、g和 b之间的转换关系为：|yj=j5w = 8retgg 或 lb = bf|rin可以用图6. 11所示的导纳三角形表示。结论：对于rlc并联电路：（1）当（几 1/ （vc时，有b 0 ,九0 ,表现为电流超前电压,称屯路为容性屯路，其相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图6. 12所示;ita +u r庐11何'图6. 12沁 > l 3c时的相量图和等效电路（2）当col < 1/coc时，有b <0 ,韓<0 ,表现为电压超前电流,称电路为感性电路，莫相量图（以电压为参考相量）和等效电路如图6.13所示;图6

8、. 13沁 < l 3c时的相量图和等效电路（3）当二1/ec时，有尤 =0 , 必=0 ,表现为电压和电流同相位,此时电路发生了并联谐振，电路呈现电阻性，英相量图（以电流为参考相量）和等效电路如图6. 14所示iciiu图6. 14 ul = 1/gc时的相量图和等效电路（4）rlc并联电路的电流厶、厶、/构成电流三角形，它和阻抗三角形相似。满足u=jul + ui注：从以上相量图可以看出，正弦交流他c并联电路中，会出现分电流大于总电 流的现象。3. 复阻抗和复导纳的等效互换同一个两端口电路阻抗和导纳可以互换，互换的条件为:即：出片卜人叫"号r11 zijx衬yg1so-o1

9、j6. 15串联电路和其等效的并联电路fl=7f4?f其等效并联电路的导纳为:如图6.15的串联电路，它的阻抗为：z"4谜=|引"即等效电导和电纳为:同理，对并联电路，它的导纳为j 02 =145z= i =?<其等效串联电路的阻抗为：r65 即等效电阻和电抗为：段=黑5° z =例 6-1 电路如图(q所示，已知：/?=15q,z=0. 3mii, (=0. 2mf,“s认族"/mo血求 jrl/ww+址一i r atl+ + sr + 肌一”jc例 6 1 图(a)(b)(c)解：电路的和量模型如图(b)所示，其中：tr=5htkjfl

10、3;=/2rx3xlo*xojxlo-,=j56.5q= -j26.5ft_ -j_=_.1"7wc""j2icx3xlo4xo2xlo因此总阻抗为z"fi+7tflc十m3-/264=33.54z63.4* q= 0.149z-3.4*-4d / 二 5&(r总屯流为=z"= 33.54z63.4*电展电压为=/<»£/=565zot xo.149z-3?4* =8.42z864* k电阻电压为 =rf=15x0.149z-3.4* = 2.235z-3.< kuc = /f=26.5z 一90* x0

11、.149z -3.4* =395z-93" 7 电容电压为血相量图如图(c)所示，各量的瞬吋式为：f = 0.149 血 sin(fflt - 34")虫斗=2.2352 «in(at-3.4*) v叫=8.42sm(<»t4- 86.<t) * % =3.95屁n（oh-93"） k注意：仏二8.42庐5,说明正弦电路中分电压的有效值有可能大于总电压的有效 值。例6-2甩吊联电路如图（且）所示，求在o=106rad/s时的等效并联电路图（b）。(b )解：rl串联电路的阻抗为:jfj = a>£=10fxqo6x1

12、(t> = 6cq"r+此=50 + j60 =7& izso-q导纳为:"厂面w 临业q 000皿098 sr =亠=-=122q得等效并联电路的参数a aooez§6-2 阻抗（导纳）的串联和并联1.阻抗的串联图616为n个阻抗串联的电路，根据kvl得:z1rb06+u图6. 16 n个阻抗串联图图6. 17等效电路图i? =*4zj 44爲=tz其中"左z厂乞仪47紛z为等效阻抗，因此图6. 16的电路可以用图6.17的等效电路替代。兔=二7 上=12上 串联电路屮各个阻抗的电压分配为：z其中d为总电压，叽 为第k个阻抗的屯压。2.导

13、纳的并联图6. 18 n个阻抗并联图6. 19等效电路图6. 18为n个阻抗并联的屯路，根据kcl得:其屮u 1-1y为等效导纳，因此图6. 18的电路可以用图6. 19的等效电路替代。其中'为总电流，厶为第k个导纳的电流。2 = -两个阻抗z 1、z 2的并联等效阻抗为：注：阻抗的串联和并联计算及分压和分流计算在形式上与电阻的串联和并联 及分压和分流计算相似。例6-3求图示电路的等效阻抗，已知3= 10" rad/s。n 30qimh o 丿r1九n100q01哽例6 3图解：感抗和容抗为:"fic'ioxaixio-4= 1ogqjrl=£&#

14、187;£=itf xixio=iocn所以电路的等效阻抗为jx.+rt -月301 jiooxqoo-jioo) 100=130 4-j100q例6-4图示电路对外呈现感性述是容性?例6 4图解：图示电路的等效阻抗为:所以电路对外呈现容性。例6-5 图示为rc选频网络，试求m和氏同相位的条件及 5解：设 z.= r-%输出屯压o+1r丄哄cjxc+1:r%oll-0例6 5图分 r/jxc输出电压和输入电压的比值r-皿&-劇因为 -j叫史-x：-j2rxc当r=xcf上式比值为实数，则&和&同相位，此时冇反§ 63 正弦稳态电路的分析1.电阻电路与

15、正弦电流电路的分析比较kcls 22i = 0kvls 2« = 0元件约東关系：u=a 或 i =gu对于破kg 2/ = 0kvl： = 0无件肉東关乐u=zi戒 z=rtf例 6 6 图(a )( b )电路的相量模型如图(b)所示。100qxgj3ia47)1000-j31847= 9211- j28ftl3q结论：引入相量法和阻抗的概念后，正弦稳态电路和电阻电路依据的电路定 律是相似的。因此，可将电阻电路的分析方法直接推广应用于正弦稳态电路的 相量分析中。2.典型例题例6-6求图(小 电路中各支路的电流。已知电路参数为：% =10000,禺=10q, l=500mh, c=

16、10flf ,u=100t,m=314mdfe解:+ jeol =10 + /157q则 z= zt + za =102.11 - /l32.13 =16659z- 523* q各支路电流为10qz0"l6699z-52.r=q6z5" aa=1000例6-7 列写图q）电路的回路电流方程和节点屯压方程例6 7图（a）解：选取回路电流方向如图（b）所示，回路电流方程为:回路（尽+尽+丿辺£_（氏+丿辺£_尽人=4 回路2 （尽十鸟十尽十兀q厶_（氏十兀比）人_硝=0冋路3（鸟十鸟一丿為4一疋4一尺厶一丿当£=ohjcz4hu回路4人=一（&am

17、p;/®£ ri i套|屉r. 1 *rj-卜甩 泌尽.民氏:1 "j gt4（b ）（ c ）结点选取如图（c）所示，则结点电位方程为：结点2(&+/逛+结点3例6-8求图（a）电路中的电流几己知:(b)4=4zsxtj1> zt = z2=-f3qq9 ?,=30«, z=45fltp人.1zz丕_4z（剳亿儿例6 8图q)解：方法一：应用电源等效变换方法得等效电路如图（b）所示，其中30- /30= 15-/15qr = °缺® _/4(15-j15)_ 5x557/45*z/fzz - 13-j15-jwm5 5

18、z-36p* =1.13z81.st>1z2f 'v+y 131 36*o方法二：应用戴维南等效变换r-7卩 +lzm i i图（c ）（ d ） 求开路电压：由图（c）得s話（z&玉）= 8486z45求等效电阻：把图（c）小的电流源断开得=2, 4-2 = 15-/450等效电路如图（d）所示，因此电流84.8tiz4亍15-/45+45= l13z81.ra例6-9求图（a）所示电路的戴维南等效电路。例6 9图(a )+ 1-l 100q4-+j300qj u60z0(l|7i - 2200厶(b )解：把图(a)变换为图(b),应用kvl得良“皿-昭+60 一冋+

19、60700爲+60d； = =30z45*解得开路电压1">求短路屯流：把图(b)屯路端口短路得/k = 6(100= 0.6zqi1所以等效阻抗：鱼=30辰”=5畑占 w & q6例6-10用叠加定理计算图(a)屯路的电流 人，已知200z30*=2.31z30*ais = 4z0*a zt = z3 = 50z30az, = 50z -30*q zz2 1 " +ia14fr ia1 ik <» 1z3z3例 610( a )( b )( c )解：lulj出独立电源单独作用的分电路如图(b)和(c)所示，由图(a)得:由图(b)得 则所求

20、电流-100z45*50击i, = j； + j； = 2.31z30* 4- 1.155z-135 =13z-155*/1例6-11 已知图示电路:z二10+j50q,z二400+jl000q,问:b等于多少时, 相位差90° ?x .zu.zi;t 1例6 11图解：根据 kvl 得 =sl=(l+/?)z+zl = 41o+l(yj+/(50+50/j+l0(x)所以*1令上式的实部为零，即410 + 100 = 0 " w¥= -/looo得：4，即电压落后电流90°相位。例6-12 己知图(a)所示电路中，二115v ,弘二55.4v ,仏二8

21、0v ,丘二32w ,(b)+矜50hz ,求：电感线圈的电阻r>和电感l> o例 612(a)解：方法一、画相量图分析。相量图如图(b)所示，根据几何关系得：d=c+c=6;+u1+di=u；+u；+2u卩严攀代入数据得 8574237 ；.p=u5.1因为 £ = /% = 55.4/32 = l.73a4 =伽一*=649| z,|= (7,/!= 80/1.73= 46.2q鸟 斗刃 cos = 19.6q所以 xtzt |sin 爲=41.8ql=x° /(2i) = 0.133 ff方法二、列方程求解，因为 =4十4 = 5 王4z0c令上式等号两边

22、实部、虚部分别相等得：354-b80cosf>=113cos80sm=115sm解得cm=0.424剜其余过程同方法-。§6-4 正弦稳态电路的功率1. 瞬时功率设无源一端口网络如图6. 20所示，在正弦稳态情况下，端口电压和电流为:cos oat i(t) = -jir cos(wt -式中4是电压和电流的相位差，对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。图 6. 20图 6.21则一端口网络吸收的瞬时功率为：= » =上式可以分解为：p© = 5 y + 5 co»(2o* -罚从上式可以看出瞬吋功率有两个分量，一个为恒定量，一个为两倍电压或电流频率的

23、正弦量，p (t)的波形如图6. 21所示。瞬时功率还可以写为：p)=xd=(ztcos*q.+ cos2oi) -t- ulm gmi2ai上式屮第一项始终大于零，为瞬吋功率的不可逆部分，第二项为两倍电压或电流 频率的正弦量，是瞬时功率的可逆部分,代表电源和一端口之间来冋交换的能量。p(t)的波形如图6. 22示。注意：i舜时功率有时为正，有时为负，门0,表示电路吸收功率，pvo,表示电路发出功率。izfcos(l-cos2 at® 不可逆分量.67smsin2i»/图 6. 222. 平均功率p为了便于测量，通常引入平均功率的概念。平均功率为瞬时功率在一个周期 内的平均

24、值,w：p 二*f 皿=c0+ot 知3 - rtl* = 58 呻p的单位是w （瓦）。式屮cos。称为功率因数，说明平均功率不仅与电 压和屯流的乘积有关，而且与它们之间的相位差有关。注意：当cos0 =1,表示一端口网络的等效阻抗为纯电阻，平均功率达到最大。 当cos0 =0 ,表示一端口网络的等效阻抗为纯电抗，平均功率为零。一般有0 w丨cos0丨w1。因此，平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦 称为有功功率。表示屯路实际消耗的功率。3. 无功功率q*工程中还引入无功功率的概念，其定义为:e=csin单位;var（乏）。 当q >0 ,认为网络吸收无功功率；q <0 ,认为网络

25、发出无功功率。 注意：当cos 0二1,冇sin（1）= 0 ,纯电阻网络的无功功率为零。当cos 4>二0,有sin 4> - 1 ,表示纯电抗网络无功功率最大。因此0的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件厶c的 性质决定的。4. 视在功率5定义视在功率为电压和电流有效值的乘积，hp： s=ui单位：va （伏安） 视在功率反映电气设备的容量。冇功功率，无功功率和视在功率满足图6. 23所示的功率三角形关系：so相似三角形z/严apxpr图 6. 235. 任意阻抗的功率计算s = jpa+ea = "r* 4 才=广 |z|以上式了说明功率三角形与阻抗三角

26、形是相似三角形。图6. 24 (b)和(c)为图6. 24 (a)所示的rlc串联电路中电感和电容的瞬吋功率的波形，从屮可以看出，当0发出功率吋，c刚好吸收功率，当c发 出功率时，l刚好吸收功率，说明电感、电容的无功具有互相补偿的作用。图 6.24 ( a )( b )( c )6. 功率因数的提高有功功率的表达式说明当功率一定时，若提高电压和功率因素cos0, 可以减小线路中的电流，从|伯减小线路上的损耗，捉咼传输效率。电力系统屮就 是采用高压传输和并联电容提高功率因素的方式来提高传输效率。图6.25 (a)给出了屯感性负载与屯容的并联电路，图(b)为其相量图， 显然并联电容后，原负载的电压

27、和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变, 即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。图 6. 25 ( a )(b )根据相量图可以确定并联屯容的值，由图可知:兀=厶血啊-"in性f=£rc = atcu因此仇一匕ft)注意：并联电容后，电源向负载输送的冇功功率zz/lcos 01 = zz/cos 02不变， 但是电源向负载输送的无功uisin九 ui. sin必 减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”的无功來补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到 改善。例6-13图示电路是用三表法测线圈参数。己知f50hz,且测得50v , z=1a ,p =30w，

28、求线圈参数。例613图 解：方法一，由电表的读数知：视在功率 s=ui = 50x1 = 504无功功率 q=丁门一严=jso1 301 =40var«= = = 30q因此 尸i0.127h 曲 loqff|z*|=#=¥=soa所以方法三，由"5刖即p 30得“旷贡皿所以 r=|z|cos=50xoj6=30q=|21sm*f = 50x0.&=40o例6-14图示电路，已知：f二50hz, 二220v, p =10kw,线圈的功率因素 cos o二0.6 ,采用并联电容方法提高功率因素，问要使功率因数提高到0.9,应 并联多大的电容g并联前后电路的总

29、电流各为多大？例614图解：=> ft=53.tr所以并联电容为：h = 0.9 =>= 25.84*loxlo9314x220*(bm53ir -= 557/i f未并电容时，电路屮的电流为:'l/cosfl 220x0.6并联电容后，电路中的电流为:pctcos10x10220x0.9= 50ja§ 6 5 复功率正弦电流电路的有功功率、无功功率和视在功率三者之间的关系可以通过 “复功率”表述。1.复功率设一端口网络的电压相量和屯流相量为 次'，定义复功率亍为：s = df*单位：va内此s=uiz（7 一込）= uip=a甲=5cgp + /czts

30、in= p十屉 复功率也可表示为：s = uh=zi.it=zit=（r+j = rf+jxlt 或 s=ui*=c/p7y）t=cj.t7>rt=c/flft注意：（1）复功率歹把p、q、s联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无 功功率，模是视在功率；辐角是功率因素角。（2）复功率恳是复数，但不是相量，它不对应任意正弦量；（3）复功率f满足复功率守恒。因为在止弦稳态下，任一电路的所有支路 吸收的有功功率之和为零，吸收的无功功率之和为零，w：因此1«例6-15电路如图所示，求各支路的复功率。+ii alluht10z0°a 5.l-j15o例615图5q解：输入阻抗

31、 z = <10 +j25)5-j15)电爪 c/= iqzo*xz = 236z(-37. f) f电源发岀的复功率4 = 236/(-37. oxlqzor = 1882-jl424k<支路的复功率为=768 4- /l92d kl耳=u=y； =1113-j3345 ka§ 6-6最大传输功率图6. 26 （a）所示电路为含源一端口网路向终端负载传输功率，下面分析在 正弦稳态条件下负载从含源一端口网络获取最大功率的条件。根据戴维宁定理， 把图（a）电路简化为图（b）所示的等效电路进行研究。设么二人+劝，z 二丘+丿尤，则负载电流为：有源网务zi6图 6. 26 (

32、a )逐十z/十十（希+负载吸收的有功功率为若zf+必 可任意改变，先设用不变，启改变，显然，当,即 冷-尤 时，有功功率户获得最大值，这时p=_5rt_再改变侃使戶获得最大值。把上式对允求导，并使之为零，得允二用时，p 获得最大值。综合以上结果，可得负载上获得最大功率的条件是:r 二 r、九二-尤即 z . - z此时有最大功率例6-16屯路如图（小所示，求（1）比二5q吋其消耗的功率；（2）rl =?能获得最大功率，并求最大功率;(3) 在rl两端并联一电容，问rl和c为多大时能与内阻抗最佳匹配，并 求匹配功率。50 ph+ 10z0°vrlu&=l(frad/s50 p

33、h1+50/：|lozov；.7c : rl1o=105rad/s(b)例 616 图(a)解：(1)电源内阻抗2； =r +=5 + j10sx50x10",=5 4-/5 q上= 039*2“#电路中的电流 5+/5<-5负载电阻消耗的功率耳抄x5=4甲当&=曲+宕=件=707©f_=0.766/(-22.5*)-4电流为 3 + /5+7.07负载电阻消耗的最大功率e =尸卧 0.76dax7x)7=4.15fr=+ jmc(3)并联电容后的电路如图(b)所示，导纳为 1+ jtacr,1+ (fficrj令1 + (0$f=mrfix=ion解得：ic

34、""电流匹配功率乩=尸尽=*5=5砒例6-17电路如图（小 所示，求zl =?时能获得最大功率，并求最大功率。b4 z90c a-j30o300 zl(b )例 6 17 图(a )解：应用戴维宁定理，先求负载阻抗zl左边电路的等效电路。等效阻抗 = -/304-gj30z?3q> = 15 -/45q等效电源4=4门（-/30"30） = 60辰4 等效电路如图（b）所示。因此当=15+j45q时，p -辭肝负载获得最大功率j 4x15§6-7 串联电路的谐振谐振是正弦电路在特定条件下所产牛的一种特殊物理现象，谐振现彖在无线 电和电工技术屮得到广

35、泛应用，对电路中谐振现象的研究冇重要的实际意义。1. 谐振的定义含有r、l、c的一端口电路，外施正弦激励，在特定条件下出现端口电压、 电流同相位的现象吋，称电路发生了谐振。因此谐振电路的端口电压、电流满足:2. 串联谐振的条件u图 6.27图 抗为：6.27所不的r、l、c串联电路发生谐振时称串联谐振。电路的输入阻电路的谐振条件是根据谐振定义，当(兀十rc)= r = °时电路发生谐振，由此得r、l、c串联谐振频率为:谐振角频率为:上式说明r、厶c串联电路的谐振频率仅由电路的参数决定，因此谐振频率 又称固有频率。由谐振条件得串联电路实现谐振或避免谐振的方式为：(1) l、c不变，改变

36、3达到谐振。(2) 电源频率不变，改变0或c (常改变c)达到谐振。3. r、l、c串联电路谐振时的特点(1) 谐振时电路端口电压 方和端口电流 才同相位;(2) 谐振时入端阻抗z二斤为纯电阻，图6.28为复平面上表示的|z|随变 化的图形，可以看出谐振时抗值|z|最小，因此电路中的电流达到最大。图 6.28(3) 谐振时电感电压和电容电压分别为：上式表明厶、c上的电压大小相等，相位相反，如图6. 29所示，串联总电压厶c相当丁短路,所以串联谐振也称电压谐振，此时电源电压金 部加在电阻上，即。图 6. 29(4) 谐振时岀现过电压现彖电感电压和电容电压表示式中的q称为胡质因数，有如果q>

37、1,则冇u当0>>1时，电感和电容两端出现大大高 于电源电压u的高电压，称为过电压现象。(5) 谐振时的功率有功功率为：p = uicos 4)= ui即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。无功功率为：e = oz«nf=+j2c = 0其中2“3护7偿,即电源不向电路输送无功，电感屮的无功与电容屮的无功大小相等，互相补 彼此进行能量交换。如图6. 30所示。lc+1 q 1rwp图 6. 30(6) 谐振时的能量关系设电源电压"五心/则电流屯容屯压电容储能电感储能%=护2=寺皿討咛以上表明：1) 电感和电容能量按止弦规律变化，且最大值相等，即wdl、

38、c的 电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。2) 总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值，即电感、电容储能的总值与品质因数的关系为:即品质因数0是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越人，总的 能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡 电路的“品质”愈好。一般应用丁谐振状态的电路希望尽可能捉高0值。4. 串联谐振电路的谐振曲线和选择性物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象 的认识。(1)阻抗的频率特性串联阻抗其中加屮9 一即=严曲心=丙(阻抗幅频特性)r7竝*龙 r(阻抗相频特性)图6.31 (a)给出

39、了阻抗幅频特性曲线，(b)给出了阻抗相频特性曲线。图 6.31(a)(b)(2)电流谐振曲线电流幅值与频率的关系为:得电流谐振曲线如图6. 32所示。从电流谐振曲线看出谐振时电流达到最大，当3偏离 叫 时，电流从最大 值0&下降，bp：串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号 最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对 不同输入信号的选择能力称为“选择性” o如图6. 32为了不同谐振回路z间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以©和/（少0）,即3 3t縉二警w _w|z| zm - uiry r %«iy竹聲由上

40、式得通用谐振曲线如图6. 33所示。显然0越大，谐振曲线越尖。当稍 微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具冇较强的抑制 能力，所以选择性好。因此，"是反映谐振电路性质的一个重要指标。根据声学研究，如信号功率不低于原冇最大值一半，人的听觉辨别不出。图 6. 33在通用谐振曲线/f* = l, = 0707处作一水平线，与每一谐振曲线交于两点，对应横坐标分别为临、张,称半功率点，有把称为通频带，通频带规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。 是比较和设计谐振电路的指标。可以证明q与通频带的关系为：q=- =（3）仏（3）与弘（3）的频率特性= du =皿因为j昨 _四声

41、i貞+（施寺j存舛尹ujh+w-iy它们的曲线如图6. 34所示。可以证明当时，仏）与弘（3）获最大值，峰值的频率为:峰值为0越高，峰值频率越靠近谐振频率。%)e(f) qu uzt-i/(")1 '、mm mb j mhi mb mb w ohb mb:!:! : ! -0图 6. 34例6-18某收咅机的输入回路如图所示，l =0. 3mll ,/?=10 w，为收到中央屯台560khz信号，求（1）调谐电容c值；（2）如输入电压为1.5 mv ,求谐振电流和此时的电容电压。解:例618图（1）由串联谐振的条件得：269前例 6-19信号源与r、lc电路串联如图所示，要求

42、谐振频率f.频带宽二100hz ,r二15q ,请设计一个线性电路。10q例619图p=®-=a=151=100解：电路的品质因数3 v w0所以100x1572<xl04= 63opp例6-20 接收器的电路如图所示，参数为：二10v , ir=5x 103 rad/s,调c使电路中的屯流最大，抵二200ma，测得电容电压为600v ,求r、l、c及q。解:电路中电流达到最大时发牛串联谐振,因此有:10200x10= 50q= 60mh£ = = 50x60 d 5xl03例6-21图q)所示电路，电源角频率为3,问在什么条件下输出电压 血不 受g和c变化的影响。5

43、5，询1nn4-心)1+ud gn+r11 1u-j例 6 21 图(a )( b )解：应用屯源等效变换，把图(a)电路变换为图(b)电路，显然当li、g发生吊联谐振时，输出电压不受g和c变化的影响。因此有：£7 =§6-8并联电路的谐振1. g、c、l并联电路当图6. 35所示的g、c、l并联电路发生谐振时称并联谐振,并联电路的入端导纳为:谐振时应满足谐振角频率采取与串联谐振屯路同样的分析方法得并联谐振电路的特点为:(1) 谐振时电路端口电压 疗和端口电流 上同相位；(2) 谐振时入端导纳y- g为纯电导，导纳丨卩|最小，如图6. 36所示,因此屯路中的屯压达到最大。如

44、图6. 37所示。图 6. 36图 6. 37 谐振时电感电流和电容电流分别为:图 6. 38式表明l、c上的电流大小相等，相位相反，如图6. 38所示，并联总电流相当于开路，所以并联谐振也称电流谐振，此时电源电流全 部通过电导，即厶=妇。(4) 谐振时岀现过电流现彖电感电流和电容电流表示式屮的q称为并联电路的晶质因数，有如果q >1 ,则有 =><z当q >>1时，电感和电容中出现大大高于电源电流的大电流，称为过电流现象。(5) 谐振时的功率有功功率为：p = u【= mki即屯源向屯路输送屯阻消耗的功率，屯阻功率达最大。无功功率为：q = vlm * = 0|

45、0j=|0j=«fcota = -即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补 偿，彼此进行能量交换。两种能量的总合为常量：2. 电感线圈与电容器的并联谐振实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联吋，电路如图6. 39所示。图 6. 39图 6. 40(1)谐振条件电路的入端导纳为：r 二泗7+&十；就二疋+何)，=ajb =0谐振时3=0 ,即用+仙谐振角频率t/c 3iiii i图 6.41上式说明该电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定吋，必须满足舟-令“即从铮可以发生鮭考虑到一般线圈电阻r<<3l ,则等效导纳近似为：r

46、谐振角频率近似为i価电路的等效电阻为：q r等效电路如图6. 40所水。电路的詁质因数为:rtqaiyr r（2）谐振特点1）电路发生谐振吋，输入阻抗很大2）电流一定时，总电压较高3）支路电流是总电流的q倍，相量图如图6.41所示。设rvv3l_ _=4 aarc r厶 m "<? = 0 aa 4b例6-22电阻r二10q和品质因数q严100的线圈与电容接成并联谐振电路，如图q）所示，如再并联上一个100k的电阻，求电路的品质因数q o解:因为0-1-1t1rlooko1t 二lc11 o1 .例 622 图（3 ）lookqir所以= ioooq»r则«

47、10把图（a）电路等效为图（b）电路，得:/= 100/7100=5qtq八心 50x1"g=5_ =50因此 气盅1000wo二 106 , q=100，谐例6-23电路如图所示，已知：rs =50k q ,弘二100v振时线圈获取最大功率，求：l、c、斤及谐振时70、和功率p。1ti| ¥ 切7?50kq50kqu> c+:八彳c+re l|tl«s（<i11i丄d例 623 图（3 ）（b ）解：线圈的品质因数3罟2睫把图（a）电路等效为图（b）电路，考虑到谐振时线圈获取最大功率得:a = 5q £ = 0.5mff 联立求解以上三式得

48、：|c = 0.002"碼wo w 谐振时总电流咨2x50x101a=5(y线圈两端的电压 2功率 p = =o.osf6. 3. 1瞬时功率正弦稳态电路中，r、l、c元件上的电压u和电流i都是同频率的正弦量，是时间f 的两数，根据功率的定义p = ui可知"肯定也是时间/的函数，所以我们将按p = ui计算 出的功率“称为瞬时功率。现在分别讨论一下r、厶、c元件上的瞬时功率的特点。设通过r、l、c元件的电流为i = im sin(6x) = v2/sin(),元件上的u、i为关联参考方向。1. 电阻元件电肌元件吸收的瞬时功率为pr =ui = i2r = rim2 sin

49、"血)=/?/2l-cos(26x)可见，pr>0,说明电阻元件是一直在消耗功率的。0r在一个周期内的平均值为1 rt9耳芍“产ri2. 电感元件电感元件吸收的瞬时功率为.d?.pf = ui = il i o）linj sin（血）cos（血）=coll sin（2血） dt可见，几是一个随时间/的推移止负交替变化的物理量。当几>0时，说明电感在从外电路吸收能量；当时，说明电感将储存的能量返送回外电路。0l在一周期的平均值p厶专pl=q可见，电感元件是不消耗功率的，只储存功率的。3. 电容元件电容元件吸收的瞬吋功率为pc - ui = z jidt - - im2 si

50、n(69f)cos(m)= i2 sin(2血)ccoccoc可见，pc也是一个随时间/的推移正负交替变化的物理量。0c在一周期的平均值1 ctpcdt"可见，电容元件也是不消耗功率，只储存功率的。通过上述分析町以看出，r、l、c元件上的瞬时功率p都是随时间r变化的周期量, 所以使用瞬吋功率的概念来讨论正弦稳态电路的功率就不是很方便。为此，需耍定义一些新 的概念來反应正弦稳态电路消耗和储存的功率，这就是下血谈到的有功功率和无功功率的概 念。6. 3. 2有功功率和无功功率如图6-21所示,现在以/?厶c串联电路为例来讨论这正弦稳态电路的功率问题。设/?厶c 申联支路的电流心gsin(

51、a)二血/sin(血)，则串联支路吸收的瞬时功率为p = pr + p. + pc =cos(26x) + (col )/2 sin(2曲)(6-15)(6-16)(617)图6-21 rlc串联电路式(6-15)的第一项是电路屮电阻消耗的瞬时功率，第二项是电路屮动态元件储存的瞬时功率。考虑到z = /? + j(o)l) = z cos (py + j 7j sin(f)ya)c将r = z cos(p7 , (col) = z sin(p7 , u = zicoc代入式(6-15)后有p = uicoscos(69f) + uisin© sin(2血)结合式(6-16),我们定义

52、如下两种功率。1. 有功功率p 有功功率p的定义为1 rt1 ptp = pdt=r vcosoz有功功率p是瞬时功率0在一个周期内的平均值，所以p也称为平均功率。由于有功功率p也是电阻的瞬时功率在一周期内的平均值，所以有功功率f反映的是电路实际消耗的功 率。p的单位为瓦特(w),平时说某电器的功率是多少瓦，通常指的就是该电器的有功功 率。2. 无功功率0无功功率q的定义为q = ui sin(p7(6-18)山式(6-16)可以看出，q是式(6-16)第二项即电感和电容储存的瞬时功率的幅值，所 以无功功率q反映的是电路屮所有动态元件所能储存的瞬时功率的最人值。q越人，电路 储能的能力就越强。0的单位为乏(var )。有功功率和无功功率的量纲是相同的，但是为了区别两种不同的功率，所以分