中考数学二次函数知识点总结及相关题型

1、二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1.定义：一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点2(1)抛物线y ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数 yax2的图像与a的符号关系.当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;当a0时 抛物线开口向下顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为3.二次函数y ax2bx c的图像是对称轴平行于(包括重合)4.二次函数y ax2bx c用配方法可化成：y a x h25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y axy a

2、 x h k2 2:yax bx c.a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a相等，抛物线的开口大小、形状相同平行于y轴(或重合)的直线记作x h.特别地，y轴记作直线7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数, 如果二次项系数2.二次函数y ax2的性质相同，只是顶点的位置不同8.求抛物线的顶点、对称轴的方法1ax2（a 0）.y轴的抛物线._b2k的形式，其中4ac b2a，4aax20时，开口向下;x 0.a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全(1 )公式法:y ax2bx cba x2a22y ax h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴2 24ac bb 4

3、ac bb2a4a(2 )配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为是直线x h.,顶点是( 厂)，对称轴是直线x2a 4a(3 )运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线2的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失29.抛物线y ax bx c中，a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x，故：b 0时，对称轴为y轴；一0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧

4、；一0（即2aaaa、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0,c）:c 0，抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在y轴右侧，则- 0.a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标(0,0 )y axy ax ky ax h2x 0(y轴)x 0(y轴)(0,k)(h,0)(h,k).2当a 0时开口向上当a 0时x hx hxb2ay ax h2 k.

5、b 4ac b2y ax2 bx c开口向下( ,- )2a4a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1 ）一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对2x、y的值，通常选择一般式.（2 ）顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1x2，通常选用交点式：12. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为（0,c）.y ax x-ix x23 -(3) 抛物线与 x 轴的交点2222x2，是对应一元二次方程二次函数y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x、ax bx c 0的两个实数根抛物线1

6、(2)与y轴平行的直线x h与抛物线y ax bx c有且只有一个交点(h,ah bh c).与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点0抛物线与x轴相交； 有一个交点(顶点在x轴上) 没有交点(4)0抛物线与x轴相切；0抛物线与x轴相离平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为则横坐标是ax2 bx c k的两个实数根.(5 )一次函数k，y kx n k 0的图像i与二次函数2aby kx ny ax24x1x2bx c.的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时i与g有

7、两个交点 ;方程组只有一组解时i与g只有一个交点；方程组无解时(6)抛物线与i与g没有交点.ax2 bx c与x轴两交点为a x1?0b x2,0，由于x1、x轴两交点之间的距离：若抛物线2x2是方程ax bx c 0的两个根，故x1x2x1x2,x-!x22x1x22b 4c2b24acy ax bx c a 0的图像g的交点，由方程组y= x2+2x 2的顶点坐标是1.抛物线a. (2, 2)b. (1, 2)c.(1, 3) d. ( 1, 3)第二部分典型习题2.已知二次函数 y ax2bx c 的图象如图所示，则下列结论正确的是(ab0,cv0c.abv0,c0d.abv0,cv04

8、 -3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是(d)a. a0,c. av0,bv0,c0b0,cv0bd.av0,bv0,c0.av0,b0,c04.如图，已知abc中，bc=8 bc 上的高h 4, d 为 bc 上 一点，ef/bc,交 ab 于点 e,交 ac 于点 f （ ef5.抛物线y x22x治、x2(x2),则对于下列结论：当6.已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与 x 轴交点的横坐标为不过 a b）,设 e 到 bc 的距离为x,贝u def的面积y关于x的函数的图象大致为（d）时，y = 1;当xx2时，y 0；方程kx2+(2k-1)x

9、1=0有两个不相等的实数根x,、x2:x,v1,x2-1；.1+4k2x2x=，其中所有正确的结论是(只需填写序号).kb 10 x c.2x7.已知直线y 2x b b 0与 x 轴交于点 a,与 y 轴交于点 b； 抛物线的解析式为y x2(1 )若该抛物线过点 b,且它的顶点 p 在直线y 2x b上，试确定这条抛物线的解析式；3与 x 轴分别交于a、b 两点，贝 u ab 的长为_4 _x2解：(1)y10 x2或y4x 6, 得c b. 顶点坐标为(5100(2)过点 b 作直线 bc 丄 ab 交 x 轴交于点 c,若抛物线的对称轴恰好过 c 点，试确定直线y，解得b1（b）代0,

10、_10）2由题意得b16b 10010,b26.5 -8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y，且y是 x 的二次函数，已知输入值为2,0, 1 时，相应的输2x 2出值分别为 5,3,4.(1)求此二次函数的解析式;6 -（2 ）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象解：（1）设所求二次函数的解析式为y ax2bx c,，并根据图象写出当输出值y为正数时输入值 x 的取值范围a(22)(2则a0b 0abcb2)c4c 5c 34,1a ba1解得b3,即2a b23c故所求的解析式为：y x22x 3.（2）函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是x

11、 1或x 3.9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现: 骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前况绘制成下图.请根据图象回答:第一天中，在什么时间范围内这头骆驼体温从最低上升到最高需要多少时间第三天 12 时这头骆驼的体温是多少兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到两昼夜的体温变化情的体温是上升的？它的22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解解:析式.第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的它的体温从最低上升到最高需要体温是上升的12 小时12歹10 xy2x 2422210.4已知抛物线y ax （ 3a）x 4与 x 轴交于3两点

12、，与 y 轴交于点 c.是否存在实数 a,使得a、 abc 为直角三角形若存在，请求出存在，请说明理由.第三天 12 时这头骆驼的体温是解：依题意，得点 c 的坐标为（0, 4）.a 的值；若不设点 a、b 的坐标分别为（x1, 0）,(x2,0),437 -24ax ( 3a)x 40，解得x3,x2133a48 -由4点 a、b 的坐标分别为(-3 , 0),(,0).3aab | 3|,ac -ao2oc23a5,bc jbo2oc2|2 42. 23a33aab|43a3|21624ac25,bc29a1699162999a16.2i当abac bc时，/ acb= 90bc2,2 2

13、由ab2ac2zr 16816得9 25(216).9a2a9a解得a141-当a16时，点 b的坐标为(43ab2625ac225,bc2竺9于是ab2二当aac2bc2.4 abc 为直角三角1时,形.ii 当ac2ab2bc2时，/ abc= 90.-9) a16).由ac2ab2bc2,解得a49当a4943a/时， 32-493，点 b(-3 , 0)与点 a 重合,不合题意.iii 当bc222ab时,/ bac= 90.ac由bcac2ab,解得a216 25(兰9a89).a4不合题9意.综合i 、 ii、 iii，当a-时， abc 为直角三角形.411.已知抛物线 y =

14、x2+ mx m+ 2.(1)若抛物线与 x 轴的两个交点a b 分别在原点的两侧，并且 ab=5，试求 m 的值;m n,并且 mnc 勺面积等于 27,试求(2)设 c 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点9 -m 的值.解：a(xi,0),b(x2, 0).则 x1, x2是方程x2 mx+ m- 2= 0 的两根.t xi+ x2= m ,x ix2=m- 2 0 即 m 2 ; 又ab=|xix21= (x1+x2)24x1x2/ nf- 4m+ 3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去)， m 的值为 1 .(2)m(a, b)，则 n( a, - b)./

15、m n 是抛物线上的两点，a2 ma m 2 b,la2 ma m 2 b.l + 得：一 2a2 2m+ 4 = 0 .a2=- m+ 2 .当m 2 时，才存在满足条件中的两点m n.a、2 m.这时 m n 到 y 轴的距离均为、2 m,又点 c 坐标为(0, 2 m ,而sam n c= 27 ,x x(1. - 222nr)x 2 m=27 .解得m=- 7 .12.已知：抛物线y=ax2+4ax+1与x轴的一个交点为 a ( 1, 0).(1) 求抛物线与 x 轴的另一个交点 b 的坐标；(2) d 是抛物线与 y 轴的交点，c 是抛物线上的一点，且以 ab 为为 9,求此抛物线的

16、解析式；(3) e 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5 : 2 的点，如果上，且它与点 a 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称ape 的周长最小？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由.解法(1)依题意，抛物线的对称轴为x= 2.抛物线与 x 轴的一个交点为 a ( 1, 0),由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点 b 的坐标为(一 3, 0).(2)t抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为 a ( 1, 0 ),10 -一底的梯形 abcd 勺面积点 e 在(2)中的抛物线轴上是否存在点卩,使厶2 2a(1)+4a(1)+t=0t = 3a.y

17、=ax+4ax+3ad (0, 3a). 梯形abcd 中, ab/ cd 且点 c 在抛物线 / c (-4, 3a). ab = 2, cd= 4.梯形 abcd 勺面积为 9 ,1(ab cd) od=9 2y=ax+4ax+3a上,1(2+4) 3a=92 a 1所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=x2 4axy0，（3）设点 坐标为（x0,y0）.依题意，x0v0,e且；0=5y50-=20 x设点 e 在抛物线y=x2+4x+3上,=-5解方程组y0-x0=2，2x=6,y=i5；x=_ 5y012=y=x+4x+3 )4124点 e 与点 a 在对称轴 x=- 2 的同侧

18、，点 e 坐标为（设在抛物线的对称轴x = - 2 上存在一点 p,使厶 ape 的周长最小.y=x24xo+3 ae 长为定值，要使 ape 的周长最小，只须 pa+ pe 最小.x = -2 的对称点是 b (- 3, 0),点 a 关于对称轴+由几何知识可知,p 是直线 be 与对称轴 x =- 2 的交点.设过点 e、b 的直线的解析式为y=mx+n,1丄5m+n= ,243m+n=0.1m=-解得22n= 一3131直线 be 的解析式为y= x+ 把x = - 2 代入上式，得y=.222一1点 p 坐标为（一 2,）.2设点 e 在抛物线y=x2 4x 3上,y 0=0 x4x0

19、3.11-解方程组x，5 y= 23.2xo+ +3= =-y尸x4xv .根.此方程无实数1p (- 2,-),使厶 ape 的周长最小.综上，在抛物线的对称轴上存在点解法二：2(1)： 抛物线y=ax2+4ax+1与 x 轴的一个交点为 a (- 1, ),x-liipla(-1)2+4a(-1)+1=o. t = 3a. 令 y = 0,即ax2+4ax+3a=.解得y=ax2+4ax+3a.为=1,x2= 3.vo f 抛物线与x 轴的另一个交点 b 的坐标为(一 3, ).1n(2)由y=ax2+4ax+3a，得 d( , 3a)./ 梯形abcd 中, ab/ cd 且点 c 在抛

20、物线y=ax+4ax+3a上,c ( 4, 3a).- ab = 2, c* 4.21/ 梯形abcd 勺面积为 9, (ab+cd) od=9.解得 08 3.23a=3. a 1. 所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=-x24x3.(3)同解法一得，p 是直线 be 与对称轴 x = 2 的交点. 如图，过点e 作 eq! x 轴于点q设对称轴与x 轴的交点为 f.bf由 pf/ eq 可得pfbqeq1pf - - . .55241pf=.2vf 点p 坐标为(2,丄).以下冋解法一.13.已知二次函数的图象如图所示.(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点2/0m 的坐标.q 当点

21、 n 在线段 bm 上运动时(点 n 不与点 b,(2)若点 n 为线段 bm 上的一点，过点 n 作 x 轴的垂线，垂足为点点 m 重合)，设 nq 的长为 i，四边形 nqac 勺面积为 s,求 s 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围;12 -(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点巳使厶 pac 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点p 的坐标;若不存在，请说明理由；(4)将厶 oac 补成矩形，使 oac 勺两个顶点成为矩形一边的两个顶落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要解：(1)设抛物线的解析式y a(x 1)(x2),2a 1( 2) .

22、a 1 . y x2 x 2.19其顶点 m 的坐标是丄，924(2)设线段 bm 所在的直线的解析式为y kx b，点 n 的坐标为 n (t , h),0 2k b,3914kb.解得k,b 3.2线段2bm 所在的直线的解析式为y?x 3.312h t 3，其中t 2. s11232221 22(t 3)t21 13s2t 1，自变量t的取值范围是1与t 间的函数关系式是s -t245 735(3)存在符合条件的点 p,且坐标是 r5，f2 -，-2 424设f 的坐标f(m,n)，则nm2m 2.点为fa(m 1)22nfc m (n2 2,2)2 2,ac 52分以下几种情况讨论:i

23、 )若/ fac= 90，贝ufc2fa2ac2.n m2m 2,m2(n2)2(m1)2n25.5m一,m21(舍去).点f5，解得：22 42 2 2ii )若/ fca= 90，贝u fa fc ac.小n m m22,-13?t24it2(m 1) n m (n 2)5.-143解得：m3 -, m4 0(舍去).点p2 -，-2iii ）由图象观察得，当点 p 在对称轴右侧时，3254pa ac，所以边 ac 的对角/ apc 不可能是直角.0a （或边 0c 的对边上，如图（4）以点 q 点 a （或点 o,点 0 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边a,此时未知顶点坐标是点

24、d （ 1, 2）,以点 a,点 c 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边ac 的对边上，如图 b，此时未知顶点坐标是x 轴的交点14.已知二次函数y=ax22的图象经过点（1, 1）.求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与的个数.解：根据题意，得 a 2= 1.a = 1. 这个二次函数解析式是y=x22.0， 2）,所以该函数图象与 x 轴有两个交点.1 : 11000 的比例图上，跨度 ab= - cm 拱高 oc= 0. 9因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（1-.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面cm,线段 de 表示大桥拱内桥长，de/ ab,如图

25、（1）.在比例图上，以直线 ab 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴,ar r(2)(2)、2 1.4，计算结果精确到 1以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）.（2）如果 de 与 ab 的距离 om= 0. 4- cm ,求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：米）.解：（1 ）由于顶点 c 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为-15（1）求出图（写出函数定义y=ax2+ 一.105因为点 a (521259(10920- , 0)(或 b ( ，0)在抛物线上，所以0=a(2i)2+2，得 a=-竺10125因此所求函数解析式为y=hx2+5).2x2+2，得1094)20(2)因为点 d、e 的纵坐标为一，所以一所以点 d 的坐标为(一5