中考数学二次函数超全知识点记忆口诀

1、学习必备欢迎下载中考数学二次函数超全知识点记忆口诀中考数学二次函数超全知识点记忆口诀1.1.定义定义：一般地，如果y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.2.2.二次函数二次函数y ax2的性质的性质（1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y ax2的图像与a的符号关系.当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a 0）.3.3.二次函数二次函数y ax2 bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的

2、抛物线轴的抛物线. .4.二次函数y ax2 bx c用配方法可化成：y ax h k的形式，其中2b4ac b2h ，k .2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax2；y ax2 k；y ax h；y ax h k；y ax2 bx c.226.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.学习必备欢迎下载7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小

3、完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：b4ac b2b 4ac b2（，），顶点是，对称轴y ax bx c ax 2a4a2a4a22是直线x b.2a2（2） 配方法： 运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴， 对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点， 再用公式法或对称性进行验证， 才能做到万无一失.9.抛物线y ax2 bx c中，a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开

4、口大小，这与y ax2中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线bb，故：b 0时，对称轴为y轴； 0（即a、b同号）时，a2ab对称轴在y轴左侧； 0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.ax （3）c的大小决定抛物线y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c， 抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点 （0，c）：学习必备欢迎下载c 0，抛物线经过原点; c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b 0.a10.几种特殊的二次函数的

5、图像特征如下：函数解析式y ax2y ax ky ax h2开口方向对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)x 0（y轴）x 0（y轴）x h2当a 0时y ax h k开口向上2x hb2ay ax2 bx c当a 0时x 开口向下11.用待定系数法求二次函数的解析式b4ac b2(，)2a4a（1）一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.2（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.12.直线与抛物线的交点学习必备欢迎下载

6、（1）y轴与抛物线y ax2 bx c得交点为(0,c).（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点(h,ah2bh c).（3）抛物线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上） 0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相

7、等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根.（5）一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax2bx ca 0的图像g的交点，由方程组y kxny ax bxc2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与g有两个交点; 方程组只有一组解时l与g只有一个交点；方程组无解时l与g没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2 bx c与x轴两交点0，bx2， 0，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的两个根，故为ax1，学习必备欢迎下载bcx1 x2 ,x1 x2aaab x1 x2x1 x22x1 x22b24acb 4c4x1x2 aaaa2一次函

8、数与反比例函数一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系考点一、平面直角坐标系（3 3 分）分）1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点o（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前

9、，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。考点二、不同位置的点的坐标的特征考点二、不同位置的点的坐标的特征（3 3 分）分）1、各象限内点的坐标的特征点 p(x,y)在第一象限 x 0, y 0点 p(x,y)在第二象限 x 0, y 0点 p(x,y)在第三象限 x 0, y 0点 p(x,y)在第四象限 x 0, y 0学习必备欢迎下载2、坐标轴上的点的特征点 p(x,y)在 x 轴上 y 0，x 为任意实数点 p(x,y)在 y 轴上 x 0，y 为任意实数点 p(x,y)既在 x 轴上，又

10、在 y 轴上x，y 同时为零，即点 p 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点 p(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 p(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。5、关于 x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点 p 与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 p 与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 p 与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点 p

11、(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点 p(x,y)到 x 轴的距离等于y（2）点 p(x,y)到 y 轴的距离等于x（3）点 p(x,y)到原点的距离等于x2 y2考点三、函数及其相关概念考点三、函数及其相关概念（3838 分）分）1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。学习必备欢迎下载一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取

12、值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。考点四、正比例函数和一次函数考点四、正比例函数和一次函数（310310 分）分）1、正比例函

13、数和一次函数的概念一般地，如果y kx b（k，b 是常数，k0），那么y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数y kx b中的 b 为 0 时，y kx（k 为常数，k0）。这时，y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线学习必备欢迎下载3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数y kx b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y kx的图像是经过原点（0，0）的直线。k 的符号b 的符号函数图像yb00 xk0yb00 xyk0图像经过一、二、四象限，y随 x 的增大而减小图像经过一、三、四象限，y随 x 的增大而增大。图像经过一、二、三象限

14、，y随 x 的增大而增大。图像特征学习必备欢迎下载0 xyb0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时，y 随 x 的增大而增大（2）当 k0y图像oxyoxy k(k 0)xk0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。4、反比例函数解析式的确定x 的取值范围是 x0，y 的取值范围是 y0；当 k0y图像0 xy0 x二次函数y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)a0学习必备欢迎下载（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2） 对称轴是 x=4ac b2）；4abbb， 顶

15、点坐标是 （， （2）对称轴是 x=，顶点坐标是2a2a2a4ac b2b（，）；4a2a性质（3）在对称轴的左侧，即当xbb时，y（3）在对称轴的左侧，即当 x时， y 随 x 的增大而增大，侧，即当 x时，y 随 x 的增大2a2a简记左减右增；而减小，简记左增右减；b时，y2a（4）抛物线有最低点，当 x=有最小值，y最小值（4）抛物线有最高点，当 x=有最大值，y最大值b时，y2a4ac b24a4ac b24a2、二次函数y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上，a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与

16、 x 轴有一个交点；当0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k2.2. 平移规律平移规律在原有函数的基础上在原有函数的基础上“ “h值正右移，负左移；值正右移，负左移；k值正上移，负下移值正上移，负下移” ”概括成八个字“概括成八个字“同左上加，异右下减同左上加，异右下减”三、二次函数三、二次函数y ax h k与与y ax2bxc的比较的比较请将y 2x24x5利用配方的形式配成顶点式。请将y ax2bxc配成y ax h k。22总结：总结：学习必备欢迎下载从解析式上看，从解析式上看

17、，y ax h k与与y ax2bx c是两种不同的表达形式，后者是两种不同的表达形式，后者b 4ac b2b4acb2通过配方可以得到前者，即通过配方可以得到前者，即y ax，其中，其中h ，k 2a4a2a4a22四、二次函数四、二次函数y ax2bx c图象的画法图象的画法五五 点点 绘绘 图图 法法 ： 利利 用用 配配 方方 法法 将将 二二 次次 函函 数数y ax2bx c化化 为为 顶顶 点点 式式y a(x h)2 k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，c、左右对称地描点画图左右对称地描点画图. .一般我们

18、选取的五点为：顶点、与一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点轴的交点0，c关于对称轴对称的点关于对称轴对称的点2h， c、与与x轴的交点轴的交点x1， 0，x2， 0（若与（若与以及以及0，x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. .画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与轴的交点，与y轴的交点轴的交点. .五、二次函数五、二次函数y ax2bxc的性质的性质b4ac b2b1.1. 当当a 0时，时， 抛物线开口向上，抛物线开口向上， 对称轴为对称轴为x ， 顶点坐标为顶点

19、坐标为，2a4a2a学习必备欢迎下载当当x bb时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当当x 时，时，y随随x的增大而增大；当的增大而增大；当2a2a4acb2bx 时，时，y有最小值有最小值4a2a2.2. 当当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为，顶点坐标为2ab4acb2bb时，时，y随随x的增大而增大；当的增大而增大；当x 时，时，y随随x的增的增，当当x 4a2a2a2a4acb2b大而减小；当大而减小；当x 时，时，y有最大值有最大值4a2a六、二次函数解析式的表示方法六、二次函数解析式的表示方法1.1. 一般式：一般式：y ax2

20、bx c（a，b，c为常数为常数，a 0）；）；2.2. 顶点式：顶点式：y a(x h)2 k（a，h，k为常数为常数，a 0）；）；3.3. 两根式：两根式：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是抛物线与是抛物线与x轴两交点的横坐标轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即轴有交点，即b24ac 0时，抛时，抛物线的解析式才可以用交点式表示物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解

21、析式的这三种形式可以互二次函数解析式的这三种形式可以互化化. .七、二次函数的图象与各项系数之间的关系七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.1. 二次项系数二次项系数a二次函数二次函数y ax2bxc中，中，a作为二次项系数，显然作为二次项系数，显然a 0 当当a 0时，时，抛物线开口向上，抛物线开口向上，a的值越大，的值越大，开口越小，开口越小，反之反之a的值越小，的值越小，开口越大；开口越大； 当当a 0时，时，抛物线开口向下，抛物线开口向下，a的值越小，的值越小，开口越小，开口越小，反之反之a的值越大，的值越大，开口越大开口越大总结起来，总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，决定

22、了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小的大小决定开口的大小学习必备欢迎下载2.2. 一次项系数一次项系数b在二次项系数在二次项系数a确定的前提下，确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴决定了抛物线的对称轴 在在a 0的前提下，的前提下，当当b 0时，时，当当b 0时，时，当当b0时，时，b0，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴在y轴左侧；轴左侧；abab 同号同号同左上加同左上加2ab0，即抛物线的对称轴就是，即抛物线的对称轴就是y轴；轴；2ab0，即抛物线对称轴在，即抛物线对称轴在y轴的右侧轴的右侧a,ba,b 异号异号异右下减异右下减2a

23、 在在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即的前提下，结论刚好与上述相反，即当当b 0时，时，当当b 0时，时，当当b0时，时，总结起来，在总结起来，在a确定的前提下，确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置决定了抛物线对称轴的位置总结：总结：同左上加同左上加 异右下减异右下减3.3. 常数项常数项c 当当c 0时，抛物线与时，抛物线与y轴的交点在轴的交点在x轴上方，即抛物线与轴上方，即抛物线与y轴交点的纵轴交点的纵坐标为正；坐标为正； 当当c 0时，抛物线与时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵轴交点的纵坐标为坐标为0； 当当c 0时，抛物线与时

24、，抛物线与y轴的交点在轴的交点在x轴下方，即抛物线与轴下方，即抛物线与y轴交点的纵轴交点的纵坐标为负坐标为负总结起来，总结起来，c决定了抛物线与决定了抛物线与y轴交点的位置轴交点的位置b0，即抛物线的对称轴在，即抛物线的对称轴在y轴右侧；轴右侧；a,ba,b 异号异号异右下减异右下减2ab0，即抛物线的对称轴就是，即抛物线的对称轴就是y轴；轴；2ab0，即抛物线对称轴在，即抛物线对称轴在y轴的左侧轴的左侧abab 同号同号同左上加同左上加2a学习必备欢迎下载总之，只要总之，只要a， b， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：二次函数解

25、析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法通常利用待定系数法用待定系数法求用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，选择适当的形式，才能使解题简便才能使解题简便一一般来说，有如下几种情况：般来说，有如下几种情况：1.1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.3. 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两

26、根式；轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式二、二次函数图象的对称二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.1. 关于关于x轴对称轴对称关于关于cx轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是y a2x b x；cy a2x b xy ax h k关于关于x轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是y ax hk；222.2. 关于关于y轴对称轴对称关于关于cy轴对称后，得到的解析式是轴对称后

27、，得到的解析式是y a2x b x ；cy a2x b xy ax h k关于关于y轴对称后，得到的解析式是轴对称后，得到的解析式是y ax h k；223.3. 关于原点对称关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是关于原点对称后，得到的解析式是cy a2x b x；cy a2x b xky aky axh 关于原点对称后，得到的解析式是关于原点对称后，得到的解析式是x h；224.4. 关于顶点对称关于顶点对称学习必备欢迎下载b2关于顶点对称后，得到的解析式是关于顶点对称后，得到的解析式是cy a x b xy a x b xc；2a22y ax h k关于顶点对称后，得到的解析式是关于顶

28、点对称后，得到的解析式是y ax h k22n对称对称5.5. 关于点关于点m，y ax h k关于点关于点m， n对称后，得到的解析式是对称后，得到的解析式是y ax h 2m 2n k22根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶

29、点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程：1. 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：轴交点情况）：一元二次方程一元二次方程ax2bx c 0是二次函数是二次函数y ax2bx c当函数值当函数值y 0时的特殊时的特殊情况情况. .图象与图象与x轴的交点个数：轴的交点个数：0，bx2， 0(x1 x2)，其中，其中 当当 b24ac 0时，图象与时，图象与x轴交于两点轴交于两点ax1，的的x1，x2是一元二次方程是一元二次方程ax2bx c 0a 0的两根这两点间的距离的两根这两点间的距离b24ac. .ab x2 x1a 当当 0时，图象与时，图象与x轴只有一个交点；轴只有一个交点； 当当 0时，图象与时，图象与x轴没有交点轴没有交点. .1当当a 0时，图象落在时，图象落在x轴的上方，无论轴的上方，无论x为任何实数，