原子物理学 第3章 量子力学导论

1、教材教材: :原子物理学原子物理学, ,杨福家杨福家, ,高教社高教社,2008,2008第四版第四版Manufacture: Zhu Qiao ZhongZhu Qiao Zhong第三章第三章量子力学导论量子力学导论An Introduction to Quantum Mechanics2第三章量子力学导论第三章量子力学导论第三章量子力学导论3-1玻尔理论的局限性玻尔理论的局限性3-2实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性3-3海森堡不确定关系海森堡不确定关系3-4波函数及其统计解释波函数及其统计解释3-5薛定谔方程薛定谔方程*3-6 量子力学中的一些理论和方法量子力学中的一些理论和方法

2、*3-7 氢原子的薛定谔方程解氢原子的薛定谔方程解目录目录3第三章量子力学导论3-13-1玻尔理论的局限性玻尔理论的局限性玻尔量子理论打开了认识原子结构的大门玻尔量子理论打开了认识原子结构的大门,取得成功取得成功.但它的局但它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识限性和存在的问题也逐渐为人们所认识.玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点,把经典力学的规把经典力学的规律用于微观粒子律用于微观粒子,使其理论中有难以解决的内在矛盾使其理论中有难以解决的内在矛盾,有重大缺陷有重大缺陷.如如:为什么核与电子间的相互作用存在为什么核与电子间的相互作用存在,但处于定态的

3、加速电但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射(或吸收或吸收)电磁波的根本原因电磁波的根本原因何在？何在？薛定谔薛定谔的非难的非难“糟透的跃迁糟透的跃迁”在两能级间跃迁的电子处于什么状态？4第三章量子力学导论玻尔理论的玻尔理论的“缺陷缺陷”1. 不能证明较复杂的原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱；不能证明较复杂的原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱；2. 不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；不能给出光谱的谱线强度（相对强度）； 3. 不能解释氢光谱的精细结构；不能解释氢光谱的精细结构；4. 只能处理周期运动不能处理非束缚态问题只能处理周期运动不能处理非束缚态问题

4、,如散射问题；如散射问题； 5. 不能自洽不能自洽.在理论上在理论上,能量量子化概念与经典力学不相容能量量子化概念与经典力学不相容. （有人为的性质（有人为的性质,物理本质还不清楚）物理本质还不清楚）5第三章量子力学导论 19世纪末世纪末,物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段.主要表现在以下两个方面：主要表现在以下两个方面： (1) 应用牛顿力学讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体应用牛顿力学讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体的运动的运动.牛顿力学应用于分子运动也取得有益的结果牛顿力学应用于分子运动也取得有益的结果.1897年年, J.J汤

5、姆逊发现了电子汤姆逊发现了电子,并表明电子的行为类似于一个牛顿粒子并表明电子的行为类似于一个牛顿粒子. (2) 光的波动性在光的波动性在1803年由托马斯年由托马斯.杨的衍射实验有力揭示出杨的衍射实验有力揭示出来来,麦克斯韦在麦克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波年发现的光和电磁现象之间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上动性置于更加坚实的基础之上.经典物理学的成功经典物理学的成功6第三章量子力学导论进入进入20世纪后世纪后,经典物理学受到冲击经典物理学受到冲击.经典理论在解释一些新的经典理论在解释一些新的试验结果上遇到了严重的困难试验结果上遇到了严重的困难.量子理论量子

6、理论1905年爱因斯坦提出光量子概念年爱因斯坦提出光量子概念.1913年玻尔引入量子态概念年玻尔引入量子态概念建立玻尔模型并成功地解释了氢光谱建立玻尔模型并成功地解释了氢光谱.1925年泡利提出不相容原年泡利提出不相容原理理,同年乌仑贝克、古兹米特提出电子自旋假说同年乌仑贝克、古兹米特提出电子自旋假说,很好地解释元素很好地解释元素周期性、塞曼效应等一系列实验事实周期性、塞曼效应等一系列实验事实.至此形成的量子论称为至此形成的量子论称为（有严重缺陷）（有严重缺陷）. 经典物理学的困难经典物理学的困难7第三章量子力学导论海森堡（德）海森堡（德）WERNER HEISENBERG (1901-197

7、6)获获1932诺奖诺奖玻恩（德）玻恩（德）M.Born(1882-1970)获获1954诺奖诺奖薛定谔（奥地利）薛定谔（奥地利）ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)获获1933诺奖诺奖狄拉克狄拉克PAUL DIRAC (1902-1984)获获1933诺奖诺奖在波粒二象性思想的基础上在波粒二象性思想的基础上,于于1925-1928年间由海森堡、玻恩、年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学,它与相对论成了近代物理它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱学的两大理论支柱.8第三章量子力学导论索尔维会议索尔维会议(Solvay Co

8、nference):爱因斯坦与玻尔爱因斯坦与玻尔第五次会议主题为第五次会议主题为“电子电子和光子和光子”,爱因斯坦以爱因斯坦以“上帝上帝不会掷骰子不会掷骰子”的观点反对测的观点反对测不准原理不准原理,而玻尔反驳道而玻尔反驳道“爱爱因斯坦因斯坦,不要告诉上帝怎么做不要告诉上帝怎么做.”波尔波尔-爱因斯坦论战爱因斯坦论战 9第三章量子力学导论德德拜拜泡泡利利海海森森堡堡薛薛定定谔谔埃伦费斯特埃伦费斯特布拉格布拉格康普顿康普顿狄拉克狄拉克玻恩玻恩玻尔玻尔居里夫人居里夫人洛伦兹洛伦兹爱因斯坦爱因斯坦朗之万朗之万普朗克普朗克 10第三章量子力学导论1.经典物理中的波和粒子经典物理学中波和粒子各自独立经典

9、物理学中波和粒子各自独立,在逻辑上不允许同时用这两在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象个概念描写同一现象.粒子可视为质点粒子可视为质点,具有定域性具有定域性,位置可无限精确地被测定位置可无限精确地被测定.有确有确定的质量、动量、速度和电荷等；定的质量、动量、速度和电荷等；波可以在空间无限扩展波可以在空间无限扩展,波有确定的波长和频率波有确定的波长和频率.波的波长和频波的波长和频率也能被精确测定率也能被精确测定(因为波不能被约束因为波不能被约束).3-23-2实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性11第三章量子力学导论1672年牛顿年牛顿(英英)提出光的微粒说提出光的微粒说.1678年惠

10、更斯年惠更斯(荷兰荷兰)提出光提出光的波动说的波动说.此后此后,两种学说长期论战两种学说长期论战.光的波粒二象性光的波粒二象性波动性：干涉、衍射、偏振波动性：干涉、衍射、偏振粒子性：热辐射粒子性：热辐射,光电效应光电效应,散射等散射等19世纪初世纪初,菲涅尔、夫琅和费、杨氏等人通过光的干涉、衍射菲涅尔、夫琅和费、杨氏等人通过光的干涉、衍射实验实验证实光的波动性证实光的波动性.19世纪末麦克斯韦和赫兹世纪末麦克斯韦和赫兹证明光是电磁波证明光是电磁波.2.2.光的波粒二象性光的波粒二象性1905年年,爱因斯坦用光量子说解释了光电效应爱因斯坦用光量子说解释了光电效应,提出光子的能提出光子的能量为量为

11、 ,并于并于1917年指出光子有动量年指出光子有动量 hp hE 光在传播时显示波性光在传播时显示波性,在传递能量时显示粒子性在传递能量时显示粒子性. (两者不会同两者不会同时出现时出现)12第三章量子力学导论3.3.德布罗意假设德布罗意假设(1924)(1924)de Broglie,法法(1892-1987),获获1929年诺奖年诺奖“ 过去过去,对光过分强调波对光过分强调波性而忽视它的粒性；现性而忽视它的粒性；现在对电子是否存在另一在对电子是否存在另一种倾向种倾向,即过分强调它的即过分强调它的粒性而忽视它的波性粒性而忽视它的波性.”所有物质粒子均具有波粒所有物质粒子均具有波粒二象性二象性

12、,“,“任何物质伴随以波任何物质伴随以波, ,而且不可能将物体的运动同而且不可能将物体的运动同波的传播分开波的传播分开”. .德布罗意德布罗意关系式：关系式： phhE 不论粒子静质量是否为不论粒子静质量是否为0,德德布罗意关系式均成立布罗意关系式均成立.13第三章量子力学导论引入波矢引入波矢 2 kkp 波动的传播方向就是粒子的动量方向波动的传播方向就是粒子的动量方向.h h的意义：量子化的量度的意义：量子化的量度, ,不连续程度的最小量度单位不连续程度的最小量度单位. .h在物质的在物质的波性和粒子性波性和粒子性间起着桥梁作用间起着桥梁作用.在在量子化和波粒二量子化和波粒二象性象性这两个概

13、念中都起着关键作用这两个概念中都起着关键作用.德布罗意关系式通过德布罗意关系式通过h把粒子性和波动性联系起来把粒子性和波动性联系起来.实际上实际上,任何表达式中只要有任何表达式中只要有h出现出现,就意味其具有量子力学特征就意味其具有量子力学特征.14第三章量子力学导论*4.戴维孙戴维孙-革末实验（革末实验（1927）(晶体对电子束的衍射晶体对电子束的衍射,用于验证德布罗意波）用于验证德布罗意波）电子枪电子枪KD之间有之间有U电子束透过电子束透过D打在打在M上上它在晶面被散射进入探测器它在晶面被散射进入探测器BG检测电子束检测电子束(电流电流)的强度的强度I电子束电子束强度强度U05101520

14、25实验发现实验发现:加速电压加速电压U=54V,散射角散射角 =50时时,探测器探测器B中的电流有极值中的电流有极值.15第三章量子力学导论晶体晶面为点阵结构晶体晶面为点阵结构,德布罗意波散射和德布罗意波散射和X射线衍射类似射线衍射类似,也满也满足布拉格公式足布拉格公式.两反射的电子束两反射的电子束,其相干加强条件：其相干加强条件： kd )2/cos()2/sin(22 kdsin理论解释理论解释利用利用 和和mvh meUv2 emUdkh21sin 代入代入得：得：051 VUnmd54,215. 016第三章量子力学导论戴维孙戴维孙C. Davisson(美美)和革末和革末L. Ge

15、rmar(美美)右图为的电子右图为的电子几率波几率波”戴维孙戴维孙- -革末观测到的电子衍射图样革末观测到的电子衍射图样17第三章量子力学导论电电子子束束X射射线线电子双缝干涉图样电子双缝干涉图样杨氏双缝干涉图样杨氏双缝干涉图样18第三章量子力学导论1961年年,C.约恩约恩孙让电子束通过孙让电子束通过单缝、多缝的衍单缝、多缝的衍射图样（见右图）射图样（见右图）1927年年,G.P汤汤姆逊作了电子束姆逊作了电子束透过多晶薄片的透过多晶薄片的衍射实验衍射实验,同样验同样验证了电子具有波证了电子具有波动性动性.（实验装置（实验装置见右图）见右图）电子束衍射图样电子束衍射图样19第三章量子力学导论2

16、0世纪世纪30年代后的实验发现年代后的实验发现,进一进一步证实了德布罗意假设的正确性步证实了德布罗意假设的正确性.质量为质量为m,速率为速率为v的实物粒子的德布罗意波长的实物粒子的德布罗意波长:kcvEmhvmhcvvmhmvh00202)(1 对于电子，当加速电对于电子，当加速电压压U不太大以致能量不太大以致能量不太高时：不太高时：nmVUeVEvmhk)(226.1)(226.10 20第三章量子力学导论 例例:计算经过电势差计算经过电势差U1=150V和和U2 =104 V加速的电子的德布罗加速的电子的德布罗意波长意波长(不考虑相对论效应不考虑相对论效应).解解: 据据加速后电子的速度为

17、加速后电子的速度为据德布罗意关系据德布罗意关系p = h /,电子的德布罗意波长为电子的德布罗意波长为讨论：讨论：远远大大于于光光学学显显微微镜镜电电子子显显微微镜镜的的分分辨辨率率观观测测仪仪器器的的分分辨辨本本领领长长电电子子波波波波长长光光波波波波 22. 1DR VUVUnmnmnmUUemhmh42110150000123. 01 . 0226. 112v 02meUv eUvm 202121第三章量子力学导论实物实物质量质量m/kg速度速度v/(m.s-1)波长波长/pm1V电压加速的电子电压加速的电子9.110-315.91051200100V电压加速的电子电压加速的电子9.11

18、0-315.91061201000V电压加速的电子电压加速的电子9.110-311.91073710000V电压加速的电子电压加速的电子9.110-315.910712He原子（原子（300K）6.610-271.410372Xe原子（原子（300K）2.310-252.410212垒球垒球2.010-1301.110-22枪弹枪弹1.010-21.01036.610-23实物粒实物粒子子的的德布罗意德布罗意波长波长由上表知由上表知, ,讨论质量较重的粒子的德布罗意波已没意义讨论质量较重的粒子的德布罗意波已没意义! !22第三章量子力学导论 朗之万朗之万:除了思想的独创性外除了思想的独创性外,

19、德布罗意以非凡的技巧作出努力克服阻碍物德布罗意以非凡的技巧作出努力克服阻碍物理学家的困难理学家的困难.爱因斯坦爱因斯坦的支持的支持: 德布罗意的导师朗之万将论文寄给爱因斯坦德布罗意的导师朗之万将论文寄给爱因斯坦.爱因斯坦向来欣赏物理学中爱因斯坦向来欣赏物理学中的对称性的对称性,而德布罗意的理论正是建立了这种光和物质的对称性而德布罗意的理论正是建立了这种光和物质的对称性.爱因斯坦称爱因斯坦称赞道赞道爱因斯坦写信将论文推荐给洛仑兹和玻恩爱因斯坦写信将论文推荐给洛仑兹和玻恩.他对玻恩说他对玻恩说: “你一定要读它你一定要读它, 虽然看起来有点荒唐虽然看起来有点荒唐,但可能是有道理的但可能是有道理的.

20、” 玻恩回信说玻恩回信说:“读了德布罗意的论文读了德布罗意的论文,渐渐明白他搞的是什么名堂渐渐明白他搞的是什么名堂,我现在相我现在相信物质波可能是很重要的信物质波可能是很重要的.” 德布罗意的论文经爱因斯坦推荐后德布罗意的论文经爱因斯坦推荐后,引起物理学界的极大重视引起物理学界的极大重视.薛定谔在朗薛定谔在朗之万的促使下阅读了德布罗意的论文之万的促使下阅读了德布罗意的论文.爱因斯坦也将论文推荐给他爱因斯坦也将论文推荐给他.在他给爱在他给爱因斯坦的回信中写到因斯坦的回信中写到:“如果不是你的关于气体简并的第二篇论文硬是把德如果不是你的关于气体简并的第二篇论文硬是把德布罗意的想法的重要性摆在我的鼻

21、子底下布罗意的想法的重要性摆在我的鼻子底下,整个波动力学就建立不起来整个波动力学就建立不起来.”物理学家对德布罗意的物质波的评价物理学家对德布罗意的物质波的评价23第三章量子力学导论此前此前,玻尔据其角动量量子化条件导出氢原子的第一玻尔半径、玻尔据其角动量量子化条件导出氢原子的第一玻尔半径、能量和动量的量子化结果能量和动量的量子化结果.以下介绍以下介绍德布罗意将原子中的定态和德布罗意将原子中的定态和驻波联系起来驻波联系起来,自然地得到角动量的量子化条件自然地得到角动量的量子化条件.5.5.德布罗意波和量子态德布罗意波和量子态电子的波长为电子的波长为mvhph 将此关系用于氢原子的电子将此关系用

22、于氢原子的电子.欲欲使电子稳定存在使电子稳定存在,与电子相应的波与电子相应的波就必须是一个就必须是一个,即电子绕核一即电子绕核一圈后其位相不变圈后其位相不变.氢原子中的电子氢原子中的电子相应的驻波示意图相应的驻波示意图要求圆周长是波长的整数倍要求圆周长是波长的整数倍l =4 r24第三章量子力学导论德布罗意把原子定态与驻波联系起来德布罗意把原子定态与驻波联系起来,即把粒子能量量子化和即把粒子能量量子化和有限空间中驻波频率分立性联系起来有限空间中驻波频率分立性联系起来. rnrnhnrhhp 22, 3 , 2 , 1,nnLmvhph mc2 mc12 a 将玻尔第一速度将玻尔第一速度v =

23、c代入代入得到得到而而 是是折合电子康普顿波长折合电子康普顿波长的的137倍倍,即第一玻尔半径即第一玻尔半径a1故故 所得的结果满足驻波条件所得的结果满足驻波条件.25第三章量子力学导论设一个速度为设一个速度为v的粒子在宽为的粒子在宽为d的刚性盒子中作一维运动的刚性盒子中作一维运动,由经由经典理论知典理论知,粒子的动能和周期分别为：粒子的动能和周期分别为：6.6.一维刚性盒子中的驻波一维刚性盒子中的驻波vdTmvEk2;212 用用分析：此粒子要在盒内永存分析：此粒子要在盒内永存,其德布罗意波必为驻其德布罗意波必为驻波波, x=0,x=d 必为波节必为波节.盒子宽至少为半波长盒子宽至少为半波长

24、.即波长必满足即波长必满足:, 2 , 1,2 ndn dx=0 x=d26第三章量子力学导论 结论：结论：1 1）被束缚粒子的动量和能量均呈量子化）被束缚粒子的动量和能量均呈量子化. . 2 2）只要粒子被束缚在某一空间（）只要粒子被束缚在某一空间（oror势阱内）势阱内）, ,粒子的最小动能粒子的最小动能不能为不能为0.0.（即使在（即使在T T0 0时）时）事实上事实上,若若EK可为可为0,则要求则要求x,这也说明粒子不可能被束缚这也说明粒子不可能被束缚住住. 以上内容可归纳为：以上内容可归纳为： mpEhpk22 22282mdhnEdnhpk所以所以,原子能级图中不存在原子能级图中不

25、存在E0的能级。的能级。27第三章量子力学导论7.7.波和非定域性波和非定域性氢原子实际上是一个德布罗意波被禁闭在库仑场中的情形氢原子实际上是一个德布罗意波被禁闭在库仑场中的情形.假设电子在库仑场中是一简单的正弦波假设电子在库仑场中是一简单的正弦波,匣子近似为刚性边界匣子近似为刚性边界( V),设匣子的线度是半波长设匣子的线度是半波长,即粒子处于基态即粒子处于基态,在此假设下粒在此假设下粒子的动能为：子的动能为：222222222)2(21)(88mrhmrrmhmdhEk 以上考虑到匣内一周期的路程与圆周长对应以上考虑到匣内一周期的路程与圆周长对应(2d=2r)总能量为动能总能量为动能T和势

26、能和势能V之和：之和：rkemrE2222 28第三章量子力学导论0 r假设的氢原假设的氢原子的波函数子的波函数123EEE123EEE )(rU实际的波实际的波函数函数实际的势实际的势能函数能函数由由0 drdE122minamker 得电子最小半径：得电子最小半径：进而可得氢原子基态能量：进而可得氢原子基态能量：eVkemE6 .132)(222 所得结果与玻尔 所给的结果相同！29第三章量子力学导论不确定关系的常见形式：不确定关系的常见形式：3-3 3-3 海森堡不确定关系（海森堡不确定关系（19271927）)3(2)2(2)1(2 pEtpxx角动量与角位移：角动量与角位移：能量与时

27、间：能量与时间：动量与位置：动量与位置：30第三章量子力学导论“动量动量- -位置不确定关系位置不确定关系”的含义的含义)1(2xpx动量与位置：动量与位置：不确定关系揭示了一条重要的规律：不确定关系揭示了一条重要的规律：31第三章量子力学导论 例例:原子的线度约为原子的线度约为 10-10 m ,求原子中电子速度的不确定量求原子中电子速度的不确定量.解解:原子中电子的位置不确定量原子中电子的位置不确定量 10-10 m=105fm2 xpx 由不确定关系由不确定关系得电子速度的不确定量为得电子速度的不确定量为m/s.fmMeV.m/sfmMeVxmcccxmmpvxx558210851051

28、10210319722 32第三章量子力学导论“能量能量- -时间不确定关系时间不确定关系”的含义的含义)2(2Et能量与时间：能量与时间： 反映了原子能级宽度反映了原子能级宽度E 和原子在该能级的平均寿命和原子在该能级的平均寿命t 之间之间的关系的关系.E2EE 2EE 寿命寿命t基态基态电磁辐射电磁辐射基态基态:t;E0激发态激发态:t10-8s; E10-8eV33第三章量子力学导论 “不能同时精确地测量不能同时精确地测量”只是这一客观规律的一个必然结果只是这一客观规律的一个必然结果.从这个意义上看从这个意义上看,“测不准关系测不准关系”这一名称不妥这一名称不妥.认为不能同时测准粒子的位

29、置坐标认为不能同时测准粒子的位置坐标x及相应的动量的解释是及相应的动量的解释是不确切的不确切的,易误认为不确定关系是测量过程的一个限制易误认为不确定关系是测量过程的一个限制.不确定关系在宏观世界不能得到直接体现不确定关系在宏观世界不能得到直接体现,但它并不为但它并不为0.对对“不确定关系不确定关系”的进一步理解的进一步理解34第三章量子力学导论基态氢原子的电子基态氢原子的电子r1=0.053nm,p=mc.从不确定关系看从不确定关系看,假定假定电子在电子在r1范围内运动且位置确定范围内运动且位置确定,即即x=r1,则相应的动量不确定则相应的动量不确定度度:5 . 0137053. 0511.

30、0219722/12 nmMeVMeVfmrmccpxpp 可见动量的不确定程度甚大可见动量的不确定程度甚大,以致无法确切说明在此范围内运以致无法确切说明在此范围内运动的电子动量为多大动的电子动量为多大.35第三章量子力学导论一个一个10g的小球以的小球以10cm/s的速度运动的速度运动,小球的瞬间位置可精确小球的瞬间位置可精确确定确定,如如x=10-4cm (已是很高的精度已是很高的精度),则相应的动量不确定度：则相应的动量不确定度：可见动量的不确定度甚小可见动量的不确定度甚小,目前没有任何方法可觉察目前没有任何方法可觉察,完全可忽完全可忽略不计略不计.24634103 . 510/1 .

31、001. 0210055. 122/ msmkgsJxmvpxpp说明说明:教材中的此上两个例子均采用较为粗糙的不确定关系教材中的此上两个例子均采用较为粗糙的不确定关系xph进行运算，因此所得结果与此有差异进行运算，因此所得结果与此有差异(相差相差1/4).36第三章量子力学导论* *2.2.不确定关系的简单导出不确定关系的简单导出x“波包波包”在实验上在实验上,可采取可采取“拍拍”的方法测一的方法测一个波的波长个波的波长.两列振幅相同频率不同的两列振幅相同频率不同的波相干涉即形成波相干涉即形成“拍拍”.由数学上的富里哀分析知由数学上的富里哀分析知,为得到一个位置确定的孤立波（波为得到一个位置

32、确定的孤立波（波包）包）,须用多个频率不同的波相叠加须用多个频率不同的波相叠加.“观察观察”一个一个“拍拍” 的时间：的时间：)1(11 tt式式(1)表示表示,要无限精确地测准频率要无限精确地测准频率(0)就需要无限长的时就需要无限长的时间间(t).37第三章量子力学导论在在t内波内波(波速为波速为v)通过的路程为：通过的路程为： vtvx 222 vxvdvdv)2(2 x式式(2)表示表示,要无限精确地测准波长要无限精确地测准波长(0),就需要在无限扩就需要在无限扩展的空间展的空间()中进行观察中进行观察.式式(1)、(2)是从经典物理学的概念出发得到的是从经典物理学的概念出发得到的.现

33、将它用于微现将它用于微观粒子观粒子,将其与德布罗意关系相结合将其与德布罗意关系相结合,则立刻产生了新的观念则立刻产生了新的观念.38第三章量子力学导论hhhhppxpphxxpphpphdpphdphxxxxxx 22222222 即得即得hpxx 同样的处理方法同样的处理方法,有有 1hEtthEhE hEt 这样即得不确定关系的一种表示形式：这样即得不确定关系的一种表示形式： hEthpxx39第三章量子力学导论0电子束电子束xph xx sin sinpm=1m=2m=3m=3m=2m=1确定中区位置确定中区位置的关系式：的关系式：d sindm sin决定中区旁各极决定中区旁各极小值的

34、关系式：小值的关系式： 假如入射电子具有确定的动量假如入射电子具有确定的动量p,经过单缝（经过单缝（d=x）后）后,即使只即使只考虑中心区考虑中心区(75%的电子落在此区域的电子落在此区域),也至少有也至少有psin的动量不确的动量不确定性定性,即即px psinhxpxpppxx sin40第三章量子力学导论3.3.应用举例应用举例设质量为设质量为m的粒子被束缚的粒子被束缚在线度为在线度为r的范围内的范围内,则则rppxxx22 据统计规律据统计规律,对于束缚在空间的粒子对于束缚在空间的粒子,其动量在任何方向的平均其动量在任何方向的平均分量必定为分量必定为0,即即 ,故有：故有：0 xp22

35、22231)()(pppppppxxxxxdefx 束缚粒子的最小平均动能：束缚粒子的最小平均动能：与上一节所得结论一致与上一节所得结论一致.说明此结论与形式无关说明此结论与形式无关,只要粒子束缚只要粒子束缚在空间在空间(或称势阱内或称势阱内),则粒子的最小动能就不能为则粒子的最小动能就不能为0,即粒子不可能即粒子不可能落到阱底落到阱底.41第三章量子力学导论当电子距核的距离越来越近时当电子距核的距离越来越近时,将从原子的线度将从原子的线度(0.1nm)过渡过渡到原子核的线度到原子核的线度(1fm)222832minmrmpEk 当电子距核越来越近时电子所需的平均动能将越来越大当电子距核越来越

36、近时电子所需的平均动能将越来越大,但电但电子无这样大的能量补充子无这样大的能量补充,故而电子不能继续靠近核故而电子不能继续靠近核,更不可能落入更不可能落入核内核内.42第三章量子力学导论光谱线系中光谱线系中,电子在两能级间跃迁电子在两能级间跃迁,在初能级上必有一在初能级上必有一（能级寿命会受外界的影响能级寿命会受外界的影响）,即即t不能无限长不能无限长.按不确定关系按不确定关系,此能级必存在相应的宽度此能级必存在相应的宽度E,这正是谱线的自然宽度这正是谱线的自然宽度,已由实验已由实验证实证实.例如：假定原子中某激发态寿命为例如：假定原子中某激发态寿命为st810 则则eVssMeVtctE88

37、22103 . 31021058. 622 43第三章量子力学导论4.4.互补原理互补原理(1927,(1927,由玻尔提出由玻尔提出) ) 一些经典概念的应用不可避免地排除另一些经典概念的应用一些经典概念的应用不可避免地排除另一些经典概念的应用, ,而而“另一些经典概念另一些经典概念”在另一些条件下又是描述现象不可缺少的在另一些条件下又是描述现象不可缺少的. .必须而且只须将这些互斥又互补的概念汇集起来必须而且只须将这些互斥又互补的概念汇集起来, ,才能也定能形才能也定能形成对现象的详尽无遗的描述成对现象的详尽无遗的描述. .海森堡的不确定关系从数学上表达了物质的波粒二象性海森堡的不确定关系

38、从数学上表达了物质的波粒二象性.玻尔玻尔的互补原理从哲学的角度概括了波粒二象性的互补原理从哲学的角度概括了波粒二象性.玻尔认为：粒子的波粒二象性不可能在同一玻尔认为：粒子的波粒二象性不可能在同一测量中同时出现测量中同时出现,两个概念在描述微观现象时是两个概念在描述微观现象时是互斥的互斥的,不会在同一实验中直接冲突不会在同一实验中直接冲突.二者在描二者在描述微观时都是不可缺少的述微观时都是不可缺少的,它们是互补并协的它们是互补并协的. 在任一时刻我们只能看到银币的一面在任一时刻我们只能看到银币的一面,而而只有当银币的正、反两面都被看到后只有当银币的正、反两面都被看到后,才可能银币有完整才可能银币

39、有完整的认识的认识.44第三章量子力学导论3-4 3-4 波函数及其统计解释波函数及其统计解释1.1.波粒二象性及几率概念波粒二象性及几率概念如果粒子在随时间和位置变化的力场中运动如果粒子在随时间和位置变化的力场中运动, ,它的动量和能量它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）不再是常量（或不同时为常量）, ,粒子的状态就不能用平面波描粒子的状态就不能用平面波描写写, ,而必须用较复杂的波描写而必须用较复杂的波描写, ,一般记为：一般记为：),(tr (1) 怎样描述粒子的状态？怎样描述粒子的状态？(2) 如何体现波粒二象性？如何体现波粒二象性？(3) 描写的是什么样的波？描写的是什么样的波

40、？45第三章量子力学导论错误看法错误看法1：“波由粒子组成波由粒子组成”.与实验矛盾与实验矛盾, ,不能解释长时间单个电子衍射实验不能解释长时间单个电子衍射实验. .电子一个一个的通过小孔电子一个一个的通过小孔, ,但只要时间足够长但只要时间足够长, ,底片上就呈现底片上就呈现衍射花纹衍射花纹. .这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象起时才有的现象, ,单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性. . 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面, ,而抹杀了粒子的波而抹杀了粒子的波动性的一面动性的

41、一面, ,具有片面性具有片面性. .事实上事实上, ,正是由于单个电子具有波动性正是由于单个电子具有波动性, ,才能理解氢原子中电才能理解氢原子中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象. .46第三章量子力学导论错误看法错误看法2 : “粒子由波组成粒子由波组成”视电子为三维空间中连续分布的某种物质波包视电子为三维空间中连续分布的某种物质波包波包：各种波数（长）平面波的迭加波包：各种波数（长）平面波的迭加,因此呈现出干涉和衍射因此呈现出干涉和衍射等波动现象等波动现象.认为认为,波包的群速度即电子波包的群速度即电子的运动速度的运动速度. 平面波

42、描写自由粒子平面波描写自由粒子,其特点是其特点是充满整个空间充满整个空间,这是因为平面波这是因为平面波振幅与位置无关振幅与位置无关.如果粒子由波组成如果粒子由波组成,那么自由粒子将充满整个空那么自由粒子将充满整个空间间,这是没有意义的这是没有意义的,与实验事实矛盾与实验事实矛盾.实验上观测到的电子实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内总是处于一个小区域内.例如在一个原子例如在一个原子内内,其其广延不会超过原子线度（约广延不会超过原子线度（约1 ）. 47第三章量子力学导论电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是

43、波 ” “电子既是粒子也是波电子既是粒子也是波,它是粒子和波动二重性的统一它是粒子和波动二重性的统一” 波不再是经典概念的波波不再是经典概念的波,粒子也不是经典概念的粒子粒子也不是经典概念的粒子.经典概念中经典概念中: :“粒子粒子”意味着：意味着：1)1)有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性；的属性； 2)2)有确定的运动轨道有确定的运动轨道, ,每一时刻有确定的位置和速度每一时刻有确定的位置和速度. .“波波”意味着：意味着：1)1)实在的物理量的空间分布实在的物理量的空间分布, ,作周期性的变化作周期性的变化; ; 2)2)存在干涉、衍射现象存在干涉、衍射现象, ,

44、即相干叠加性即相干叠加性. .48第三章量子力学导论1)入射电子流强度小显示电子的微粒性入射电子流强度小显示电子的微粒性,长时间亦显示衍射图样长时间亦显示衍射图样.2)入射电子流强度大入射电子流强度大,很快显示衍射图样很快显示衍射图样.电子源电子源感光屏感光屏PPQQ结论结论电子的单缝衍射电子的单缝衍射衍射实验揭示的电子波动性是许多电子在同一实验中的统计衍射实验揭示的电子波动性是许多电子在同一实验中的统计结果结果, ,或者是一个电子在多次相同实验中的统计结果或者是一个电子在多次相同实验中的统计结果. .49第三章量子力学导论波函数正是为描述粒子的这种行为而引进的波函数正是为描述粒子的这种行为而

45、引进的,在此基础上在此基础上,玻恩玻恩(Born)提出了波函数意义的统计解释提出了波函数意义的统计解释. 在单缝衍射实验中在单缝衍射实验中,电子的位置和动量至少有一个是不确定的电子的位置和动量至少有一个是不确定的,无法精确地预知电子落在屏的何处无法精确地预知电子落在屏的何处.但在不确定性中又有完全的但在不确定性中又有完全的确定性确定性, 如电子落入中区的几率是完全确定的如电子落入中区的几率是完全确定的,为为75%.又如处于能级宽又如处于能级宽度为度为E的微粒的寿命为的微粒的寿命为,在在时间内粒子何时衰变时间内粒子何时衰变(或跃迁或跃迁)完全不确定完全不确定,但衰变几率是完全确定的但衰变几率是完

46、全确定的.50第三章量子力学导论2.2.波函数（波函数（oror几率幅）几率幅）微观粒子微观粒子具有波动性具有波动性用物质波波函数描述用物质波波函数描述微观粒子状态微观粒子状态用波函数能确切描述粒子的运动状态用波函数能确切描述粒子的运动状态,给波函数赋于一定的物给波函数赋于一定的物理意义后理意义后,就能把粒子和粒子的波性这两种对立的属性统一起来就能把粒子和粒子的波性这两种对立的属性统一起来.2 经典波的振幅是可测的经典波的振幅是可测的,而在一般情况下而在一般情况下 是不可测的是不可测的,可测的可测的只是只是51第三章量子力学导论自由粒子不受力自由粒子不受力, p及与其联系的及与其联系的也不变也

47、不变,是单色波是单色波.表示为表示为:一个自由粒子的波自由粒子的波)cos(2sin0vtr zxyo平面波诸量间的关系平面波诸量间的关系 rBAC)(knnr 这是沿任意方向传播的平面波这是沿任意方向传播的平面波.较为方便的复数形式为：较为方便的复数形式为： 式中式中、v、t 分别表示角频、波分别表示角频、波速速 和时间和时间, rn是原点到波面的垂直是原点到波面的垂直距离距离,是是r和和rn 的夹角的夹角.)cos(20vtrie 52第三章量子力学导论为使平面波与粒子对应起来而找出自由粒子的波函数为使平面波与粒子对应起来而找出自由粒子的波函数,利用德利用德布罗意关系布罗意关系,则则自由粒

48、子的波函数一般表示为：自由粒子的波函数一般表示为：)(0Etrpie )(0)2(0)2(0tErpithErkitrkieee )(0trkie )/2( kk用用 代表波的前进方向代表波的前进方向,则则:53第三章量子力学导论3. 3. 玻恩的统计解释玻恩的统计解释(1926)(1926)波函数是描述粒子量子状态的一个波动方程波函数是描述粒子量子状态的一个波动方程.如有大量的粒子如有大量的粒子,那么某处粒子的密度就与此处发现一个粒子的几率成正比那么某处粒子的密度就与此处发现一个粒子的几率成正比.（可（可与光进行类比）与光进行类比）2 P电子在原子空间某点附近单位微体积内出现电子在原子空间某

49、点附近单位微体积内出现的几率的几率.若波函数用复数表示若波函数用复数表示,则表示为：则表示为：*2 在体积在体积d中发现一个粒子的几率为：中发现一个粒子的几率为： ddp2 t 时刻时刻,粒子在空间粒子在空间 处的单位体积处的单位体积 中出现的几率中出现的几率,又称为几率密度又称为几率密度.波函数的物理意义：波函数的物理意义：2| ),(|tr r d54第三章量子力学导论连续、单值、有限连续、单值、有限因几率不会在某处突变因几率不会在某处突变,波函数必须处处连续波函数必须处处连续.因在空间任意处只能有一个几率因在空间任意处只能有一个几率,波函数必须单值波函数必须单值.因几率不能无限大因几率不

50、能无限大,所以波函数必须有限所以波函数必须有限. 12 d粒子在整个空间出现的几率为粒子在整个空间出现的几率为1,即即1),(2 dxdydz|tr|55第三章量子力学导论电子数电子数 N=7电子数电子数 N=100电子数电子数 N=3000电子数电子数 N=20000电子数电子数 N=70000出现几率大出现几率大出现几率小出现几率小电子双缝干涉图样电子双缝干涉图样56第三章量子力学导论量子力学中态的叠加与经典物理中波的叠加虽然形式相同但量子力学中态的叠加与经典物理中波的叠加虽然形式相同但本质不同本质不同.两列经典波可叠加导致一个新的波两列经典波可叠加导致一个新的波,但两个波函数叠加但两个波

51、函数叠加并不形成新的波函数并不形成新的波函数.4.态的叠加原理态的叠加原理57第三章量子力学导论电子源电子源1S2S感感光光屏屏1 2 P 通过单缝通过单缝S1的电子处于的电子处于 1态；通过单缝态；通过单缝S2的电子处于的电子处于 2态态.双双缝同时打开时电子处在缝同时打开时电子处在 态态.双缝同时诱导的状态是它们的线性双缝同时诱导的状态是它们的线性组合态组合态 C1 1+C2 2.58第三章量子力学导论电子处于两态的几率分别为：电子处于两态的几率分别为：双缝同时打开时电子的几率双缝同时打开时电子的几率分布为：分布为：S 12D1PA2PBP相干项相干项考虑到考虑到2211 CC 则有：则有

52、：)()(2*21*121211*22*1212*2221*121 CCPPCCCCP222211|,| CC |2P59第三章量子力学导论 量子力学中态的迭加量子力学中态的迭加, ,虽然在数学上与经典波的迭加原理相同虽然在数学上与经典波的迭加原理相同, ,但在物理本质上却有根本的不同：但在物理本质上却有根本的不同：而且这种态的迭加将导致在迭加态下测量结果的不而且这种态的迭加将导致在迭加态下测量结果的不确定性确定性. .微观粒子遵循的是统计规律微观粒子遵循的是统计规律, ,而不是经典的决定性规律而不是经典的决定性规律. .(牛顿牛顿:只要给出了初始条件只要给出了初始条件,下一时刻粒子的轨迹是已

53、知的下一时刻粒子的轨迹是已知的,决定决定性的性的.)60第三章量子力学导论电子半径小于电子半径小于1016cm. 到目前为至到目前为至,人们在人们在1016cm范围内尚未发范围内尚未发现电子的更小结构现电子的更小结构.欲欲 “窥视窥视”电子如何通过双缝电子如何通过双缝,则须在双缝旁置一则须在双缝旁置一“光源光源”和和“光探测器光探测器”.但人们经过各种条件、不同方式的反复实验与考但人们经过各种条件、不同方式的反复实验与考虑虑,发现发现在原则上无法避免在原则上无法避免.事实上事实上,在在1961年前年前,单缝衍射和双缝干涉实验都为单缝衍射和双缝干涉实验都为即在承认电子具有波性的前提下设想一定存在

54、电子的衍射即在承认电子具有波性的前提下设想一定存在电子的衍射和干涉现象和干涉现象.1961年年,约恩孙约恩孙才巧妙地通过实验获得电子的衍射和才巧妙地通过实验获得电子的衍射和干涉图样干涉图样.而清晰的电子双缝干涉实验在而清晰的电子双缝干涉实验在1989年完成年完成.61第三章量子力学导论理查德理查德菲利普菲利普费曼（费曼（R. P.Feynman)（1918-1988）美）美,因在量子电动力学方面的因在量子电动力学方面的成就成就获获1965诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖这些实验这些实验,都是用任何经都是用任何经典方法所绝对不能解释典方法所绝对不能解释的的,但是但是,量子力学的核心量子力学的核心正是

55、包含在这些实验之正是包含在这些实验之中中.62第三章量子力学导论5.5.波函数服从的几个规则波函数服从的几个规则假如在假如在if 间有间有n种可能的跃迁方式种可能的跃迁方式,则跃迁几率幅是各种可则跃迁几率幅是各种可能发生的跃迁几率幅之和能发生的跃迁几率幅之和.即即 此规则为态的叠加的一条基本原理此规则为态的叠加的一条基本原理.费曼称其为费曼称其为“量子力学第一原理量子力学第一原理”.至今无法从更基本的观念将其导出至今无法从更基本的观念将其导出）fi假如在假如在if 间有间有n个独立的末态个独立的末态,则跃迁几率等于到达各末态则跃迁几率等于到达各末态的跃迁几率之和的跃迁几率之和.即即nnifif

56、22nnifif63第三章量子力学导论假如在假如在if间有某一中间态间有某一中间态,则跃迁几率幅等于分段几率幅之则跃迁几率幅等于分段几率幅之积积.即即ivvfif假如一独立体系中的两个粒子同时跃迁假如一独立体系中的两个粒子同时跃迁,则体系的跃迁几率则体系的跃迁几率等于两粒子几率幅之积等于两粒子几率幅之积.IFifiIfF（规则（规则3、4均系独立事件的几率相乘律）均系独立事件的几率相乘律）64第三章量子力学导论3-5 3-5 薛定谔方程薛定谔方程“我的朋友德拜要求有个波动方程,诺,我找了一个.”设一个非相对论自由粒子设一个非相对论自由粒子(m、p)在势场在势场V(x)中作一维运动中作一维运动,

57、则粒子的能量为：则粒子的能量为：)0()(22xVmpE kphE , 考虑到考虑到则有则有)1()(2)(2xVmk 粒子的波函数粒子的波函数平面波形式平面波形式; (1) 的解的解：)2(),()(0)(0Etpxitkxieetx 65第三章量子力学导论0)2()2()(2222 xmtimpExV或：或： 2222xmti 2222)(0;)2(),(pxpxiEtietxEtpxi 有：有：由：由：66第三章量子力学导论式式(2)是方程是方程tiVxm 02222的解且与式的解且与式(1)一致一致.推广到一般的势场推广到一般的势场V(x),即得一维薛定谔方程：即得一维薛定谔方程：)3

58、()(2222tixVxm 将其与经典关系式（将其与经典关系式（0）比较）比较,知作了如下的变换：知作了如下的变换：xiptiE ;将其作用到波函数将其作用到波函数上即得式（上即得式（3）67第三章量子力学导论薛定谔方程的一般表达式薛定谔方程的一般表达式)4(),(),()(222trtitrrVm 当势场当势场V(x)=0时自由时自由粒子的解为：粒子的解为：)5(),()(0trkietr 将其与经典关系将其与经典关系 比较比较,知作了如下的变换：知作了如下的变换：)(22rVmpE)6(iptiE68第三章量子力学导论当当V(r)不显含时间不显含时间t时时,用分离变数法对薛定谔方程用分离变

59、数法对薛定谔方程(4)求特解求特解即得定态薛定谔方程即得定态薛定谔方程.将波函数写成：将波函数写成：2.2.定态薛定谔方程定态薛定谔方程)()(),(tTrtr 代入式代入式(4)后两边除以后两边除以T得：得：dtdTTirVm )(2122于是有：于是有：)8()7()(2122EdtdTTiErVm 式中式中E是与是与r、t无关的分离常数无关的分离常数,具有能量的量纲具有能量的量纲69第三章量子力学导论式（式（8）的解为：）的解为：iEteTT0 把常数把常数T0归到归到的常数中的常数中,则得到则得到：)9()(),(iEtertr 解定态薛定谔方程的一般步骤：解定态薛定谔方程的一般步骤：

60、1 1）首先分区）首先分区, ,找出问题中找出问题中势能函数的具体形式势能函数的具体形式；2 2）建立薛定谔方程并）建立薛定谔方程并求出通解求出通解；3 3）根据波函数的标准化条件和归一化条件）根据波函数的标准化条件和归一化条件确定常数确定常数. .)10()(222 ErVm :定态薛定谔方程定态薛定谔方程70第三章量子力学导论3.3.应用举例应用举例0 d xV ( x ) 0 0 在一维无限深势阱中运动的粒子在一维无限深势阱中运动的粒子势能函数为：势能函数为： 势阱内体系满足势阱内体系满足的薛定谔方程为：的薛定谔方程为：令令:则方程为：则方程为：其解为：其解为： dxxdxxV, 0,0