最新数学必修4知识点归纳总结说课材料

1、学习资料数学必修 4 知识点归纳总结第一章三角函数周期现象与周期函数周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0 的常数 T；x 必须是定义域内的任意值；f(x T) f(x) 。练习 :（1）已知函数f(x) 对定义域内的任意x 满足：存在非零常数T，使得 f(x T) f(x) 恒成立。求： f(x 2T) ， f(x 3T)解： f(x 2T) f(xT) T f(x T) f(x)， f(x 3T) f(x 2T) T f(x 2T) f(x)(2) 已知函数f(x)是 R上的周期为5 的周期函数，且f(1)2005, 求 f(11)解： f(11) f(6 5) f(6)f(1 5

2、) f(1)2005(3) 已知函数f(x)是 R上的奇函数，且f(1) 2，f(x 3) f(x)，求 f(8)解： f(8)f(2 2×3) f(2) f( 1 3) f( 1) f(1) 2角的概念的推广1、正角、负角、零角的概念一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向 ( 或顺时针方向 ) 旋转到终止位置OB ，就形成角. 旋转开始时的射线OA叫做角的始边， OB 叫终边，射线的端点 O 叫做叫的顶点。规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角,如果是

3、零角，那么 0°；钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角。过去我们研究了 0° 360° （ 003600 ）范围的角。如果我们将角=300 的终边 OB继续按逆时针方向旋转一周、两周 而形成的角分别得到390°， 750° 的角。角的概念经过这样的推广以后就成为任意角，任意角包括正角、负角和零角2象限角、坐标轴上的角的概念由于角是一个平面图形， 所以今后我们常在直角坐标系内讨论角， 我们使角的顶点与原点重合， 角的始边与 x 轴的非负半轴 ( 包括原点 ) 重合，那么角的终边 ( 除端点外 ) 落在第几象精品文档学习资料限，我们就说这个角

4、是第几象限角限角。 如果角的终边落在坐标轴上，300 °、 60°角都是第四象限角； 585°角是第三象就认为这个角不属于任一象限， 这时称这个角为象限界角或轴线角。例如900 、 2700 、 00 、 1800 等等都是轴线角。3终边相同的角的表示方法如果将终边OB按逆时针方向旋转一圈、两圈 ，分别得到390°， 750° 的角，这些角的终边与30°角的终边相同， 只是转过的圈数不同，它们可以用30°角来表示， 如390°30°十360°，750° 30°十2×

5、 360°由此可以发现， 上面旋转所得到的所有的角( 记为) ，都可以表示成一个 (k Z) 如果我们记集合0° 360° 的角与 k(k Z) 个周角的和，即： 30°十 k·360° S | 30°十 k· 360°， k Z ，容易看出：所有与 30°角终边相同的角，连同30°角 (k 0) 在内，都是集合S 的元素；反过来，集合一个元素显然都与30°角的终边相同。一般的，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S 中的任何，即任意一个与角终边相同的角，

6、都可以表示成角与整数个周角的和。巩固深化，发展思维例 1. 判断下列各角是第几象限角 .(1) 60°； (2)585 °； (3) 950° 12例 2在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用 0° 360°的角表示）.例 3写出与 60°角终边相同的角的集合 S，并把 S 中适合不等式 360° 270°的元素写出来 .弧度制1 1 弧度的角的定义我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1 弧度的角。弧AB的长等于半径r ，则弧AB所对的圆心角就是1 弧度的角，弧度的单位记作rad 。2弧度制的定义：

7、一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0 ；角的弧度数的绝对值|l，其中l 是以角作为圆心角时所对弧的长，rr 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制精品文档学习资料3 角度制与弧度制的换算现在我们知道： 1 周角 360° 2r，所以， 360° 2 rad，由此可以得到 180°rrad ， 1° 0 01745rad ， 1rad（ 180 ）° 57.30 ° 57° 18。180说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180° rad 这一关系式巩固深

8、化，发展思维1例题剖析：例 1把 45°化成弧度。例2把3rad 化成度。S 15例 3利用弧度制证明扇形面积公式lr ，其中 l 是扇形的弧长， r是圆的半径。22课堂练习：3（ 1）填表度0°45°60°180°360°弧度3622说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算（ 2）用弧度制写出终边落在y 轴上和 x 轴上的角集合。练习 1：1、已知锐角终边上一点 P （ 3，4），求角的正弦值。2、已知 P( 2， 3) 是角终边上一点，求sin的值。3、已知角的终边落在直线y2x 上，求 sin 的值。练习

9、 21下列角中终边与330°相同的角是（）A.30 °B.-30 °C.630 °D.-630 °2下列命题正确的是（）A. 终边相同角一定相等B . 第一象限的角都是锐角C. 锐角都是第一象限的角D. 小于 90 的角都是锐角3如果一扇形的弧长为2cm ，半径等于 2cm ，则扇形所对圆心角为（）A B 2C D 3224. 若是第四象限角，则180°+一定是（）精品文档学习资料A. 第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角5一个半径为 R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（）A 121sin 2R2

10、B 1R2 sin 2C 1R2D R21R2 sin 2222226若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在（）2A第一或第三象限B第二或第四象限C 第一或第四象限D 第三或第四象限二、填空题7若三角形的三个内角的比等于2:3:7 ，则各内角的弧度数分别为8将时钟拨快了10 分钟，则时针转了度，分针转了弧度9若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为 _ 10已知是第二象限角，且|2 |4, 则的范围是.三、解答题11. 在 0o 与 360o 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（ 1）120o（ 2） 640o（ 3）950o1212写出角的终边在下图中阴影区域

11、内角的集合（这括边界）（ 1）（ 2）（ 3）13单位圆上两个动点M， N ，同时从 P(10)， 点出发， 沿圆周运动， M 点按逆时针方向旋转弧度秒， N 点按顺时针方向旋转弧度秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和63各自走过的弧度14如图，圆上一点A以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A每分钟转过角（0）， 经过 2 分钟到达第三象限，经过14 分钟回到原来位置，求的大小精品文档学习资料15在扇形 AOB 中，AOB90°，弧 AB 的长为 l ，求此扇形内切圆的面积单位圆与正弦函数在初中，我们学习了锐角的正弦函数值：如图，在直角三角形中对边sin ，斜边如图： sinA a

12、，由于 a 是直角边， c 是斜边，所 sinA (0，1) 。c由于我们通常都是将角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？在直角坐标系中， （如图所示），设角（ 0，）的终边与2 b . 根半经为 r 的圆交于点 P（ a， b），则角的正弦值是： sinr据相似三角形的知识可知，对于确定的角， b 都不会随圆的半经的r改变而改变。为简单起见，令r 1( 即为单位圆 ) ，那么 sin b，也就是说，若角的终边与单位圆相交于 P，则点 P 的纵坐标 b 就是角的正弦函数。直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义你认为该如何定义任意角的正弦函数?一般地， 在直

13、角坐标系中 （如上图），对任意角，它的终边与单位圆交于点P（ a，b），精品文档学习资料我们可以唯一确定点P（ a，b）的纵坐标 b，所以 P 点的纵坐标 b 是角的函数，称为正弦函数，记作 y sin( R)。通常我们用x，y 分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为 y sinx. 正弦函数值有时也叫正弦值 .终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2k ) sin(k Z) ，说明对于任意一个角 ，每增加 2的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2k（ kZ，k0）为正弦函数的周期。2是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。 一

14、般地， 对于周期函数 f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x) 的最小正周期。注意：有些周期函数没有最小正周期。例如f (x)C (C 为常数 ) 是周期函数，其周期 TR（T 0）没有最小正周期。例 1若点 P( 3， y) 是终边上一点，且sin 2 ，求 y 值3例 2若角的顶点为坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在函数y 3x (x 0)的图像上，则 sin。正弦函数y sinx的图像1、正弦函数线MP正弦函数的一种几何表示如右图所示，MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段MP是从 M P，MP与 y 轴正向相同为正数，反之为负数。依正弦

15、定义，有sin MP y，我们把MP叫做的正弦线3、五点作图法：由上图我们不难发现，在函数y=sinx ，x0,2 的图像上，起着关键作用的有以下五个 关键点 ： (0,0) (,1) (,0) (3 ,-1)(2,0) 。描出这五个点后，函22数 y=sinx ， x 0,2 的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点， 然后用光滑曲线将它们连接起来， 就得到这个函数的简图。 我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法” 。巩固深化，发展思维1 例题剖析精品文档学习资料例 1用“五点法”画出下列函数在区间0 ， 2 上的简图。（ 1） y sinx（ 2）y

16、 1 sinx解：（ 1）列表x03222y sinx0-10+10描点得 y sinx的图像：（略，见教材 P22）yy=-sinxxo正弦函数诱导公式1、（公式 1） sin(360k+ ) = sin精品文档学习资料2、对于任一0 到 360 的角，有四种可能（其中为不大于90 的非负角）当0，为第一象限角90 )180当90，）为第二象限角180180当180，）为第三象限角270360当270，）为第四象限角360yP (x,y)P(x,y)oxP(x,-y)3、公式 2：，P (-x,-y)（以下设为任意角）yMox设的终边与单位圆交于点P( x, y) ，则 180 + 终边与单

17、位圆交于点P(- x,- y) ，由正弦线可知： sin(180+ ) =sin4公式 3：如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得： sin() =sin,5、公式4：由公式2 和公式 3 可得：sin(180) = sin180+() =sin() = sin,同理可得： sin(180) = sin,6公式 5： sin(360) =sin巩固深化，发展思维1、例题剖析例1 求下列函数值（ 1） sin( 1650 ) ；（2） sin( 15015 ) ； (3)sin( 7 )4例 2化简：sin 2sin 3sin 3sinsin正弦函数的性质归纳得出结论：1定义域： y=sinx

18、 的定义域为 R2值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx| 1（有界性）再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y sinx的值域为 -1， 1精品文档学习资料3最值： 1 对于 ysinx当且仅当x 2k ,kZ 时 y max 12当且仅当时x 2k , kZ 时 y min 122 当 2k x (2k+1)(kZ) 时 y sinx 0当 (2k-1) x 2k(kZ) 时 y sinx 04周期性：（观察图象）1 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2 规律是：每隔2 重复出现一次（或者说每隔2k ,kZ 重复出现）3 这个规律由诱导公式sin(2k x) sinx也

19、可以说明结论： y sinx 的最小正周期为25. 奇偶性sin( x) sinx (xR)ysinx (xR)是奇函数6单调性x03222sinx 1010 1增区间为 2k ， 2k （kZ），其值从 1 增至 1；22减区间为 2k， 3 2k （kZ），其值从1 减至 1。22例、利用五点法画出函数ysinx 1 的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。练习：sin3sin51、若63 ，则6=。2、若 sin是方程 2x2x 10 的根，求 sin(3) sin() 的值。sin(2) sin(5)3、化简： sin() sin(3) sin() 。4、已知 A、 B、 C 是AB

20、C 的内角，求证：sin(2 ABC )sin A 。5、若点 P 在 2的终边上，且OP=2，则点 P 的坐标（）3精品文档学习资料A (1,3)B (3, 1)C( 1, 3)D( 1,3)6、若 是三角形的内角，且1，则等于（）sin2A 30B 30或150C 60D 120或 607、下列函数中，最小值为1 的是（）A y2sin x1B ycos1C y1 2sin xD y2cos x8、将函数 y sin 4x 的图象向左平移个单位，得到y sin( 4x) 的图象，则等于 (12)A 12BCD33129、下列四个命题中，正确的是( )A 第一象限的角必是锐角B锐角必是第一象

21、限的角C终边相同的角必相等D第二象限的角必大于第一象限的角10、用五点法作y2sin 2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是()A 0,3,2B0, ,3C0,2,3 ,4,2244D 0, 2632311. sin xt3,则 t的取值范围是12.函数 ysin( 2x) 取最大值时 x 的集合是613.函数 y3sin( 2x)1的周期是；值域是614.函数 y3sin(x)2 的周期是2，则常数=615.函数 ysin x 的递增区间是；递减区间是16.函数 ysin x 的递增区间是；递减区间是17.函数 ysin( 2x)1 的递增区间是418.函数 ysin(2x)1的递增

22、区间是（注意 7， 8两题的区3别）精品文档学习资料19.下列函数中，奇函数是偶函数是非奇非偶函数是（1） ysin x ； （ 2） y sin x1； （3） y xsin x ； （ 4） y x2sin x（5） ysin x2x ； （ 6） ysin x 5 ； （ 7）sin x sin x sin x2余弦函数的概念和诱导公式1余弦函数的定义：在直角坐标系中，设任意角与单位圆交于点那么点 P 的横坐标a 叫做角余弦函数，记作：a cos( R).通常我们用x， y 分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示为 ycosx(x R).如图，有向线段OM称为角 的余弦线。P（a， b）

23、 ,yrP(a， b)MOx其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角的终边上任意一点P 的坐标（ a， b），求出 |OP| ，记为 r ，则角的正弦和余弦分别为：sin b ， cos a .yrr2余弦函数的诱导公式从右图不难看出， 角，2 （， ）的终边x和角 2与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；角 和角 ， 的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，所以，它们的余弦函数值互为相反数。y由此归纳出公式：cos(2) cosP(x,y)cos( ) cosMMxocos(2) coscos() cosPcos() cos观察右图，角与角的正弦、余弦函数值可以得到

24、：2精品文档学习资料sin( ) coscos() sin22以上公式统称为诱导公式，其中可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。y巩固深化，发展思维2x1、例题剖析例 1已知角的终边经过点 P（ 2， 4） ( 如图 ) ，求角的余弦 4函数值。P解： x 2， y 4 ， r |OP| 2 5cos x 5r5例 2如果将例 1中点 P 的坐标改为（2t ， 4t ）(t 0) ，那么怎样求角的余弦函数值。解： ( 提示：在 r |OP| 25 |t|中，分 t 0 和 t 0 两种情况）例 3求值：（ 1） cos 11（2） cos 9（

25、 3） cos( 3)684例 4化简：cos 2cos 3。coscos 3cos余弦函数的图像与性质探究新知1余弦函数 y cosx 的图像（1） y cosx, xR 与函数 y sin(x ) xR 的图象相同2（2）将 y sinx的图象向左平移即得 y cosx 的图象2（3）也同样可用五点法作图： y cosx x0,2 的五个点关键是 (0,1) (,0) (,-1)2( 3,0) (2,1)2精品文档学习资料（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质 ycosx x 2k ,2(k+1) 与 y cosx x 0,2 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移 kZ,k0 的图像

26、2个单位长度）2余弦函数y cosx 的性质观察上图可以得到余弦函数y cosx 有以下性质：（ 1）定义域： y=cosx 的定义域为 R（ 2）值域： y=cosx 的值域为 1,1 ，即有 |cosx| 1（有界性）(3)最值：对于y cosx当且仅当x 2k ,kZ 时y max 1当且仅当时x 2k, kZ 时ymin 1当 2k -<x<2k +(kZ) 时y=cosx>022当 2k +<x<2k + 3 2 2(kZ) 时y=cosx<0(4) 周期性： y cosx 的最小正周期为 2(5) 奇偶性cos( x) cosx (xR)ycos

27、x (xR)是偶函数(6) 单调性增区间为 （ 2k 1）， 2k （kZ），其值从 1 增至 1；减区间为 2k ，（ 2k 1） （kZ），其值从 1 减至 1。巩固深化，发展思维例请画出函数ycosx1 的简图，并根据图像讨论函数的性质。精品文档学习资料练习1、 在下列各区间上，函数ycos 2x 单调递减的区间是A ,4B,3C 0,2D ,44422、（ 1）函数 yx) 的单调增区间是 _ ；2 cos(233、函数 ycos x, x R 图象的一条对称轴是（）Ax轴B y 轴C直线直线 xxD24、不等式 cos x0, x0,2的解集为（）A 0,B 0,C,3D322,22

28、5、已知 f ( x)cos x( xR) ，下面结论错误的是（）A.函数 f ( x) 的最小正周期是 2B.函数 f ( x) 在区间 0, 上是增函数2C.函数 f ( x) 的图像关于 x 0 对称 D.函数 f (x) 是奇函数6、 ycos(2 x) , 当 x=_时， ymin_ ；3当 x=_时， ymax_ ；正切函数的定义、图像及性质1、正切函数的定义：在直角坐标系中，如果角满足： R， k(k Z) ，那么，角的终边与单位2圆交于点 P（ a， b），唯一确定比值b . 根据函数定义，比值b 是角 的函数，我们把它叫aa作角 k， kZ.的正切函数，记作 y tan，其中

29、 R， 2比较正、余弦和正切的定义，不难看出： k， kZ).tan sin( R，cos2由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。y下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.30 T精品文档oxPA210学习资料如右图，单位圆与x 轴正半轴的交点为 A（ 1 ,0 ），任意角 的终边与单位圆交于点P，过点 A（ 1 ,0 ）作 x 轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T 点。从图中可以看出：当角T 点位于 x 轴的上方；位于第一和第三象限时，当角 位于第二和第四象限时，T 点位于 x 轴的下方。分析可以得知，不论角的终边在第几象限，都可以构造两

30、个相似三角形，使得角的正切值与有向线段AT 的值相等。因此，我们称有向线段AT为角 的正切线。2正切函数的图象（1）首先考虑定义域：xkkz2（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：sin xsin x, k ztan xtan x x R,且 x kcos xcos x2 ytan x xR, 且 xk, kz 的周期为 T（最小正周期）2（3）因此我们可选择,的区间作出它的图象。22根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数ytan xxR ，且xkkz 的图像，称“正切曲线”y2303x2222精品文档学习资料从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x k(k Z)

31、隔开的无穷多支2曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。3正切函数y tanx 的性质（1）定义域：x | xk,kz，2（2）值域： R观察：当 x 从小于 kkz ， xk时，22当 x 从大于k kz ， xk时，22（3）周期性： T（4）奇偶性： tan xtan x 奇函数。tan xtan x。（ 5）单调性：在开区间k,kkz 内，函数单调递增。22例 2、求函数 ytan(x)的定义域、值域和单调区间 .解：4t tR且 tk +Zxk,设 tx,则 ytan t的定义域为, kxk42424因此，函数的定义域是x xR且 xk, kZ值域 :R4Q ytan t的单调增区间是-k ,k, kZkxk322242kxk434函数的单调增区间是k, k, k Z44正切函数的诱导公式观察下图，角与角2， 2，的正切函数值有何关系？y303x2222精品文档学习资料我们可以归纳出以下公式：，tan(2 ) tan tan( ) tan tan(2 ) tan tan( ) tan tan( ) tan 巩固深化，发展思维例化简：tan 2tan 3