2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5讲　第2课时　高效演练分层突破

1、 基础题组练 1直线 yx2 与椭圆x2my231 有两个公共点，则 m 的取值范围是( ) a(1，) b(1，3)(3，) c(3，) d(0，3)(3，) 解析：选 b由yx2，x2my231，得(m3)x24mxm0.由 0 且 m3 及 m0 得 m1且 m3. 2设直线 ykx 与椭圆x24y231 相交于 a，b 两点，分别过 a，b 两点向 x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则 k 等于( ) a32 b23 c12 d2 解析：选 a由题意可知，点 a 与点 b 的横坐标即为焦点的横坐标，又 c1，当 k0时，不妨设 a，b 两点的坐标分别为(1，y1)，(1，y2)，

2、代入椭圆方程得 y132，y232，解得 k32；同理可得当 k0 时 k32. 3过椭圆x25y241 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 a，b 两点，o 为坐标原点，则oab 的面积为( ) a43 b53 c54 d103 解析：选 b由题意知椭圆的右焦点 f 的坐标为(1，0)，则直线 ab 的方程为 y2x2.联立x25y241，y2x2，解得交点 a(0，2)，b53，43，所以 soab12 |of| |yayb|12124353，故选 b 4已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)与直线 yx3 只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆 c 的方程为( ) a4

3、x225y251 bx25y241 cx29y251 dx225y2201 解析：选 b将直线方程 yx3 代入 c 的方程并整理得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由椭圆与直线只有一个公共点得，(6a2)24(a2b2)(9a2a2b2)0，化简得 a2b29.又由椭圆的离心率为55，所以caa2b2a55，则b2a245，解得 a25，b24，所以椭圆的方程为x25y241. 5(2020 石家庄质检)倾斜角为4的直线经过椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 f，与椭圆交于 a，b 两点，且af2fb，则该椭圆的离心率为( ) a32 b23 c22 d33 解析：选 b由题可

4、知，直线的方程为 yxc，与椭圆方程联立x2a2y2b21，yxc，得(b2a2)y22b2cyb40，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则 0.设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y22b2ca2b2，y1y2b4a2b2，又af2fb，所以(cx1，y1)2(x2c，y2)，所以y12y2，可得y22b2ca2b2，2y22b4a2b2.所以124c2a2b2，所以 e23，故选 b 6已知椭圆y2a2x2b21(ab0)的右顶点为 a(1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为_ 解析：因为椭圆y2a2x2b21 的右顶点为 a(1，0)，所以 b1，焦点坐

5、标为(0，c)，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为 1，所以2b2a1，a2，所以椭圆方程为y24x21. 答案：y24x21 7已知椭圆x22y21 与直线 yxm 交于 a，b 两点，且|ab|4 23，则实数 m 的值 为_ 解析：由x22y21，yxm消去 y 并整理，得 3x24mx2m220.设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 x1x24m3，x1x22m223.由题意，得2(x1x2)28x1x24 23， 解得 m 1. 答案： 1 8已知直线 l：yk(x1)与椭圆 c：x24y21 交于不同的两点 a，b，ab 中点横坐标为12，则 k_ 解析：设 a(x1，y1)，b

6、(x2，y2)，由yk(x1)，x24y21，得(4k21)x28k2x4k240，因为直线 l 过椭圆内的定点(1，0)，所以 0，x1x28k24k21，所以x1x224k24k2112，即 k214，所以 k12. 答案：12 9设 f1，f2分别是椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，m 是 c 上一点且 mf2与 x 轴垂直，直线 mf1与 c 的另一个交点为 n. (1)若直线 mn 的斜率为34，求 c 的离心率； (2)若直线 mn 在 y 轴上的截距为 2，且|mn|5|f1n|，求 a，b. 解：(1)根据 ca2b2及题设知 mc，b2a，b2a2c34，

7、2b23ac. 将 b2a2c2代入 2b23ac，解得ca12，ca2(舍去)故 c 的离心率为12. (2)由题意，原点 o 为 f1f2的中点，mf2y 轴，所以直线 mf1与 y 轴的交点 d(0，2)是线段 mf1的中点， 故b2a4，即 b24a. 由|mn|5|f1n|得|df1|2|f1n|. 设 n(x1，y1)，由题意知 y10，则 2(cx1)c，2y12，即x132c，y11. 代入 c 的方程，得9c24a21b21. 将及 c a2b2代入得9(a24a)4a214a1. 解得 a7，b24a28，故 a7，b2 7. 10已知椭圆 c 的两个焦点为 f1(1，0)

8、，f2(1，0)，且经过点 e3，32. (1)求椭圆 c 的方程； (2)过 f1的直线 l 与椭圆 c 交于 a，b 两点(点 a 位于 x 轴上方)，若af12f1b，求直线l 的斜率 k 的值 解：(1)由2a|ef1|ef2|4，a2b2c2，c1，解得a2，c1，b 3， 所以椭圆 c 的方程为x24y231. (2)由题意得直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)，联立，得yk(x1)，x24y231， 整理得3k24 y26ky90， 144k21440，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 y1y26k34k2，y1y29k234k2，又af12f1b，所以 y12y2

9、，所以 y1y22(y1y2)2，则 34k28，解得 k52，又 k0，所以 k52. 综合题组练 1 设 f1， f2分别是椭圆x24y21 的左、 右焦点， 若椭圆上存在一点 p， 使(opof2) pf20(o 为坐标原点)，则f1pf2的面积是( ) a4 b3 c2 d1 解析：选 d因为(opof2) pf2(opf1o) pf2f1ppf20，所以 pf1pf2，f1pf290 .设|pf1|m， |pf2|n， 则 mn4， m2n212， 2mn4， mn2， 所以 sf1pf212mn1. 2直线 l 过椭圆x22y21 的左焦点 f，且与椭圆交于 p，q 两点，m 为

10、pq 的中点，o为原点，若fmo 是以 of 为底边的等腰三角形，则直线 l 的斜率为( ) a22 b22 c32 d32 解析：选 b由x22y21，得 a22，b21，所以 c2a2b2211，则 c1，则左焦点 f(1，0)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不等于 0，设直线 l 的方程为 ykxk.设 l 与椭圆交于点 p(x1，y1)，q(x2，y2)，联立x22y21，ykxk得(2k21)x24k2x2k220.则 pq 的中点 m 的横坐标为x1x222k22k21.因为fmo 是以 of 为底边的等腰三角形， 所以2k22k2112，解得 k22. 3从椭圆x2a2y2b2

11、1(ab0)上一点 p 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 f1，a 是椭圆与x 轴正半轴的交点，b 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 abop(o 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_ 解析：由题意可设 p(c，y0)(c 为半焦距)，kopy0c，kabba，由于 opab，所以y0cba，y0bca，把 pc，bca代入椭圆方程得(c)2a2bca2b21， 所以ca212，所以 eca22. 答案：22 4.如图，椭圆的中心在坐标原点 o，顶点分别是 a1，a2，b1，b2，焦点分别为 f1，f2，延长 b1f2与 a2b2交于 p 点，若b1pa2为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为_ 解

12、析：设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，b1pa2为钝角可转化为b2a2，f2b1所夹的角为钝角，则(a，b) (c，b)0，得 b2ac，即 a2c2ac，故ca2ca10 即 e2e 10，e512或 e 512，又 0e1，所以512e1. 答案：512，1 5已知 f1，f2是椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的左，右两个焦点，|f1f2|4，长轴长为6，又 a，b 分别是椭圆 c 上位于 x 轴上方的两点，且满足af12bf2. (1)求椭圆 c 的方程； (2)求四边形 abf2f1的面积 解：(1)由题意知 2a6，2c4，所以 a3，c2， 所以 b2a2c25，所

13、以椭圆 c 的方程为x29y251. (2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，又 f1(2，0)，f2(2，0)， 所以af1(2x1，y1)，bf2(2x2，y2)， 由af12bf2，得 x122(x22)，y12y2. 延长 ab 交 x 轴于 h，因为af12bf2，所以 af1bf2，且|af1|2|bf2|.所以线段 bf2为af1h 的中位线，即 f2为线段 f1h 的中点，所以 h(6，0)设直线 ab 的方程为 xmy6， 代入椭圆方程，得 5(my6)29y245，即(5m29)y260my1350. 所以 y1y260m5m293y2，y1y21355m292y22

14、， 消去 y2，得 m292325，结合题意知 m9 35. s四边形abf2f1saf1hsbf2h12|f1h|y112|f2h|y24y12y28y22y26y2 120m5m2915 34. 6(2020 安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的焦点坐标分别为f1(1，0)，f2(1，0)，p 为椭圆 c 上一点，满足 3|pf1|5|pf2|且 cosf1pf235. (1)求椭圆 c 的标准方程； (2)设直线 l：ykxm 与椭圆 c 交于 a，b 两点， 点 q14，0 ，若|aq|bq|，求 k 的取值范围 解：(1)由题意设|pf1|r1，|pf2|r2，则 3r15r2，又 r1r22a，所以 r154a，r234a. 在pf1f2中，由余弦定理得，cosf1pf2r21r22|f1f2|22r1r254a234a222254a34a35， 解得 a2，因为 c1，所以 b2a2c23，所以椭圆 c 的标准方程为x24y231. (2)联立方程，得x24y231ykxm，消去 y 得(34k2)x28kmx4m2120，设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 x1x28km34k2，x1x24m21234k2，且 48(34