2022届高三数学一轮复习（原卷版）第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

1、第 1 讲任意角和弧度制及任意角的三角函数一、知识梳理1任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 s|k360，kz2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.(2)公式角的弧度数公式|lr角度与弧度的换算

2、1180rad，1 rad1805718弧长公式l|r扇形面积公式s12lr12|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 p(x，y)，那么y 叫做的正弦， 记作 sinx 叫做的余弦，记作cos yx叫做的正切，记作tan 各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦常用结论1象限角2轴线角3三角函数定义的推广设点 p(x，y)是角终边上任意一点且不与原点重合，r|op|，则 sin yr，cos xr，tanyx.二、教材衍化1角225_弧度，这个角在第_象限答案：54二2设角的终边经过点 p(4，3)，那么 2cos

3、 sin _答案：1153一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点 p 的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)终边相同的角的同一三角函数值相等()(5)若0，2 ，则 tan sin .()(6)若为第一象限角，则 sin cos 1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏常见误区|(1)终边相同的角理解出错；(2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限1下列与94的终边相同的角的表达式中

4、正确的是()a2k45(kz)bk36094(kz)ck360315(kz)dk54(kz)解析：选 c由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为42k或 k36045(kz).2若 sin 0，且 tan 0，则是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析：选 c由 sin 0 知的终边在第三、第四象限或 y 轴的非正半轴上；由 tan 0 知的终边在第一或第三象限，故是第三象限角故选 c3已知角的终边在直线 yx 上，且 cos 0，则 tan _解析：如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上任取一点 p(x，y)，则 yx，由三角函数的定义得 tan yx

5、xx1.答案：1考点一任意角与弧度制(基础型)复习指导|了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化核心素养：数学抽象角度一象限角及终边相同的角1给出下列四个命题：34是第二象限角；43是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确命题的个数为()a1b2c3d4解析：选 c34是第三象限角，故错误；433，所以43是第三象限角，故正确；40036040，所以400是第四象限角，故正确；31536045，所以315是第一象限角，故正确，故选 c2若角是第二象限角，则2是()a第一象限角b第二象限角c第一或第三象限角d第二或第四象限角解析：选 c因为是第二象限角，所以22k2k

6、，kz，所以4k22k，kz.当 k 为偶数时，2是第一象限角；当 k 为奇数时，2是第三象限角所以2是第一或第三象限角3集合 |k4k2，kz中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选 c当 k2n(nz)时，2n42n2，此时表示的范围与42表示的范围一样；当 k2n1(nz)时，2n42n2，此时表示的范围与42表示的范围一样，故选 c4在7200范围内所有与 45终边相同的角为_解析：所有与 45终边相同的角可表示为：45k360(kz)，则令72045k3600(kz)，得765k36045(kz)，解得765360k45360(kz)，从而 k2 和 k1，代入得675和315.

7、答案：675和3155终边在直线 y 3x 上，且在2，2)内的角的集合为_解析：如图，在坐标系中画出直线 y 3x，可以发现它与 x 轴的夹角是3，在0，2)内，终边在直线 y 3x 上的角有两个：3，43；在2，0)内满足条件的角有两个：23，53，故满足条件的角构成的集合为53，23，3，43 .答案：53，23，3，43(1)表示区间角的三个步骤先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和， 写出最简区间；起始、终止边界对应角，再加上 360的整数倍，即得区间角集合(2)象限角的两种判断方法图象法： 在平面直角坐标系中， 作出已

8、知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；转化法：先将已知角化为 k360(0360，kz)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角的终边所在的象限判断已知角是第几象限角提醒注意“顺转减，逆转加”的应用，如角的终边逆时针旋转 180可得角180的终边，类推可知k180(kz)表示终边落在角的终边所在直线上的角角度二扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是 ，半径为 r，弧长为 l.(1)若60，r10 cm，求扇形的弧长 l；(2)若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)603，l103103(cm)(2)由已知得，l2r20，则 l20

9、2r，0r0，cos tan 0，得的终边落在第一或第三象限，由 cos tan cos sin cos sin 0，得的终边落在第三或第四象限，综上的终边落在第三象限故选 c【答案】c三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况1(2020江西九江一模)若 sin x0，则角 x 是()a第一象限角b第二象限角c第三象限角d第四象限角解析：选 d因为1cos x1，且 sin(cos x)0，所以 0cos x1，又 sin x0，所以角 x 为

10、第四象限角，故选 d2点 p 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动23弧长到达 q 点，则 q 点的坐标为()a12，32b32，12c12，32d32，12解析：选 a由三角函数定义可知 q 点的坐标(x，y)满足 xcos2312，ysin2332.所以 q 点的坐标为12，32 .3若角的终边落在直线 yx 上，则sin |cos |sin |cos _解析：因为角的终边落在直线 yx 上，所以角的终边位于第二或第四象限当角的终边位于第二象限时，sin |cos |sin |cos sin cos sin cos 0；当角的终边位于第四象限时，sin |cos |sin |cos s

11、in cos sin cos 0.所以sin |cos |sin |cos 0.答案：0基础题组练1(多选)下列与角23的终边相同的角是()a143b2k23(kz)c2k23(kz)d(2k1)23(kz)解析：选 ac与角23的终边相同的角为 2k23(kz)，k2 时，423143.2已知点 p(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限解析：选 b由题意知 tan 0，cos 0，根据三角函数值的符号规律可知，角的终边在第二象限故选 b3若角的终边在直线 yx 上，则角的取值集合为()a|k36045，kzb|k234，kzc|k18034

12、，kzd|k4，kz解析：选 d由图知，角的取值集合为|2n34，nz|2n4，nz|(2n1)4，nz|2n4，nz|k4，kz4已知角的始边与 x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角终边上的一点 p 到原点的距离为 2，若4，则点 p 的坐标为()a(1， 2)b( 2，1)c( 2， 2)d(1，1)解析：选 d设点 p 的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得sin4y2，cos4x2，即x 2cos41，y 2sin41.故点 p 的坐标为(1，1)5已知点 p(sin xcos x，3)在第三象限，则 x 的可能区间是()a2，b4，34c2，2d34，4解析：选 d由点 p(si

13、n xcos x，3)在第三象限，可得 sin xcos x0，即 sin xcos x，所以342kx42k，kz.当 k0 时，x 所在的一个区间是34，4 .6已知是第二象限角，p(x， 5)为其终边上一点，且 cos 24x，则 x_解析：因为 cos xx2524x，所以 x0 或 x 3或 x 3，又是第二象限角，所以 x 3.答案： 37若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_解析：设圆半径为 r，则圆内接正方形的对角线长为 2r，所以正方形边长为2r，所以圆心角的弧度数是2rr 2.答案： 28已知点 p(sin ，cos )是角终边上的一点，其中23，则与角

14、终边相同的最小正角为_解析：因为23，故 p32，12 ，故为第四象限角且 cos 32，所以2k116，kz，所以与角终边相同的最小正角为116.答案：1169已知1|sin |1sin ，且 lg(cos )有意义(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点 m35，m，且|om|1(o 为坐标原点)，求 m 的值及 sin 的值解：(1)由1|sin |1sin ，得 sin 0，所以是第四象限角(2)因为|om|1，所以352m21，解得 m45.又为第四象限角，故 m0，从而 m45，sin yrm|om|45145.10.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，角的始边与 x 轴的

15、非负半轴重合且与单位圆相交于 a 点，它的终边与单位圆相交于 x 轴上方一点 b，始边不动，终边在运动(1)若点 b 的横坐标为45，求 tan 的值；(2)若aob 为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合解：(1)由题意可得 b45，35 ，根据三角函数的定义得 tan yx34.(2)若aob 为等边三角形，则aob3，故与角终边相同的角的集合为|32k，kz.综合题组练1 (2020河北唐山第二次模拟)已知角的顶点为坐标原点， 始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上一点 a(2sin ，3)(sin 0)，则 cos ()a12b12c32d32解析：选 a由三角函数定义得 tan 32

16、sin ，即sin cos 32sin ，得 3cos 2sin22(1cos2)，解得 cos 12或 cos 2(舍去)故选 a2(2018高考北京卷)在平面直角坐标系中， ab， cd， ef，gh是圆 x2y21 上的四段弧(如图)，点 p 在其中一段上，角以 ox 为始边，op 为终边若 tan cos sin ，则 p 所在的圆弧是()aabbcdcefdgh解析：选 c设点 p 的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得yxxy，所以 x0，所以 p 所在的圆弧是ef，故选 c3(创新型)已知圆 o 与直线 l 相切于点 a，点 p，q 同时从 a 点出发，p 沿着直线 l 向右

17、运动，q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当 q 运动到点 a 时，点 p 也停止运动，连接 oq，op(如图)，则阴影部分面积 s1，s2的大小关系是_解析：设运动速度为 m，运动时间为 t，圆 o 的半径为 r，则aqaptm，根据切线的性质知 oaap，所以 s112tmrs扇形aob，s212tmrs扇形aob，所以 s1s2恒成立答案：s1s24(创新型)(2020四川乐山、峨眉山二模)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12(弦矢矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长， “矢”指半径长与圆心到弦的距离之

18、差现有圆心角为23，半径长为 4 的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为_解析：由题意可得aob23，oa4.在 rtaod 中，易得aod3，dao6，od12oa1242，可得矢422.由 adaosin34322 3，可得弦 ab2ad4 3.所以弧田面积12(弦矢矢2)12(4 3222)4 32.答案：4 325若角的终边过点 p(4a，3a)(a0)(1)求 sin cos 的值；(2)试判断 cos(sin )sin(cos )的符号解：(1)因为角的终边过点 p(4a，3a)(a0)，所以 x4a，y3a，r5|a|，当 a0 时，r5a，sin cos 15.当 a0 时，r5a，sin cos 15.(2)当 a0 时，sin 350，2 ，cos 452，0，则 cos(sin )sin(cos )cos35sin45 0；当 a0 时，sin 352，0，cos 450，2 ，则 cos(sin )sin(cos )cos35 sin450.综上，当 a0