2022届高三数学一轮复习（原卷版）第7节 定积分与微积分基本定理 教案

1、1第七节第七节定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义1定积分的有关概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1，2，n)，作和式 ni1f(i)xni1banf(i)，当 n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作错误错误!f(x)dx，即错误错误!f(x)dxlimnni1banf(i)在错误错误!f(x)dx 中，a 与 b 分别叫做积分下限与

2、积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式(2)定积分的几何意义图形阴影部分面积s错误错误!f(x)dxs错误错误!f(x)dxs错误错误!f(x)dx错误错误!f(x)dxs错误错误!f(x)dx错误错误!g(x)dx错误错误!f(x)g(x)dx22.定积分的性质(1)错误错误!kf(x)dxk错误错误!f(x)dx(k 为常数)；(2)错误错误!f1(x)f2(x)dx错误错误!f1(x)dx错误错误!f2(x)dx；(3)错误错误!f(x)dx错误错误!f(x)dx错误错误!f(x)dx(其中 acb)3微积分基本定理一般地

3、，如果 f(x)是在区间a，b上的连续函数，且 f(x)f(x)，那么错误错误!f(x)dxf(b)f(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式其中 f(x)叫做 f(x)的一个原函数为了方便，常把 f(b)f(a)记作 f(x)|ba，即错误错误!f(x)dxf(x)|baf(b)f(a)常用结论函数 f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若 f(x)为偶函数，则错误错误!f(x)dx2错误错误!f(x)dx(2)若 f(x)为奇函数，则错误错误!f(x)dx0一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)设函数 yf(x)在区间a，b上连续，则错误错误!f(x)dx错误

4、错误!f(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积()(3)若错误错误!f(x)dx0，那么由 yf(x)的图象，直线 xa，直线 xb 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方()答案(1)(2)(3)二、教材改编1已知质点的速率 v10t，则从 t0 到 tt0质点所经过的路程是()a10t20b5t20c.103t20d.53t203bs错误错误!vdt错误错误!10tdt5t2|0t05t20.2.错误错误!1x1dx_1错误错误!1x1dxln(x1)|e12ln eln 11.3.错误错误!1x2dx_4错误错误!1x2dx 表示由直线 x0，x1，y0 以及曲线 y 1x

5、2所围成的图形的面积，错误错误!1x2dx4.4曲线 yx2与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为_16如图，阴影部分的面积即为所求由yx2，yx，得 a(1，1)故所求面积为 s错误错误!(xx2)dx12x213x31016.考点 1定积分的计算计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和1.计算错误错误!x1x dx 的值为()4a.34b.32ln 2c.52ln 2d3ln 2b错误错

6、误!x1x dx12x2ln x|212ln 21232ln 2.故选 b.2.错误错误!(sin xcos x)dx_2错误错误!(sin xcos x)dx(cos xsin x)|0112.3.错误错误!|x1|dx_12错误错误!|x1|dx错误错误!(1x)dxx12x2|1011212.运用微积分基本定理求定积分时的 4 个关键点(1)对被积函数要先化简，再求积分(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分(4)注意用“f(x)f(x)”检验积分的对错考点 2定积分的几何意义(1)根

7、据题意画出图形(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和(4)计算定积分，写出答案利用定积分的几何意义计算定积分(1)计算：错误错误!32xx2dx_(2)若错误错误!x22xdx4，则 m_(1)(2)1(1)由定积分的几何意义知，错误错误!32xx2dx 表示圆(x1)2y24 和 x1，x3，y0 围成的图形的5面积，错误错误!32xx2dx144.(2)根据定积分的几何意义错误错误!x22xdx 表示圆(x1)2y21 和直线 x2，xm 和 y0 围成的图形的面积，又错误错误!x22xdx4为四分之一圆的面积，结合图形知 m

8、1.正确画出定积分所对应的几何图形是解决此类问题的关键求平面图形的面积由曲线 xy1，直线 yx，y3 所围成的封闭平面图形的面积为_4ln 3由 xy1，y3，可得 a(13，3)由 xy1，yx，可得 b(1，1)，由 yx，y3，得 c(3，3)，由曲线 xy1，直线 yx，y3 所围成图形的面积为逆向问题已知曲线 yx2与直线 ykx(k0)所围成的曲边图形的面积为43，则 k_2由yx2，ykx，得x0，y0或xk，yk2，则曲线 yx2与直线 ykx(k0)所围成的曲边梯形的面积为错误错误!(kxx2)dxk2x213x3|k0k3213k343，6即 k38，所以 k2.利用定积

9、分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论1.曲线 yx2，y x与 x 轴所围成的面积为_76如图所示，由 y x及 yx2 可得交点横坐标为 x1.由定积分的几何意义可知，由 y x，yx2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为错误错误!xdx错误错误!(x2)dx23x32|102xx22 |2176.2.如图所示，由抛物线 yx24x3 及其在点 a(0，3)和点 b(3，0)处的切线所围成图形的面积为_94由 yx24x3，得 y2x4，y|x04，y|x32，抛物线在 a 点处的切线方程为 y4x3，在 b 点处的切线方程为 y2x6，

10、联立方程y4x3，y2x6，解得x32，y3，两切线交点的横坐标为32，考点 3定积分在物理中的应用7定积分在物理中的 2 个应用(1)求物体做变速直线运动的路程， 如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 s错误错误!v(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力 f(x)的作用下，沿着与 f(x)相同方向从 xa 运动到 xb 时，力 f(x)所做的功是 w错误错误!f(x)dx.(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t251t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(

11、)a125ln 5b825ln113c425ln 5d450ln 2(2)一物体在变力 f(x)5x2(力单位：n，位移单位：m)作用下，沿与 f(x)成 30方向作直线运动，则由 x1 运动到 x2 时，f(x)做的功为()a. 3 jb.2 33jc.4 33jd2 3 j(1)c(2)c(1)由 v(t)73t251t0， 可得 t4t83舍去， 因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s，在此期间行驶的距离为错误错误!v(t)dt错误错误!73t251t dt7t32t225ln（1t）|40425ln 5.(2)变力 f 在位移方向上的分力为 fcos 30，故 f(x)做的功为 w错误错误!(5x2)cos 30dx32错误错误!(5x2)dx32(5x13x3)|214 33.(1)定积分在物理中的应用，其本质是定积分的计算(2)如果做变速直线运动的物体的速度 v 关于时间 t 的函数是 vv(t)(v(t)0)，那么物体从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 s错误错误!v(t)dt.物体 a 以速度 v3t21(t 的单位：s，v 的单位：m/s)在一直线上运8动， 在此直线上与物体 a 出发的同时， 物体 b 在物体 a