2022届高三数学一轮复习（原卷版）考点16 二次函数与幂函数（原卷版）

1、考点16 二次函数与幂函数【命题解读】二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】 1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当<0时，幂函数的图象都过点(1

2、，1)，且在(0，)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数yax2bxc(a>0)yax2bxc(a<0)图象(抛物线)定义域r值域对称轴x顶点坐标奇偶性当b0时是偶函数，当b0时是非奇非偶函数单调性在上是减函数；在上是增函数在上是增函数；在上是减函数常用结论与微点提醒1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f(x)ax2b

3、xc(a0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.1、幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的大致图象是()2、已知a，b，cr，函数f (x)ax2bxc.若f (0)f (4)>f (1)，则()aa>0,4ab0ba<0,4ab0ca>0,2ab0da<0,2ab03、若二次函数ykx24x2在区间1，2上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()a2，) b(2，)

4、c(，0) d(，2)4、若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围为()a(0，4 b.c. d.5、不等式x2+a|x|+40对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）a0，+）b4，+）c4，4d（，46、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是 考向一幂函数的图像与性质1幂函数yf(x)的图像过点(4,2)，则幂函数yf(x)的解析式为_2图中曲线是幂函数yx在第一象限的图像已知取±2，±四个值，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的值依次为_3已知函数f(x)(m2m1)x5m3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在

5、(0，)上是增函数？变式1、已知幂函数f(x)(n22n2)x(nz)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()a3b1c2 d1或2变式2、若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()aa<b<c bc<a<bcb<c<a db<a<c方法总结：(1)幂函数的形式是yx(r)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其

6、单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键考向二 一元二次函数的解析式例2、（2）设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是_(填序号)（2）已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是_（3）已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式变式1变式、已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xr，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式

7、的形式，一般选择规律如下：考向三 根的分布问题例3、(2019苏州期末）、已知函数（1）若的两个零点均小于2，求实数a的取值范围；（2）方程在上有且只有一个实根，求实数a的取值范围变式1、(2017苏锡常镇调研） 已知函数，若有一个小于1与一个大于2的两个零点，求实数a的取值范围 变式2、 已知函数，方程在上有实根，求实数a的取值范围变式3、(2019常州期末）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是 方法总结：对于一元二次函数根的分布问题，主要就是根据条件正确列出等价条件。可以从一元二次函数的开口、对称轴和关键的点等入手。考向四 一元二次函数的最值问题例4、已知函数y4x212x3当xr时，

8、值域为_；当x2，3时，值域为_；当x1，5时，值域为_2若函数yx22x3在区间0，m上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围3求函数f(x)x22ax在区间0，1上的最小值变式1、（2019年泰州中学期末试题）求二次函数在区间上的最大值变式2、函数f(x)x24x1在区间t，t1(tr)上的最大值为g(t)(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值方法总结：二次函数在给定区间上的最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的图像和单调性，根据对称轴在区间的左边(包括端点)、内部和右边(包括端点)三种情况分类讨论即可获

9、解考向五 一元二次函数的恒成立问题例5、已知函数f(x)x2x1，在区间1，1上，不等式f(x)>2xm恒成立，则实数m的取值范围是_变式1、若t2kt10在t1，1上恒成立，求实数k的取值范围变式2、（苏北四市、苏中三市三调）已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为 方法总结：(1)、“任意-任意”型这类问题的表现形式为：，不等式成立.(2)、“任意-存在”型这类问题的表现形式有二：，等式成立. ，不等式成立.这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为：1、；2、；3、“存在-存在”型这类问题的表现形式有二：，等式成立. ，不等式成立.总结：这种双主元的“存在-存在”型问题的转化策略为：1、（2020江苏7）已知是奇函数，当时，则的值是 2、(2016全国iii) 已知，则a b c d3、（2020浙江9）已知且，若在上恒成立，则（ ）abcd4、(多选)已知函数f(x)|x22axb|(xr)，给出下列命题，其中是真命题的是()a若a2b0，则f(x)在区间a，)上是增函数b存在ar，使得f(x)为偶函数c若f(0)f(2)，则f(x)的图象关于x1对称d若a2b20，则函数h(x)f(x)2有2个零点5、(2018上海)已知，若幂函数为