整式的乘除与因式分解

1、整式的乘除与因式分解一、学习目标：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。5.掌握因式分解的常用方法。二、知识点总结：1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如：22a bc 的系数为2，次数为40，单独的一个非零数的次数是。2、 多项式： 几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如 ： a 22ab x

2、 1 ， 项 有a2 、2ab 、 x 、 1 ， 二 次 项 为 a 2 、2ab ，一次项为 x，常数项为1，各项次数分别为2， 2，1， 0，系数分别为 1， -2， 1， 1，叫二次四项式。3、 整式： 单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4am anam n （m, n都是正整数）、 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如： (a b)2 (a b)3(ab)55、 幂的乘方法则： (a m )na mn （ m, n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：( 35 )2310幂的

3、乘方法则可以逆用：即amn(a m )n(a n ) m如： 46(42)3(43 )26、 积的乘方法则：(ab) na nbn （ n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（2x 3 y 2 z) 5 = ( 2)5( x3 ) 5( y 2 )5z532x15 y10 z57ama na m n（a0, m,n都是正整数，且、 同底数幂的除法法则：mn)同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab) 4(ab)(ab) 3a3 b38、 零指数和负指数；a01 ，即任何不等于零的数的零次方等于1。1/12a p1（ a0, p 是正整数），即一个不等于零的数的p 次方等于a p这

4、个数的 p 次方的倒数。如：23(1)31289、 单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：2x2 y 3 z3xy10、 单项式乘以多项式 ，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(abc)mambmc ( m, a,b, c 都是单项式

5、 )注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如： 2x( 2x3y)3 y( xy)11、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。(3a2b)(a3b)如：( x5)( x6)12、平方差公式： (ab)(ab)a 2b2 注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如： ( xyz)( xyz)13、完全

6、平方公式：(ab) 2a22abb2公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍。注意：a2b2(ab) 22ab(ab) 22ab(ab) 2( ab) 24ab( ab) 2(ab) 2(ab) 2 (a b) 2 (ab) 2(a b) 2完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2 倍。14、三项式的完全平方公式：2/12(abc) 2a 2b 2c 22ab2ac2bc15、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一

7、个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：242a b m49a b716、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即： (ambmcm)mammbmmcmmabc17、因式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法 三、知识点分析：1. 同底数幂、幂的运算：am·an=am+n( m， n 都是正整数 ). (am)n=amn( m， n 都是正整数 ).2.若 2a264 ，则 a=；若 27 3n( 3)8 ，则 n=.3.

8、计算x3n2 m2 y2 yx4.若 a2 n3，则 a 6n=.2.积的乘方(ab)n=anbn(n 为正整数 ). 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 .1、计算：nm 3 pm nnm p 43. 乘法公式平方差公式：ab aba 2b 2完全平方和公式：a2a22abb 2b完全平方差公式：ab 2a 22abb21) 利用平方差公式计算： 2009×2007 200822) （ a 2b 3c d）（ a2b 3c d）变式练习1广场内有一块边长为2aM 的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3M ，东西方向要加长3M ，则改造后的长方形草坪的面积

9、是多少？2. 已知 x12, 求 x 21的值xx23、已知 ( xy)216, ( xy) 24 ，求 xy 的值3/124.如果 a 2 b 2 2a 4b 5 0 ，求 a、 b 的值5 一个正方形的边长增加4cm ，面积就增加56cm ，求原来正方形的边长4. 单项式、多项式的乘除运算3) （ a 1 b）（ 2a 1 b）（ 3a2 1 b2）；63124) （ a b）（ a b） 2÷（ a2 2ab b2） 2ab5)已知 2 x y1， xy2 ，求 2x 4 y3x3 y 4的值。36)若 x、 y 互为相反数，且(x 2)2( y1) 24 ，求 x、 y 的值

10、提高练习1（ 2x2 4x 10xy）÷（） 1x 15y2222222若 x y8， x y4，则 x y _3代数式 4x23mx9 是完全平方式则m _4（ a1）（ a1）（ a2 1）等于（）（ A ）a41（ B） a4 1（ C） a4 2a2 1（ D） 1 a45已知 a b 10，ab 24，则 a2 b2 的值是（）（ A ）148（B） 76（C）58（D）526（ 2 ）（ x 3y） 2 （x 3y） 2 ；（ 2 ）（ x2 2x 1）（ x2 2x441）；7（ 11）（ 11）（1 1） （ 1 1）（ 11）的值223242921028已知 x1

11、2，求 x21，x41的值xx2x49已知（a 1 ）（ b 2） a（ b 3） 3，求代数式a2b2 ab 的2值10若（ x2 px q）（ x2 2x 3）展开后不含x2， x3 项，求 p、 q 的值整式的乘除与因式分解技巧性习题训练一、逆用幂的运算性质4/121 420050.252004.22002200320042 (3)× (1.5)÷(1) _ 。3若 x2n3，则 x6n.4已知： xm3, x n2 ，求 x 3m 2n、 x3m2 n 的值。5已知： 2ma ， 32nb ，则 23m 10 n =_ 。二、式子变形求值1若 mn10 ， mn24

12、 ，则 m2n2.2已知 ab9 ， ab3，求 a23abb2的值 .3已知 x23x10 ，求 x21的值。x 24已知： x x1x2y2 ，则 x2y2xy =.25 (21)(221)(241)的结果为 .6 如 果 （ 2a 2b 1 ） (2a 2b 1)=63， 那 么a b 的 值 为_ 。7 已知：a2008x2007，b 2008x 2008 ，c2008x2009 ，求 a2b 2c2abbcac 的值。8若 n2n10, 则 n32n22008_.9已知 x25x9900 ，求 x 36x2985x 1019 的值。10 已 知 a 2b 26a8b 25 0 ， 则

13、 代 数 式 ba的 值 是ab_ 。11已知：x22xy 26y 10 0 ， 则 x_ ，y _ 。三、式子变形判断三角形的形状1 已知：a、b、c是三角形的三边，且满足a2b2c 2ab bc ac 0 ， 则 该 三 角 形 的 形 状 是_.2若三角形的三边长分别为a 、 b 、 c ，满足 a2 b a 2 c b2 c b 30 ，则这个三角形是 _ 。3已知a、 b、 c是ABC的三边，且满足关系式a2c 22ab2ac2b2，试判断 ABC的形状。四、分组分解因式5/121分解因式： a2 1 b2 2ab _ 。2分解因式： 4x 24xyy 2a2_ 。五、其他22 n)

14、33的值。1已知： m n 2， n m 2(m，求： m 2mn n1111112计算： 12124212122399100乘法公式与因式分解公式法是因式分解的重要方法之一，我们在这里介绍乘法公式在因式分解中的十种用法。这些方法熟练掌握后，对我们今后解决很多相应的问题都有帮助。一、直接运用例 1、分解因式： ( a+b) 2 1解：直接运用平方差公式，得：原式 ( a+b+1)( a+b 1).例 2、分解因式： 4x2 12xy+9y2解：原式 (2 x) 2 2·2x·3y+(3 y) 2 (2 x 3y) 2.二、反复运用2 2例 3、分解因式： 4a +4ab+b

15、 4a 2b+1解：原式 (4 a2+4ab+b2) (4 a+2b)+1 (2 a+b) 22(2 a+b)+1 (2 a+b 1) 2.三、先提取公因式再运用例 4、分解因式：a34a解：原式 a( a2 4) a( a+2)( a 2).例 5、分解因式： x3y26x2y+9x解：原式 x( x2y2 6xy+9) x( xy 3) 2.四、先分组再运用例 6、分解因式：x2y2+ax+ay解：原式 ( x2 y2)+( ax+ay) ( x+y)( x y)+ a( x+y) ( x+y)( x y + a).6/12五、几个公式联合运用例 7、分解因式：2+22x+2yzxy解：原

16、式 ( x2+2xy+y2) z2 ( x+y) 2 z2 ( x+y+z)( x+y- z).六、先用十字相乘法再运用例 8、分解因式： ( a+b) 4 13( a+b) 2+36解：公式 ( a+b) 2 4(a +b) 2 9 ( a+b +2)(a +b 2) ( a+b +3)(a +b 3)解：把 7x2 拆成 2x2 9x2；则422原式 ( x 2x +1) 9x ( x2 1) 2 (3 x) 2 ( x2+3x1)( x2 3x1)九、先添项后运用例 11、分解因式：a4+4b4解：原式 ( a4+4a2b2+4b4) 4a2b2 ( a2+2b2) 2 (2 ab) 2

17、 ( a2+2ab+2b2)( a2 2ab+2b2)七、先展开再运用22例 9、分解因式： (1 a )(1 b ) 4ab解：原式 1 a2 b2+a2b2 4ab=(1 2+2 2)(2+2 +2)aba baab b (1 ab) 2 ( a+b) 2 (1 ab+a+b)(1 aba b)八、先拆项再运用例 10、分解因式： x4 7x2+1十、先换元再运用例 12、分解因式：( c a) 2 4( b c)( a b)解：设 bc x， a b y，那么 ca ( x+y) ，则原式 ( x+y) 24xy x22xy+y2 ( xy) 2 ( b c) ( a b) 2 (2 b

18、 a c) 27/12练习：把下列各多项式分解因式：答案： （ 1） xy xy x y ；（ 2） 3x x3 2；1、 a2 b2+a b3、 x4y4 5x2y2+45、 x4+46精典例题：【例 1】分解因式：（ 1） x3 yxy3（ 2） 3x 318 x22 、a2 b2+2b 14、 x2( x 2y)+ y2(2 y x)、 xn+2xn+1n 2+x27 x（ 3） x1 x 2 ；（ 4） 2 x y 2 2 x y【例 2】分解因式：（ 1） x 23xy10 y 2（ 2） 2x3 y2x2 y 2 12xy3（ 3） x 2216x24分析： 对于二次三项齐次式，将

19、其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3 项，（ 3） x1 2x1（ 4） 4 xy 2 2 y x 3分析： 因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。当某项完全提出后，该项应为“1”注意 a b 2nba 2n， ab 2n 1ba 2n 1分解结果（ 1 ）不带中括号；（2 ）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。可考虑完全平方式或

20、十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2 项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。答案： （ 1） x2 y x5 y ；（ 2） 2 xy x3y x 2 y ；（ 3）x 2 2 x 2 2【例 3】分解因式：（ 1） 4x24xyy2z2 ；（ 2） a3a b2a 2b2（ 3）x22y22x2y3xy8/12分析： 对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。答案： （ 1

21、） 2xyz2xy z （三、一分组后再用平方差）（ 2） a2ba1 a1（三、二分组后再提取公因式）（ 3） xy3x y1（三、二、一分组后再用十字相乘法）【例 4】在实数范围内分解因式：（ 1） x 44 ；（ 2） 2x2 3x 1答案： （ 1） x22 x2x 2（2） 2x317x31744【 例5 】 已 知 a、 b、c是ABC的三边，且满足a 2b2c2abbcac ，求证：ABC 为等边三角形。分析： 此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证 a b c ，从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式ab 2bc 2ca 20 ，即可得证，将原式两边

22、同乘以2 即可。略证： a 2b2c2abbcac02a 22b22c 22ab2bc2ac0ab 2bc 2ca 20 a b c即 ABC 为等边三角形。探索与创新：【问题一】（ 1）计算：111111112 23292102分析： 此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。解：原式11111111111111112233991010132391091122348910101120（ 2）计算： 2002 2200122000 2199921998 22212分析： 分解后，便有规可循，再求1 到 2002 的和。9/12解：原式xy 210 x y25 。22202020010020 2 1

23、9010 202 1 92 9110099093、计算： 1998× 2002 ， 27246 27232。 2002 2001 1999 1998 3 12002120022 2005003【问题二】如果二次三项式x2ax8（ a 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a 可以取那些值？分析： 由于 a 为整数，而且 x2ax8在整数范围内可以分解因式，因此可以肯定 x2ax8能用形如 x 2p q x pq 型的多项式进行分解，其关键在于将8 分解为两个数的积，且使这两个数的和等于a ，由此可以求出所有可能的a 的值。答案： a 的值可为 7、 7、 2、 2跟踪训练：一、填空题

24、：1、 9n222a 22； a m 1b am c 。2、分解因式：x 22xyy2；x27xy 18；4、若 a2a10 ，那么 a2001a 2000a1999 。5、如果 282102n 为完全平方数，则n 。6 、 m 、 n 满 足 m 2n 4 0 ， 分 解 因 式 x2y2m xy n。二、选择题：1、把多项式 ab1 a b 因式分解的结果是（）A 、 a 1 b 1B 、 a 1 b 1C 、 a 1 b 1D 、a 1 b12x2ax 1可分解为x 2x b，则ab 的值为、如果二次三项式（ ）A、1B 、 1C、 2D 、 23、若 9x2mxy16 y2 是一个完全平方式，那么m 的值是（）A 、24