(完整word版)2019-2020年高中数学必备知识点高中数学集合教案(良心出品必属精品)

1、-1 -2019-2020 年高中数学必备知识点高中数学集合教案1、 集合的概念和性质.2、 集合的元素特征.3、 有关数的集合.教学难、重点1、 集合.的概念.2、 集合.元素的三个特征.教学过程I复习回顾回顾初中代数中涉及“集合”的提法.一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合, 简称这个不等式的解集.不等式的解集中涉及到“集合”.n新课讲授实例数组 1 , 3, 5, 7.到两定点距离的和等于两定点间距离的点.满足的全体实数 3x-2 x+3.所有直角三角形.高一（3）班全体男同学.所有绝对值等于 6 的数的集合.所有绝对值小于 3 的整数的集合.中国足球男队

2、的队员.参加 xx 年奥运会的中国代表团成员.参与中国加入 WTO 谈判的中方成员.通过以上实例.教师指出：1、定义一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合（集）集合中每个对象叫做这个集合的元素.上述集合的元素是什么？例的元素为 1, 3, 5, 7.例的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.例的元素为满足不等式 3x-2 x+3 的实数 x.例的元素为所有直角三角形.例的元素为高一（3）班全体男同学.例的元素为-6 , 6.例的元素为-2 , -1 , 0, 1, 2.例的元素为中国足球男队的队员.- 2 -例的元素为参加 xx 年奥运会的中国代表团成员.例的元素为参与 WTC 谈判

3、的中方成员.请同学们举出三个例子，并指出其元素 .一般地来讲，用大括号表示集合 .例1 , 3, 5, 7.例到两定点距离的和等于两定点间距离的点 .例3x-2 x+3 的实解.例 直角三角形 .例高一（3）班全体男同学.例-6，6.例-2，-1，0，1, 2.例中国足球男队的队员.例参加 xx 年奥运会的中国代表团成员.例参与中国加入 WTO 谈判的中方成员.2、 集合元素的三个特征问题及解释A=1, 3问 3, 5 哪个是 A 的元素？A=所有素质好的人能否表示为集合？ A=2, 2, 4 表示是否准确？A=太平洋，大西洋 , B=大西洋，太平洋是否表示为同一集合？教师指导例3是集合 A

4、的元素，5 不是集合 A 的元素.例由于素质好的人标准不可量化， 故 A不能表示为集合.例的表示不准确，应表示为 A=2, 4.例的 A 与 B 表示 同一集合，因其元素相同 .由此可知，集合元素具有以下三个特征：确定性 集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是 明确的 .互异性 集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元 素都是不同的 .无序性 集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素 都是可以交换的 .如上例元素与集合的关系有“属于 ”及“不属于”（也可表示为）两种 .如A=2,4,8,164A8A32

5、A.请同学们考虑： A=2， 4， B=1 ， 2， 2， 3， 2， 4， 3， 5 .A 与 B 的关系如何？ 虽然 A 本身是一个集合.但相对 B 来讲，A 是 B 的一个元素.故 A B.3、 常见数集的专用符号N:非负整数集（或自然数集）（全体非负整数的集合） N*或 N+正整数集（非负整数集 N内排除 0 的集合）Z:整数集（全体整数的集合）Q 有理数集（全体有理数的集合） R 实数集（全体实数的集合） 请同学们熟记上述符号及其意义 .川课堂练习：课本 P51、 （口答）说出下面集合中的元素 大于 3 小于 11 的偶数 其元素为 4，6，8，- 3 -10平方等于 1 的数其元素

6、为-1 ，115 的正约数 其元素为 1 ，3，5，152、 用符号或填空1N0N-3N0.5N2N1Z0Z-3Z0.5Z2Z1Q0Q-3Q0.5Q2Q1R0R-3R0.5R2RIV 课时小结：1、 集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如 数、式、点、形、物等 .2、 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要熟练运用之 . 高中数学集合部分知识点一集合知识1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法 .3.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 .4.集合运算：交、并、补 .5.主要性质和运算律（

7、1）包含关系：（ 2）等价关系：（ 3）集合的运算律：交换律：结合律:分配律:.0-1 律：求补律：AnCUA 外 AUCUA=U CUU= CU =U CUU(CUA)=A 反演律：CU(AnB)= (CUA)U(CUB)CU(AJ B)= (CUA)n(CUB)6.有限集的元素个数定义：有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数，记为 card( A)规定 card( ) =0. 基本公式：(3)card(CUA)= card(U)- card(A)(4)设有限集合 A, card(A)=n, 则1A的子集个数为；A的真子集个数为；A的非空子集个数为：人的非空真子集个数为.(5)设有限集

8、合 A、B、C， card(A)=n ， card(B)=m,m0(0” ,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不 等式是“ b 解的讨论；2一元二次不等式 ax2+box0(a0)解的讨论.2. 分式不等式的解法(1)标准化：移项通分化为0(或0(或0）在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴 是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到 m n 实际上就是方程 的 2 个根5、熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有 若 p q 为真，当且仅当 p、q 均为真若 p q 为真，当且仅当 p、q 至少有一个为真若- p 为真，当且仅当 p 为假命题的四种形式及其

9、相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。对映射的概念了解吗？映射 f : A B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与 之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从 A 到 B 的映射个数有 nm个。如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。函数的图象与直线交点的个数为 _个。8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）或”（），“且

10、”（）和“非”（j.6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件，满足条件，若若若若7 7. .7相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致（两点必须同时具备）9. 求函数的定义域有哪些常见类型?例：函数 y Vx2的定义域是(答：0, 22, 33, 4 )ig x 一 3函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数(或式)大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。(兀、正切函数xw R,且 xHk 兀+,kZ I2丿余切函数 反三角函数的定义域函数 y = arcsinx 的定义域是1,1 ，值域是，函数 y = arccosx 的定义域是

11、 1,1 ，值域是0,n,函数 y= arctgx 的定义域是 R，值域是.，函数 y =arcctgx 的定义域是 R，值域是(0,n).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变 量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？女口 ：函数 f(x)的定义域是 la， b ，b 占a 0，则函数 F(x) = f(x) - f(-x)的定义域是_ 。复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解出x 的范围，即为的定义域。例 若函数的定义域为，则的定义域为。分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。解：依题意知：解之，得的

12、定义域为11、函数值域的求法1、 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数 y=的值域2、 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y=-2x+5，x-1 ，2的值域。3、 判别式法对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用，但这类题型有 时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂8a. ybT型：直接用不等式性质k+xbxb. y 二 型,先化简，再用均值不等式x + mx + nx11例：y21+x2丄 1 2x+_x9通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式

13、含有根式或三 角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样 发挥作用。例求函数 y=x+的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等， 这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 P(x.y )在圆 x2+y2=1 上,c. y2x : mx，n型通常用判别式d. y2x mx n2x mx n型x n用判别式法二用换元法，把分母替换掉例：yX2x x 1 1（x+1x+1）2（x+1x+1）+1+1（ x+1 厂丄亠 2 亠 1 X +14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其

14、原函数的定义域来确定原函数的值域。 例求函数 y=值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时， 可以利用已学过函数的有界性， 来确定函数的值域。 我 们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数 y 二，的值域。xe -1xyeJ 01-yex12sin 二-11 y Is 吩|=|卜11 si nr2 - y2sin= 2sin v -1 = y（1 cos 巧1COST2sin v - y cos ） -1 y.4 y2sinpx） =1 y,即 sin（：x）又由sin(日4 y2解不等式，求出 y,就是要求的答案6 函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例

15、求函数 y= (2 x 10)的值域7、换元法1 y10(1) 丄的取值范围x 2(2) y-2 x 的取值范围解: 令丄 二 k,则 y 二 k(x2),是一条过(-2,0)的直线.x -2d R(d 为圆心到直线的距离,R 为半径)(2)令 y-2 x = b，即 y - 2x - b 二 0,也是直线 d d IABI=10故所求函数的值域为：10，+x)例求函数 y=+的值域上式可看成 x 轴上的点 P(x，0)到两定点 A(3, 2)，B(-2 ，-1 )的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，y=IABI =，11上式可看成定点 A(3, 2)到点 P(x, 0 )

16、的距离与定点 B(-2 , 1 到点 P (x, 0) 的距离之差。即：y=IAPI -IBPI由图可知： (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时， 如点 P1,则构成 ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有IIAPII-IBP1IIvIABI=即：-VyV(2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有IIAPI -IBPII=IABI =。综上所述，可知函数的值域为：(-,-)。注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A, B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点 A, B 在 x 轴的同侧。9、不等式法利用基本不等式 a+b2, a+b+c

17、3 (a, b, c)，求函数的最值，其题型特征解 析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆 项、添项和两边平方等技巧。例：22x (x 0)x21 1x=3x x+3-2x3a+b+c H泵abc时，注意使(应用公式abc乞(a b c)3时，应注意使3者之和变成常数)3倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例求函数y=的值域2（3-2x）（o 1)2 2C. y=x - 2x （x 1）当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散

18、 惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：原函数定义域为 x=1,那反函数值域也为 y=1.排除选项 C,D.现在看值域。原函 数至于为 y=1,则反函数定义域为 x=1,答案为 B.我题目已经做完了，好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢？=.x 2 _2 =Jx + 20：. y 2(答: f (X)=x-1-“ -xx：2A. y=x - 2x+2(x0 时，它们是同向变化的；当 cv0 时，它 们是反向变化的。3如果函数 f1(x) ，f2(x)同向变化，则函数 f1(x) + f2(x)和它们同向变化；(函数 相加)4如果正值函数 f1(x)，f2(x)同向变化，则函数

19、f1(x)f2(x) 和它们同向变化；如 果负值函数 f1(2)与 f2(x)同向变化，则函数 f1(x)f2(x) 和它们反向变化；(函数 相乘)5函数 f(x)与在 f(x)的同号区间里反向变化。6若函数 u= (x)，xa,B与函数 y= F(u)，u (a)， (B)或u (B), (a)同向变化，则在a，B上复合函数 y = F (x)是递增的；若函数 u= (x),xa，B与函数 y= F(u)，u (a)， (B)或14u (B)(a)反向变化，则在a,B上复合函数 y = F(X )是递减的。(同增异减)若函数 y= f(x)是严格单调的，则其反函数 X 二 fT(y)也是严格

20、单调的，而且，它 们的增减性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减如：求 y og!-x2- 2x 的单调区间2(设u =-x22X，由 u o 贝 y o :：x : 2且 log1u J，u = -(x 1) +1，如图：2当 X (0，1时，u ，又 log1u ， y -2当 x 1，2)时，u又 log1u y2-)16. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间 a，b 内，若总有 f(x) 一 0 则 f(x)为增函数。(在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f(x)乞 0 呢？如：已知 a

21、0，函数 f(x)二 x- ax 在 1，:上是单调增函数，则 a 的最大由已知 f(x)在1,:：)上为增函数，则 a 的最大值为 3)值是()A. 0B. 1D. 3C. 2(令 f(x) =3x1517. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？(f(x)定义域关于原点对称)若 f(X)二f(x)总成立二 f(x)为奇函数=函数图象关于原点对称若 f(x) =f(x)总成立=f(x)为偶函数二 函数图象关于 y 轴对称注意如下结论：(1)在公共定义域内： 两个奇函数的乘积是偶函数； 两个偶函数的乘积是偶函 数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。(2)若 f(x)是奇函数且定义

22、域中有原点，则f(0) =0。x女口：若 f(x)/2 a2为奇函数，则实数 a = 2x+1 -( f(x)为奇函数，x R,又0R，二 f(0) = 0a 20a _221求 f(x)在-1, 1 上的解析式2x4x+1 又 f(0) = 0, f (x)=2x.4x+1判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的 必要条件若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数 二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下， 计算， 然后根据函数的奇偶性的定义 判断其奇偶性又如:f(x)为定义在(-1，1)上的奇函数，当X

23、 (0，1)时,f(X)2x4x1(令 X1, 0，贝 y x0，1，f (_x)又 f (x)为奇函数,-x2x14xx (-1, 0)x = 0 x 三 10,116这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=Of(x)f(-x)f(x)f(-x)=1 偶函数二-1奇函数复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18你熟悉周期函数的定义吗？(若存在实数 T(T=0)，在定义域内总有 f xT=f(x)，则 f(x)为周期函数，T 是一个周期。)女口：若 f x a 二-f (x

24、)，贝 V(答：f(x)是周期函数，T =2a 为 f(x)的一个周期)我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你 f(x)+f(x+t)=O,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期 2t.推导：f(x) f (x t)=0f (x t) f (x 2t) = 0f (x) = f (x 2t)同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数 f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如，f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a 对称。

25、又如：若 f (x)图象有两条对称轴 x = a，x=b 即f (a x)二 f (a - x)，f (b x)二 f (b - x)f (x)二 f(2a-x).f(x)二 f(2b-x)二 f (2a-x)二 f (2b-x)令 t =2a x,贝 U2b x 二 t 2b 2a, f (t)二 f (t 2b-即 f (x) = f (x 2b-2a)所以，函数 f (x)以 2|b - a |为周期(因不知道 a,b 的大小 为保守起见，我加了一个绝对值如：奇函数偶函数171819.你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与 f(-x)的图象关于 y 轴对称联想点(x,y ) ,(-x,y)

26、f(x)与-f(x)的图象关于 x 轴 对称联想点(x,y) ,(x,-y)f (x)与- f(-x)的图象关于 原点 对称 联想点(x,y),(-x,-y)f(x)与 f(x)的图象关于 直线 y 二 x 对称 联想点(x,y),(y,x)f (x)与 f(2a-x)的图象关于 直线 x=a 对称联想点(x,y) ,(2a-x,y)f(x)与-f(2a-x)的图象关于 点(a，0)对称 联想点(x,y),(2a-x,0)将 y=f(x)图象左移盼 0)个单位f(x a)右移 a(aO)个单位 y =f(x-a)上移 b(b 0)个单位y =f(x a) b下移 b(b 0)个单位y =f(x

27、a)-b(这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数 y-b=f(x+a)怎么由 y=f(x) 得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。)注意如下“翻折”变换：f (x)- | f (x)|把 x 轴下方的图像翻到上面f (x) f (| x|)把 y 轴右方的图像翻到上面作出 y =|log2(x +1 )及 y = log2x +1 的图象1919你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?的双曲线。开口方向：a0,向上，函数 ymhi=4ac_bb_XiX

28、2* x为-X2 Faa| a |y=log2xx一次函数：y(1)=kx b k = 0（k 为斜率，b 为直线与 y 轴的交点）(2)反比例函数:ky = k 严 0 推广为 y = bxkk 严 0 是中心 O(a， b)x -a(3)二次函数 y 二2bax bx c a = 0 二 a I xbf2a)4一b图象为抛物线4a顶点坐标为2b 4ac b2a 4a2aa : 0，向下,4ac -b24a根的关系：x-b -丄2a4a20二次函数的几种表达形式：f(x) =ax2bx c(一般式)f (x)二 a(xm)2 n(顶点式，(m, n)为顶点f (x) = a(xxj(x -X

29、2)(Xj, x2是方程的 2 个根)f(x) = a(x-xj(x -x2) h(函数经过点(xj,h)(x2,h)应用：“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式) 的关系二次方 程2 2 , _ ,ax bx c = 0，二 0 时，两根 x1、x2为二次函数 y = ax bx c 的图象与 x 轴的两个交点，也是二次不等式ax2bx c . 0(：0)解集的端点值。求闭区间m n上的最值。b区间在对称轴左边(n一)f max 二 f (m), f mi n=f(n)2a区间在对称轴右边( m 匕)f max = f( n), f mi n 二 f (m)2a区间在对称轴 2 边(n

30、匕：m)2a4ac - b2f min, f max = max( f (m), f (n)4a也可以比较 m, n 和对称轴的关系，距离越远，值越大 (只讨论 a - 0 的情况)3求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。4一元二次方程根的分布问题。 : - 0bk- k2af(k)0一根大于 k，一根小于 k = f (k) 0bmn2af (m) 0 f(n)=O 在区间(m, n)内有 1 根:二 f (m) f (n) :0(4)指数函数：y = axa 0, a-1(5)对数函数 y = logax a 0, a = 1（注意底数的限定！）0 0 x利用它的单调性求最值与利用均值

31、不等式求最值的区别是什么?定要注意等号成立的条件）20. 你在基本运算上常出现错误吗?指数运算：1a=1(a = o)，ap(a = 0)mm, - -1an=nam(a_0)，an：(a 0)n ma对数运算:loga(M N)=logaM logaN M O, N 0logaM M= logaM - logaN，loganM=丄logaMNn在区间（m, n）内有 2 根:二（均值不等式由图象记性质!y22对数换底公式：iogab =空兰=logambn=巳 logablogcam1 loga x = logxa21. 如何解抽象函数问题？(赋值法、结构变换法)女如：( 1)x：= R，f

32、 (x)满足 f (x y)二 f(x) f (y)，证明 f(x)为奇函数。(先令 x = y = 0 二 f (0) = 0 再令 y = -x,.)(2)xR, f(x)满足 f(xy) =f(x) f(y)，证明 f(x)是偶函数。(先令 x = y -t =f t)( -t)丨=f (t t) f(-t) f(-tf(t) f(t)(3)证明单调性：f(x2) =f x2-x1 x2-(对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、代 y=x,2、令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1)3、求奇偶性，令 y=x ；求单调性：令 x+y=X1几类常见的抽象函数1.正比

33、例函数型的抽象函数f (x)= kx (k丰0) - f(x y)= f (x) f (y)2.幕函数型的抽象函数f(x)= xa-f(xy)= f (x) f (y); f ()=3.指数函数型的抽象函数(x + y)= f (x ) f (y ) ; f (x y)=(x y) =f (x) +f (y) ; f () = f (x)(x + y)=(x + y)=例 1 已知函数 f (x)对任意实数 x、y 均有 f (x + y) = f (x) + f (y )，且当 x0 时，f(x)0，f( 1) = 2 求 f(x)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数 f (x)在 R 上

34、是增函数(注意到 f (X2) = f (X2 X1) + X1 = f (X2 X1)+ f ( X1)；再根据区间求其值域.例 2 已知函数 f (x)对任意实数 x、y 均有 f (x + y) + 2 = f (x) + f (y)，且当2x0 时，f(x)2，f(3) = 5 ,求不等式 f (a 2a 2) 0 且 a 1)f(y)5.三角函数型的抽象函数f (x )= tgx-f (x )= cotx-23(1)判断 f (x)的奇偶性；(2)判断 f(x)在O,+x上的单调性，并给出证明；(3)若 a0 且 f (a+ 1)0,x N；f (a+ b)= f(a) f (b)，

35、a、b N；f (2)= 4.同时成立？若存在，求出 f (x)的解析式， 若不存在，说明理由 .分析：先猜出 f (x)= 2X;再用数学归纳法证明.例 6 设 f (x)是定义在(0,+)上的单调增函数，满足 f (x y)= f (x) + f (y), f (3)= 1,求：( 1) f( 1)；(2)若 f (x)+ f (x 8)0, a 是定义域中的一个数)；3当 0VxV2a 时， f( x)V0. 试问：(1)f (x)的奇偶性如何？说明理由；(2)在(0, 4a) 上, f (x)的单调性如何？说明理由.分析：(1)利用 f (X1 X2) = f (X1 X2)，判定 f (X)是奇函数；(3)先证明 f (X)在(0, 2a)上是增函数，再证明其在(2a, 4a) 上也是增函数 .对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意. 有些抽象函