(完整word版)一次函数动点问题

1、第 1页(共 18页) 一次函数动点问题 1 模型介绍：古希腊有一个著名的 将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊 一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营 A、B,他总是先去 A 营，再到河 边饮马，之后再去 B 营，如图，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和 最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图，作 B 关于直线 I 的对称点 B,连接 AB与直线 I 交于点 C,点 C 就是所求 的位置. 请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答. (1) 理由：如图，在直线 L 上另取任一点 C,连接 AC，BC，B， 直线 I 是点 B，B的对称轴，点 C，C 在 I 上 CB

2、= _ ，C B= _ AGCB=ACCB . 在厶 AC 中 ABv AC+C，二 AC+CB AC+C B 卩 AC+CB 最小 归纳小结： 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把 A、B 在直线的同侧问题转化为在直线 的两侧，从而可利用 两点之间线段最短”，即转化为三角形两边之和大于第 三边”的问题加以解决(其中 C 为 AB与 I 的交点，即 A、C、B 三点共线). 本问题可拓展为 求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值 ”问题的 数学模型. (2) 模型应用 如图 ，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上一动点. 求 EF+FB 的最小值 分析

3、：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知， B 与 D 关第 2页（共 18页） 于直线 AC 对称，连结 ED 交 AC 于 F,则 EF+FB 的最小值就是线段 _ 的 长度，EF+FB 的最小值是 _ 如图，一次函数 y=-2x+4 的图象与 x, y 轴分别交于 A, B 两点，点 0 为坐标 原点，点 C 与点 D 分别为线段 OA,AB 的中点，点 P 为 0B 上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时 P 点坐标. 2已知一次函数图象经过点 A (3, 5)和点 B (-4,- 9)两点， 求此一次函数的解析式； 若点(a, 2)在该函数的图象上，试

4、求 a 的值. 若此一次函数的图象与 x 轴交点 C,点 P(m，n)是图象上一个动点(不与点 C 重合)，设厶 POC 的面积是 S,试求 S 关于 m 的函数关系式. 3. 已知函数y=kx+b的图象经过点A (4, 3)且与一次函数y=x+1的图象平行， 点B (2, m)在一次函数 y=kx+b 的图象上 ( 1)求此一次函数的表达式和 m 的值？ 第 3页(共 18页) (2) 若在 x 轴上有一动点 P (x, 0),到定点 A (4, 3)、B (2, m)的距离分别 为PA 和 PB,当点 P 的横坐标为多少时，PA+PB 的值最小.第 4页(共 18页) 4. 已知：一次函数

5、图象如图： (1) 求一次函数的解析式； (2) 若点 P 为该一次函数图象上一动点，且点 A 为该函数图象与 x 轴的交点, 若SAOAF=2，求点 P 的坐标. 5 - 4 5第 5页(共 i8页) 5 阅读下面的材料： 在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确 定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数 y=kix+bi (冷工 0)的图象为 直线li, 一次函数 y=k2x+b2 (k2工 0)的图象为直线 b,若 ki=k2, 且 bi b2, 我们就称直线 li与直线 12互相平行. 解答下面的问题： (1) 已知正比例函数 y=-x 的图象为直线 l

6、i,求过点 P (1, 3)且与已知直线 li 平行的直线 12的函数表达式； (2) 设直线 I2分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B,求 li和 12两平行线之间的距离； (3) _ 若Q为OA 上一动点，求 QP+QB 的最小值时 Q 点的坐标为 _ . (4) 在 x 轴上找一点 M，使 BMP 为等腰三角形，求 M 的坐标.(直接写出答 案) 卜 5 4 一 3 1 1 1 1 1 1 1 -5 -4 3 -2 -1O 12345 -4 一 第 6页(共 18页) 6 阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面 就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相

7、互垂直的定义：设一 次函数y=kix+bi(站工 0)的直线为 li, 一次函数 y=k2X+b2 (k2工 0)的图象为 直线 12.若ki?k2=- 1,我们就称直线 li与直线 12相互垂直，现请解答下面的 问题：已知直线 I与直线 y=-二 x- 1 互相垂直，且直线 I 的图象过点 P (- 1, 4)，且直线 I 分别与 y 轴、x 轴交于 A、B 两点. (1) 求直线 I 的函数表达式； (2) 若点 C 是线段 AB 上一动点，求线段 OC 长度的最小值； (3) 若点 Q 是 AO 上的一动点，求 BPQ 周长的最小值，并求出此时点 Q 的坐 标； (4) 在(3)的条件下

8、，若点 P 关于 BQ 的对称点为 P,请求出四边形 ABOP 的 面积. 驸I 5 4 - 3 1 1 Illi 1 -5 -4 a -2 -io 12245 i 二 2 -4 -5 第 7页（共 18页） 一次函数动点问题 参考答案与试题解析 一 解答题（共 6 小题） 1 模型介绍：古希腊有一个著名的 将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一 位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营 A、B,他总是先去 A 营，再到河边 饮马，之后再去 B 营，如图，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最 短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图， 作 B 关于直线 I的对称点 B,连接

9、AB与直线 I交于点 C,点 C 就是所求 的位置. 请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答. （1）理由：如图，在直线 L 上另取任一点 C,连接 AC，BC，B， 直线 I 是点 B，B的对称轴，点 C，C 在 I 上 CB= CB ，C B=CB AGCB=ACCB 二 AB. 在厶 AC 中 ABv AC+C，二 AC+CB AC+C B 卩 AC+CB 最小 归纳小结： 本问题实际是利用轴对称变换的思想，把 A、B 在直线的同侧问题转化为在直线 的两侧，从而可利用 两点之间线段最短”，即转化为三角形两边之和大于第 三边”的问题加以解决（其中 C 为 AB与 I 的交点，即 A、C、

10、B 三点共线）. 本问题可拓展为 求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值 ”问题的 数学模型. (2)模型应用 如图 ，正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 AB 的中点，F 是 AC 上一动点. 第 8页(共 18页) 求 EF+FB 的最小值 分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知， B 与 D 关 于直线 AC 对称，连结 ED 交 AC 于 F，则 EF+FB 的最小值就是线段 DE 的长 度，EF+FB 的最小值是_2_. 如图，已知。O 的直径 CD 为 4,/ AOD 的度数为 60 ，点 B 是盒 的中点，在 直径 CD 上找一点 P,使 BP

11、+AP 的值最小，贝 U BP+AP 的最小值是 ； 如图，一次函数 y=-2x+4 的图象与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，点 O 为坐标 原点，点 C 与点 D 分别为线段 OA,AB 的中点，点 P 为 OB 上一动点，求：POPD 的最小值，并写出取得最小值时 P 点坐标. 【解答】解：(1)理由：如图，在直线 L 上另取任一点 C，连接 AC，BC，B， 直线 I 是点 B，B的对称轴，点 C，C 在 l 上 CB=CB CB=CB AGCB=ACCB =AB 在厶 AC 中 ABv AC+C，二 AC+CB=5 I -4k+b=-9 第 11页（共 18页） 将点(a, 2)代

12、入 y=2x- 1 中，得 2a-仁 2,第 12页(共 18页) 由 y=2x- 1，令 y=0 得 x, C (- 又点 P (m, n)在直线 y=2x- 1 上, n=2m 1, 3. 已知函数 y=kx+b 的图象经过点 A （4, 3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行, 点 B（2, m）在一次函数 y=kx+b 的图象上 （1）求此一次函数的表达式和 m 的值？ （2）若在 x 轴上有一动点 P（x, 0）,到定点 A（4, 3）、B（2, m）的距离分别 为PA 和 PB,当点 P 的横坐标为多少时，PA+PB 的值最小. 【解答】解：（1）：函数 y=kx+b 的图象经过

13、点 A （4, 3）且与一次函数 y=x+1 的图象平行， f4k+b=3 ，解得： 店 1 仏二 1 片-L 一次函数的表达式为 y=x- 1. 当 x=2 时，m=x- 1=2 仁 1, m 的值为 1. （2）作点 B 关于 x 轴的对称点 B,连接 AB交 x 轴于点 P,此时 PA+PB 取最小值, 如图所示. 点 B 的坐标为（2, 1）, 点 B的坐标为（2, 1）. 设直线 AB的表达式为 y=ax+c, 将（2, 1）、（4, 3）代入 y=ax+c, 2 廿 ，解得： r a=2 14atc=3 1.C- ,0), S 丄 一1吧1 (2m -1) |=| 1 m 1 2

14、4 第 13页（共 18页） 直线 AB的表达式为 y=2x 5. 当 y=0 时，2x 5=0,第 14页（共 18页） 4. 已知：一次函数图象如图: （1） 求一次函数的解析式； （2） 若点 P 为该一次函数图象上一动点，且点 A 为该函数图象与 x 轴的交点, 若SAOAP=2，求点 P 的坐标. 5 “ : : 1 L ? 1 卜 1 J . y 4 -S -2 -10 -1 ri 3 4 5 x -2 : -4 -5 - 【解答】解：（1）设一次函数解析式为 y=kx+b, 所以一次函数解析式为 y=- x+1； (2)当 y=0 时，-x+1=0,解得 x=1,则 A ( 1,

15、 0), 设 P (t，-t+1), 因为 SAOAP=2 , 所以丄X1X | - t+1| =2,解得 t=- 3 或 t=5, 所以 P 点坐标为（-3, 4）或（5,- 4）. 5. 阅读下面的材料： 在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确 定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数 y=kix+bi (冷工 0)的图象为 直线 li, 把(-2, 3)、(2, 分别代入得严 ， 解得 2k+b=-l PA+PB 的值最P的横-1) 第 i3页(共 i8页) 一次函数 y=k2x+b2 (k2工 0)的图象为直线 b,若 ki=k2，且 bib2, 我们

16、就称直线 li与直线 12互相平行. 解答下面的问题： (1) 已知正比例函数 y=-x 的图象为直线 li,求过点 P (1, 3)且与已知直线 li 平行的直线 12的函数表达式； (2) 设直线 12分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B,求 li和|2两平行线之间的距离； (3) 若 Q 为 OA 上一动点，求 QF+QB 的最小值时 Q 点的坐标为 Q(0,= . 5 (4) 在 x 轴上找一点 M，使 BMP 为等腰三角形，求 M 的坐标.(直接写出答 案) 5 斗 3 1 1 1 1 1 5 -4 3 -2 -1O 12345 *1 -3 5 【解答】解：(i)根据正比例函数 y=

17、-x 的图象为直线 li,设直线 12的函数表达 式为 y=- x+b, 把 P (i , 3)代入得：3=- i+b，即 b=4, 则过点 P (i, 3)且与已知直线 li平行的直线|2的函数表达式为 y=-x+4; (2)过 O 作 ON 丄 AB,如图 i 所示，ON 为 li和 l2两平行线之间的距离，* a 9 5 -4 3 -2 -1O 圉1 : -5 - 第 16页(共 18页) 对于直线 y=- x+4,令 x=0,得到 y=4;令 y=0,得到 x=4, A (0, 4), B (4, 0),即 OA=OB=4 ABC 为等腰直角三角形， AB= .=4.爲且 ON 为斜边

18、上的中线， ON=AB=2_ 则 li和 12两平行线之间的距离为 2 ：; (3) 找出 B 关于 y 轴的对称点 B (- 4, 0),连接 PB,与 y 轴交于点 Q,连接 PQ,此时 QP+QB 最小， 设直线 BP勺解析式为 y=mx+n, 把 B 和 P 坐标代入得：严谥岸, 解得：m,n 丄二, 5 5 直线 BP勺解析式为 yx+二, 5 5 令 x=0，得到 y 丄,即 Q (0,学)； 故答案为：Q (0,); (4) 如图 2 所示,分三种情况考虑： 当 PMi=PB 时，由对称性得到 Mi (- 2, 0); 当 PM2=BM2时，M2为线段 PB 垂直平分线与 x 轴

19、的交点， 直线 PB 的解析式为 y=-x+4,且线段 PB 中点坐标为(2.5, 1.5), 线段 PB 垂直平分线解析式为 y- 1.5=x- 2.5, 即卩 y=x- 1, 令 y=0,得到 x=1,即 M2 (1, 0)； 当 PB=MbB= - - ： ； . =3 打|时，OM3=OB+BM3=4+3 二，此时 M3(4- 3 :, 0), M3 (4+恥,0). 综上，M 的坐标为(-2, 0)或(1, 0)或(4-3 :, 0)或(4+3 / , 0). 6. 阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面 就两个第 17页(共 18页) 一次函数的图象所确

20、定的两条直线， 给出它们相互垂直的定义： 设一 次函数 y=kx+b1 (阳工 0)的直线为 11, 一次函数 y=k2X+b2 (k2工 0)的图象为 直线 12.若 k1?k2=- 1,我们就称直线11与直线12相互垂直， 现请解答下面的 问题： 已知直线I与直线y=-x- 1 互相垂直，且直线 I 的图象过点 P (- 1, 4),且直线 I 分别与 y 轴、x 轴交于 A、B 两点. (1) 求直线 I 的函数表达式； (2) 若点 C 是线段 AB 上一动点，求线段 OC 长度的最小值； (3) 若点 Q 是 AO 上的一动点，求 BPQ 周长的最小值，并求出此时点 Q 的坐 标； (4) 在(3)的条件下，若点 P 关于 BQ 的对称点为 P,请求出四边形 ABOP 的 面积.第 18页(共 18页) 旳1 5 4 3 2 1 L 1 1111 冷 -5 -4 -3 J -1 ) 12345 -1 2 - -3 -4 -5 【解答】解： (1) 设直线 I 的解析式为 y=kx+b, 直线 I 与直线 y=-丄 x- 1 互相垂直， 2 -丄 k=- 1，解得 k=2, 2 直线 I 的图象过点 P (- 1, 4), - k+