人教版九年级数学上册二次函数的定义(教师版)

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点二次函数的定义人教九上初中数学试卷22-1一、学习目标1 .掌握二次函数的定义；2 .根据实际问题列出二次函数的关系式，并求出函数的自变量的取值范围.二、知识回顾1. 一元二次方程的一般形式是什么？ax2 bx c=0（a,b, c是常数，a 0）2. 一次函数、正比例函数的定义是什么？一地，如果有 y=kx+b（k,b 为常数，且 kw0）, 那么 y 叫做 x的一次函数 .y=kx （kw0）中，y叫做x的正比例函数，可见，正比例函数是,次函数的特殊形式，即b=0的一次函数.二、新知讲解1.二次函数的定义一般地，形如 y ax2 bx c（a,b,c是常数，

2、a 0）的函数，叫做二次函数 .这里需要强调：和一信达元二次方程类似，二次项系数aw0,而b, c可以为0.二次函数中，x是自变量，x的取值范围是全体实数.2 , 一次函数y ax2 bx c的结构特征等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2;a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项3 .二次函数的一般形式2y ax bx c(a 0),它有几种特殊形式: 当 b=0,c w 0 时，y=ax2+c；当 bw0, c=0 时，y=ax2+bx;当 b=0,c=0 时，y=ax2.扫一扫，有惊喜哦!1.二次函数的识别注意：根据解析式判定二次函数时，首先要把解

3、析式化为一般形式2.,【例1】(2014春?未央区校级期末)已知下列函数：(1) y=3-2x; (2) y= ° ; (3) y=3x (2x-x2+l1)； (4) y= - 2-/Sx2; (5) y=x2- ( 3+x) 2; (6) y=mx2+nx+p (其中 nr n、p 为常数).其中一定是二次函数的有()A. 2个 B .3个 C .4个 D .5个总结：二次函数需具备的三个条件：函数的关系式是整式；自变量的最高次数是 2;二次项系数不为 0.练1下列各式：万叶2!产&-L；尸(x- 1) (x+2)；尸2皆必丫=(2x+1) (x-2) - 2x2;其中y

4、是x的二次函数的有 (只填序号).2 .根据实际问题列出函数关系式并求出函数自变量的取值范围【例2】用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为 x cm,写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断 y是x的二次函数吗？总结：1 .用二次函数描述实际问题中变量之间的关系，首先要审题，找出其中的已知量和未知量，并弄清它们之间的关系，根据相等关系列出二次函数关系式2 . 一般要将列出的二次函数关系式化为一般形式3 .注意自变量的取值范围.3练2设圆枉的图为 6cm,底面半径为rcm,底面周长为 Ccm圆枉的体积为 Vcm.（1）分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；（2）这三个函

5、数中，哪些是二次函数？4 .根据二次函数的定义求参数或参数取值范围2【例3】已知函数 尸（TT-1） /当m=时，它是二次函数.总结：此类题目要根据二次函数的概念建立方程模型求解，注意不要忽略二次函数中二次项系数不等于零这一隐含条件.练3当m时，关于x的函数y=（病-1） x2+ （m- 1） x+3是二次函数.五、课后小测一、选择题1 . （2015?闸北区一模）在下列 y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A. y=x2 B . y=-C . y=kx2D . y=k2x2. （2014秋?石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（）y=x+ 工； y=3 （x-1） 2+2; y= （

6、x+3） 2-2x2; y="+x.A. 4个 B .3个 C .2个 D .1个3.（2015?巴中模拟）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A.y=-y B , y=2x+1 C . y=x2+x - 2 D . y2=x2+3x4.（2015春?西安校级月考）当m为何值时，函数y= （m- 2）x2+4x-5 （ m是常数）是二次函数（）A.-2 B . 2 C . 3 D .-3二、填空题5.函数y=j（x2-1）的自变量x的取值范围是6.说出下列二次函数的二次项系数a, 一次项系数b和常数项C.(1)在 y=5x2+2x 中，a=, b=，c=(2)在 y=2 (x-3)

7、2+4 中，a=，b二，c=7.圆的面积S与其周长C之间的函数关系式是,自变量的范围是8 .如图所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm,请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=,长方体的体积为 V=,各边长的和L=在上面的三个函数中,是关于x的二次函数.三、解答题9. （2012春?古浪县校级月考）分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项:(1) d=Wn - gn,22，一、2(2) y=1 -x .10 .已知y与x2成正比例，且当x=3时，y=-18,写出y与x之间的函数解析式， 它是二次函数吗?11 .根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函

8、数是否为二次函数:(1)如果两个数中，一个比另一个大5,那么，这两个数的乘积 p是较大的数 m的函数；(2) 一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的止方形孔,剩余的面积S (cm)是方孔边长x(cm)的函数；(3)有一块长为60m宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S (cm2)是草坪宽度a (m)的函数.12.已知函数 y= (n2- m x2+mx+ ( m+1 , m是常数.(1)右这个函数是l次函数，求 m的值；(2)若这个函数是二次函数，求 m的值.典例探究答案：【例1】【解析】根据二次函数的定义求解.解：(1) y=3

9、 2x2; (3) y=3x (2xT) =6x2 3x; (4) y= 2x2符合二次函数的定义，属 于二次函数；(2) y=的右边不是整式，所以不是二次函数；J+1(3) y=x2- ( 3+x) 2=- 6x - 9,属于一次函数； 2(4) y=mx+nx+p (其中 m n、p为吊数)，当m=0时，该函数不是一次函数.综上所述，其中一定是二次函数的有3个.故选：B.点评：本题考查二次函数的定义.一般地，形如 y=ax2+bx+c (a、b、c是常数，aw°)的函 数，叫做二次函数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数， c是常数项.y=ax2+

10、bx+c (a、b、c是常数，aw0)也叫做二次函数的一般形式.练1 【解析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解.解：y是x的二次函数的有，.故答案是：，.点评：本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c (aw0,且a, b, c是常数，x是未知数).【例2】【解析】根据矩形的周长表示出长，根据面积=长*宽即可得出y与x之间的函数关系式.解：设宽为xcm,;矩形的周长为 800cm, 女门口 - 9y，矩形的长为二'cm,. y=x X 黑6 /：= x2+400x (0vx<400). zy是x的二次函数.点评：本题考查了根据实际问题抽象出二次函数模型及二次函

11、数的定义，属于基础题，表示出矩形的长是解答本题的关键.练2【解析】(1)根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式；(2)根据二次函数的定义进行解答.解：(1) ;圆柱的底面半径为 rcm,底面周长为 CcmC=2ti r (cm);又圆柱的高为6cm底面半径为rcm,圆柱的体积为3Vcm,V= % r2x 6=6 % r2 (cm3).设圆柱的高为 6cm底面周长为 Ccm圆柱的体积为.3Vcm,.V=7t X (/ 3、(cm)综上所述，C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式分别是:2C=2tt r、V=6tt r、(2)根据二次函数的定义知,V关于r的关系式V=6tt r2是二次函

12、数.点评：本题考查了二次函数的定义.解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的 体积公式.【例3】【解析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出 m的值即可.解：= y= (m- 1) xm2+1+3x 是二次函数， 2 - m+1=2,且 m- 1 w 0m=- 1 或 m=1 (舍去).故答案为：-1.点评：此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m- 1W0.练3【解析】根据二次函数的定义， 使二次项的系数不为 0,列式求值即可求得 m满足的条 件.解：y是x的二次函数， 2 m - 1 w 0,m 土 1,故满足的条件是mr ± 1.故答案为：

13、w ± 1.点评：本题考查二次函数的定义， 解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，aw0,自变量最高次数为 2.课后小测答案:一.选择题1 .【解析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c (aw0)是二次函数.解：A是二次函数，故 A符合题意；日 是分式方程，故 B错误；C k=0时，不是函数，故 C错误；D k=0是常数函数，故D错误；故选：A.点评：本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c (aw0)是二次函数.2 .【解析】一般地，如果y=ax2+bx+c (a, b, c是常数，aw。)，那么y叫

14、做x的二次函数.根 据定义的一般形式进行判断即可.解：丫二乂+1.y=+x的右边不是整式，故错误；* 3y=3 (x-1) 2+2,符合二次函数的定义，故正确；丫=(x+3) 2- 2x2=-x2+6x+9,符合二次函数的定义，故正确；故选：C.点评：本题考查了二次函数的定义.判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为 整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.3【解析】利用二次函数定义就可以解答.解：A 尸分母中含有自变量，不是二次函数，错误；KB> y=2x+1,是一次函数，错误；C y=x2+x - 2,是二

15、次函数，正确；DK y2=x2+3x,不是函数关系式，错误.故选：C.点评：本题考查二次函数的定义.4.【解析】利用二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c (a、b、c为常数，aw。).解：根据二次函数的定义，得mrr 2W0,即e2二当 廿2时，函数y= ( m- 2) x2+4x- 5 ( m是常数)是二次函数.故选： B.点评：本题考查二次函数的定义.二.填空题5【解析】由于二次函数是一个整式函数，其自变量的取值范围是全体实数.解：函数y=： (x2-1)的自变量x的取值范围是全体实数.点评：本题考查二次函数自变量的取值范围，比较简单.6【解析】(1)根据二次项系数、一次项系数、常数项

16、的定义解答；(2)先把二次函数化为一般形式，再解答.解：(1)在 y=5x2+2x 中，a=5, b=2, c=0.(2)函数 y=2 (x-3) 2+4 化为一般形式为：y=2x2- 12x+22,故 a=2, b=- 12, c=22 .点评：本题考查的是二次函数的一般形式、各项系数与常数项.7【解析】根据圆的面积以及周长公式进而结合r得出即可.解：;设圆的面积为 r,则S=7t r2, C=2tt r ,上，(C>0)7T点评：此题主要考查了二次函数的定义，正确得出r与S, C的关系是解题关键.8【解析】侧面展开图的面积应为边长为xcm的正方形的周长乘 6;长方体的体积应为边长为x

17、cm的正方形的面积乘高；各边长的和应为边长为 xcm的正方形的周长的2倍加上边长为6的4倍，找到x的次数为2的函数即为关于 x的二次函数.解：长方体的侧面展开图的面积S=4xX 6=24x;长方体的体积为 V=x2X 6=6x2;各边长的和 L=4x X 2+6X 4=8x+24;其中，V=6x2是关于x的二次函数.点评：找到所求量的等量关系是解决问题的关键，注意此几何体为底面积为正方形的长方体.三.解答题9【解析】(1)根据二次函数的定义可得到二次项系数、一次项系数和常数项;(2)根据二次函数的定义可得到二次项系数、一次项系数和常数项.解：(1)二次项系数、一次项系数和常数项分别为1、-晅、

18、0；22(2)二次项系数、一次项系数和常数项分别为-1、0、1.点评：本题考查了二次函数的定义：把y=ax2+bx+c (a、b、c为常数，aw°)称为y是x的二次函数，其中a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项.10 .【解析】由于y与x2成反比例，则有 y=kx2 (kw°),然后把x=3, y=-18代入即可求出k. ,2解：y与x成反比例，y=kx2 (k w 0),把 x=3 时，y=-18 代入得：-18=32?k,.k= - 2,.y与x之间的函数解析式为 y=, 一 一 ，一 “一一 7 一 一 ，一 匕不是y与x不是一次函数关系，即 y=-不是一次函数.x点评：本