浅谈数学思想方法在高中解题中的应用

1、浅谈数学思想方法在高中解题中的应用（学员：蒋双善）摘要：本文从理论上阐述了四种基本数学思想方法即函数与方程的思想、数行结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、整体思想和分合思想在高 中数学解题中的重要作用。文章给出了相应的例题讲解和说明，对于深刻挖掘 数学思想在初等数学屮的地位，做了初步的探索和研究。关键词：数学；思想方法；函数；方程；数形结合；转化；分类讨论;整体思想；分合思想数学源于生活，源于观察，生活中的许多看似与数学无关的问题都可以用数学的眼光、数学的思想来解决。既然生活中充满了 “数学”，那么高中的数学 题更是充满了 “数学”。数学家波利亚说过：“完善的思想方法犹如北极星，许多

2、人通过它而找到正 确的道路。”尽管数学题千变万化、层出不穷，其实当我们着手去解决时，都会有一定的方向、一定的道路，而给我们引领方向、带领道路的正是数学思想。在高中数学学习中，常见的数学思想有四类：函数与方程的思想，数形结合的思想，化归与转化的思想，分类讨论的思想，整体思想和分合思想。一、函数与方程的思想函数思想，就是用运动和变化的观点，分析了研究具体问题中的数量关系,通过函数式，把这种数量关系表示出来并加以研究从而使问题获得解决。如果 变量间的数量关系是用解析式表示出来的，那么可以把解析式看作一个方程， 通过解方程或对方程的研究，使问题得以解决，这就是方程思想。我们在高一常遇到一些集合、函数、

3、方程的相关问题，下面来看这样一道例题:例1、已知加，为正奇数，求方程sinh + = cosh + !厂的所有实数解。 cosmxsinmx分析：一看题目，方程含有三个未知数，那怎么求其中兀的呢？不要慌张,再观察方程，似乎有点对称。当把方程移一移项，可以变成 sinh = cos"兀,这不是wj以构造函数/(x)=兀"吗？是不是有些头sinmxcosmxxm绪了，再思考：兀要在区间-l,o)u(o,l±,既然"都为正奇数了，不是可以通过/(兀)的单调性来求解了吗？解: t sinnx + = cosh + cos"'兀sin"

4、兀i 1sin x= cos xsirtkcos'"兀令/(x) = xn-(xe -1, o)u(o,l)x w为正奇数当"-1,0)时，g(x) = xn为单调增函数，q=-丄为单调增函数x/为单调增函数 又 /(sin x) = /(cos x) /. sinx = cosxz. x = k7t 十冷(k g z)当x g(0,1吋，g(x) = x"为单调减函数,u)= l为单调减函数x/)为单调减丙数x/(sinx) = /(cosx)sinx = cosx/. x = kjr +(k e z)综上所述，原方程解为”兀=炽+彳,r w z可以看到

5、，将方程问题利用构造函数考虑，一切都迎刃而解了。再看一个例子。例2、于和gd)的定义域都是非零实数集,/是偶函数，g是奇函数, 且心)+曲)=，求凹的取值范围。q-x + lgw分析：已知两个函数的和，求商，好象从未见过。许多同学就是这样的惯 性思维，只看符号，不注重文字，其实这一题的关键在于“/是偶函数，g 是奇函数”。看到这点，便马上反应过来,有/(x)= /(-x),g(x) = -g(-x) , 乂有 /(f-g(f= 再把t换成兀。到这里不能再把/(x),g(x)当函数解析式来2x + 1看了，知道了7(兀)+ g,f(x) - g(x)不就可以把它们当成两个未知数，去解一 个二元一

6、次方程组。解：/(>)为偶函数,go)是奇函数 /(x)= f(-x)9g(x) = -g(-x). f(x) + g(x) = f(-x) - g(-x) = 1- x -x + /'(x)-gcr)二一-jt +兀+ 1又/w + g(q =-.八)一(/+兀+1加7+1) rg(x2 +x4-1)(x2 -x + l) 空亠十丄 g(x)x兀/. 当兀 v 0 时，-= 一( 一兀-)< -2l(-x) =2 g (兀)兀v(一兀)当尤0时,/m g (兀)综上所述，但的取值为(-00,-2卜2, + 00) gm二、数形结合的思想数学家华罗庚曾写过如下诗句：“数与形

7、，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少直观，形缺少数时难入微，切莫忘，几何代数统一体，永远联系， 切莫分离！”数与形的完美结合，产生了数与形的辨证关系：数是形的抽象概括，形是 数的直观表现。数形结合思想就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数 学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的 描述，代数论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。请看下面的例题。例3、 设分別是方程log2 x + %-3 = 0和2' +x-3 = 0的根，求a+b及 log2 + 2z,的值。分析：很自然，当我们看到题目，总急不可待把恥代入原方程：jlog2 d + a -

8、 3 二 02h +b-3 = 0一看，两式相加不就能构造出(log2d + 2") + (a + b)-6 = 0吗？可是再也走不下 去了。怎么办？从头再来吧！先观察，两方程只有log?兀与2'不同，但不同中也有相近,log2x 不是与2,互为反函数吗？好！把log宀2倣到一边：?°8 = 3"这不是t =3-x可以看成三个函数yi = log2 x , j2=2 y3=3-x,把它们放于图象上，不就一目了然了吗？想法十分正确，继续走下去!设儿与久丿2 y =兀的交点分别为4,5m;再看儿不也关于y二兀对称吗?那么，a,3就都关于）ux对称了，求点“坐标

9、为討，不是有解:/ log2 x = 3-x.t = 3-x则儿与儿交点a为（。，1。&2 q），力与儿交点b为（b,2b）i与）?2关于y = *对称，儿也关于y二兀对称儿与y = x交点m为弓号）又关于点m对称3a + b = 2x = 3.< 2log2« + 2/? =2x- = 3三、化归与转化的思想初屮时，我们就知道求解多边形问题，可以通过将其切割成三角形来将其 转化成我们熟知的知识来解。现在假如我问你从个不同元素中取出2个元素来有多少种不同的取法， 你将怎样去想呢？从直观的角度，我们会想“取出的”，但为什么我们不能想那“留下的”？也就是“从刃个不同元素中留

10、下2个元素，有多少种不同的留法？ ” 这就是化归与转化。解数学题就是要利用所学知识和方法去揭示新与旧z 间，复杂与简单之间，抽象与具体之间，一般与特殊之间，非常规与常规之间 的关系，通过一系列的变换，使得所要解决的问题由难变易或变为已经解决过 的问题，或者把某一数学分支屮的问题变为另一数学分支中的问题。看一个简单的问题：例4、求函数尸 m(“ -1,1)的最值分析：一开始，你总会做些尝试，譬如平方移项，但你都会发现这些尝试 都是徒劳无功的。我们来看，xe-l,l,有什么和它相似的东西，可以把兀换成 什么的？有了，sinx也是在-1,1上的！笑逐颜开了吧？解:= sina,a e_ 2 2_y

11、= sin ajl - sing = sin a cos a = ysin2« 当 sin 2a = -1 即 a = 一丄时 ymin = -+ 当 sin 2a = 1 bp a =时 ymax =2又如：求y = v3x + jl-x的最值也可作类似处理，令x = sin2x,不过要注意兀的区间，不然要么把问题反而 复杂化，要么反而做错。来看一道用到化归思想的简单题目例5、设等差数列血,他的前项和分别为s,k，且佥二虫¥，求jtn n + 3 b7解：. j = 2a“ =坷 +°2“-1 二(糾 +a2-i)(2_l)_s2“_ 仇 2b “ bx +b2

12、n_ (bx + b2n_x )(2n -1) t2tl_a n si? 93；=7=16从某种意义上讲，解答每一道题都是通过探索而找到解题思路，通过转化 达到解题目的。转化吋，一般是把一个领域内的问题转化为另一个领域内的问 题；把实际问题转化为数学模型；把陌生繁复的问题转化为熟悉，简单的问题 等等进行单向转化。但有时高维与低维，抽象与具体，正面与反面，整体与部 分，一般与特殊，动与静，数与形等等不仅进行单向转化，而且还进行双向转 化。四、分类讨论的思想平时，假如有人问你：“星期天打算到哪里去？ ”如果你有明确目标时，你 会毫不犹豫地回答他；而当你没有明确i标时，你也许会说：“那要看情况而定,

13、 假如晴天假如下雨假如有朋友來我家假如”。这就是分类讨论。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想，其特征就是将整体问题化 为部分问题来解决，即“化整为零，各个击破，再积零为整”。运用分类讨论的 思想解决问题时，必须做到分类科学统一，不重不漏，并力求简洁。例6、设q为实数，函数/(x) = x2+|x-a| + l,xe/?,求.f的最小值。分析：题口中有绝对值，将其去掉，先要分沦s"两种，配方后，又要 比较。与丄的关系，分类中又要再分类。2 2解：(1) =x> a 9 则 /(x) = x2 + x - tz +1 = (x + )2 -a + 24 若d贝lj/(x)在k

14、，+ oo)-h/(x)min = f(-) = -a 若a >£ ,贝lj/(x)在a,+ oo)上单调递增/(x)min = f(a) = a2 +1(2) 当兀 5 a ,贝if(兀)=%2 一x + a + l = (x-)2 +« + 24 若 d w '则 /(x)在d,+ °0)上 /(兀)min = /()=扌 + d 若 a* ,贝!j/xx)在a,+ 8)上单调递增.f(x)min = f(ei) = a2 +1综上所述，当兀a a时，若则/(x)min =aji例7、函数cox若q>*则 /(x)min =a2+l当xd时

15、，若d詁则/(x)min £ + a若 a > + 则/min "+1sinx i cox i tanx i cotx i 的值域是( )i sin x i cox i tan x i cotx(a) -2, 4(b) -2, 0, 4(c) -2, 0, 2,4(d) -4, -2, 0,4分析：按角x终边所在象限来分类，易知答案为b.五、整体思想人们在研究某些数学问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放人考察问题的“视角s将需要解决的问题看作一个整休，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能、或作种种处理以后，达到顺利而以简捷地解决问题的目的，象

16、这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程，我们称它为“整体的思想方法” 例8、i、 n 2n 3n 4兀 5兀 6兀 7兀 求 coscostzcosttcosttcosttc0st7c0siblm.15151515151515解析:xrln 2兀 3兀 4兀 5兀 6兀 7兀攻 a二 c o s77c o sc o sc o sc o sc o sc o s,15151515151515配对:,兀 2兀 3兀 4兀 5兀 6兀.7兀 hhib=sin_sin_sin_sin_sln77sln77sln77 贝寸 lb lo ib ib lb lb lb由倍角公式，得 ab=-sinpsins

17、insin|?sinsinsin“ 51 兀.2兀 3兀 4兀 5兀.6兀.7兀 1 ,即 ab =ttts 1 n_s 1 ns 1 ns 1 ns 1 n_s 1 ns 1 n.12815151515151515 lzo显然，bho,由上式，ab= 28” 得 128*兀2兀3兀4兀5 k6 k7兀 1c0s777c0st77c0stc0s"tc0stc0st = 7tt.15151515151515128cos_cos例9、一项数为奇数的等差数列，其奇数项之和为51,偶数项之和为42,首项为1,求其通项公式.解析：设等差数列共2血1项，则奇数项有血1项，偶数项有刃项，由题意,5

18、 二(m+1)為 i=51,两式相比较，得m+1 102m 85:.if5 ,把 zzf5 代入得，<31+ <311=17.又斫1, a <311=创+10店 1+10店 16,3 n 1数列的通项公式為二二一（1w/7w11, 尺n、.六、分合思想分与合是一对矛盾，是相对的，它包括角的分合，三角函数的分合等方面。例1°、求骼犒黯的值_ sin 15° cos 8° cos 15° cos 8°解. 璋我- sin(15-8)° + cos 15°sin8°:八丄 _cos(15-8)o-sinl5° sin8°=tan 15° = tan(45°-30°) = 2-v3例 11、求 tan 20j + 4sin 20° 的值.解. 原式 _ sin 20。+ 2 sin 4(t _ sin 20。+ 2 sin(6(t - 2(t) 八cos 20cos 20°= y/3_ sin 20° + y/3 cos 20° - sin 20： cos 20上述从理论上阐述了六种数学思想即函数与方程的思想、数行结合的思想、化归与转化的思想、分类讨论的思想、整体思想及分合思想在高中