浅谈高中数学中的几何概型

1、浅谈高中数学中的几何概型泉州现代中学数学组 陈永生362000电何概型是高中概率部分的一个难点，高考中选择、填空题、解答题都有所涉及。婆理解并灵 活应用儿何概型解决相关问题，需要从以下儿个方面把握：一、定义：事件a理解为基本事件空间的某一子区域a, a的概率只与子区域a的几何度量（长 度、面积或休积）成正比，而与a的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为儿何概型。它也有 两个基本特点：一是一次试验中，基本事件的个数是无限的；二是每一个基本事件发牛:的可能性是 均等的。在几何概型中，事件a的概率定义为：_构成事件a的区域长度（面积或体积）（苴中u试验的全部结果所构成的区

2、域长度（面积或体积）氏'/为区域0的几何度量，“4为了区域a的几何度量）。用几何概率公式计算概率时，关键是构造岀 随机事件所对应的儿何图形，并对儿何图形进行相应的儿何度虽。对于一些简单的儿何概型问题， 可以快捷的找到解决办法.二、与长度冇关的几何概型例1.有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3米，则符合要求的 截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截，这 是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题。42解：记两段木棍都不小于3米为事件a,贝ijp（a）= = -o105例2：某人欲从某车站乘车出差，已知该站发

3、往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不 多于10分钟的概率。分析：假设他在060分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有 无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发牛的概率。可以通过儿何概型的求概率公式得 到事件发生的概率.因为客车每小时一班，他在0到60分钟z间任何一个吋刻到站等车是等可能的, 所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度冇关，而与该时间段的位置无关，这符合 几何概型的条件。解：设a=等待的时间不多于10分钟,我们所关心的事件a恰好是到站等车的时刻位于50, 60这一时间段内，因此由儿何概型的概率公式，得p（a）= 60-50二丄 即此人

4、等车时间不多于1060 6分钟的概率为丄。6口三、与面积有关的儿何概型例1：-海豚在水池中自由游弋,水池为长30米，宽20米的长方形。求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2米的概率。解：p(a)=丛二30x20-26x1618423 八"30x2060075例2：如图，以正方形abcd的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣。现在向该矩形区域内随 机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率。解：飞镖落在正方形区域内的机会是均等的，符合儿何概型条件。记飞镖落在花瓣内为事件a,设正方形边长为2“则"纭如宀4-(巧一 20o所以，飞镖落在花瓣内的概率为兰二2。2 丿dc四、与角度有关的儿何概型例1.

5、等腰rtaabc中,zc=90°,在直角边bc上任取一点m,求zcam<30°的概率。2. 等腰rtaabc中,zc=90°,在zcab内作射线交线段bc于点m,求zcam<30°的概率。cc分析：此题组中的两个问题，很显然都是几何概型的问题，但是考察的测度不一样。问题1的 r/?测度定性为线段长度，当zcamo=30°时，cm()= ac = cb,合条件的点m等可能的分布在线 33段cm。上，所以所求概率等于= o而问题2的测度定性为角度，过点a作射线与线段cb cb 3/cam?相交,这样的射线有无数条，均匀分布在内sb北所以

6、所求概率等于之訂汁丁五、与体积有关的儿何概型例1.在500ml的水中有一个草履虫，现从屮随机収出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率？分析：草履虫在这500毫升水中的分布町以看作是随机的，取得的2毫升水样可视作构成事件的区域，500毫升水可视作试验的所冇结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。解：取出2毫升水样，其屮“含有草履虫”这一事件记为a,贝up(a)=丛二=0.004 o“°500例2.已知正方体abcdabgdi内有一个内切球0,则在正方体abcdabcd内任取点m,求点m在球0内的概率？解：设正方体的边长为2a,则p(a) =六、科学设计变量，数形结合解决

7、问题例1两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求两人能够会面的概率。解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟。用（x,y）表示每次试验的结果, 则所有可能结果为: =（y）|0<x< 60,0<y<60）.记两人能够会面为事件a,则事件a的可能结果为:4= （x, y）y-x< 20,0 <x< 60,0 <y < 60如图所示，试验全部结果构成区域q为正方形abcdc而事件a所构成区域是正方形内两条直 y-x = 2x-y = 20,所夹中间的阴影部分。根据儿何概型公式，得到:6039所以，两人

8、能够会面的概率为右例2.条直线型街道的a、b两盏路灯z间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意 安装两盏路灯c、d,顺序为a、c、d、bo问a与c、b与d之间的距离都不小于40米的概率是多 少？解：（1）构设变量。设a与c、b与d之间的距离分别为x米、y米。（2）集合表示。用q表示每次试验的结果，则所有可能结果为： = （2；y）|0 <x+y <120,x>0,y>0记a与c、b与d之间的距离都不小于40米为事件a,则事件a的可能结果为x=（x,y）|x>40,y>40,0 <x + y <120）o（3）作出区域，如图所示，试验全部结

9、果构成区域q为直线与两坐标轴所围成的aabc,而（4）计算求解.根据几何概型公式，得到:事件a所构成区域是三条直线，兀+ y = 20, x = 40 y = 40所夹中间的阴影部分。40a-j-x1201 ° 2所以，a与c、13与d之间的距离都不小于40米的概率为丄。9例3：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6： 307： 30 z间把报纸送到你家，而你 父亲离开家去工作的时间在早上7： 008： 00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件a） 的概率是多少。分析：1、这是一个儿何概型的例子，可以用儿何概空的公式來解决。2、设送报人到家的吋间为x,父亲离开家的吋间为y。

10、3、事件a发生的条件：xwy4、建立坐标系，试验的金部结果构成的区域q = （xy）6 5wxw7. 5, 7wyw8,这是一个正方形区域，面积二1。5、条件a构成的区域a=(x, y) | yx, 6. 5wxw7 5, 7wyw8,1111 x x p(a)=-1x18儿何概型并不是研究与儿何有关的概率模型，儿何概型与儿何没有直接的关系，而是实际牛活 中的某些问题我们可以通过儿何图形去合理的描述，然后用儿何知识解决这个问题，所以把它称为 几何概型。因此很多少实际生活有关的概率问题，只要满足几何概型的两个特点，将古典概型屮的 有限性推广到无限性，而保留等可能性,都可以用几何概型去刻画,新课程的实施,进一步要求我 们，在高中数学教学中重视并帮助学生对知