放缩法在数列求和中的基本策略（精）

1、“放缩法”在数列求和中的基本策放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项” 而使不等式各项z和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积 式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。所谓放缩的技巧：即欲证a<b,欲寻找一个（或多个）中间变量c,使a<c<b, 由a到c叫做“放”，由b到c叫做“缩”。常用的放缩技巧有：（1）若t>o,a + t>a,a-t<a,（2vn-1 <vn, 2>/n >vn 4-vn-l,7n + l - 1 >vn -1,n(n -1) n -1

2、1 - (n > l),2(vn 4-1 - vn) n1 1 二 1 = 1 w /n(n + 1) >= n(n > 0), n n + 1 n(n + 1) n2 iv 厂-厂=j= < 2(vn - vn -1).vn + vn +1 vn + vn vn1+丄+丄+2!3!若1,11<1 + - + +n! 2221+戸1+丄 + 丄 + . +丄 <1 + (1丄)+ (丄一丄) + + ( _丄)=2-丄2232n2223n-1 n n丄+丄+丄n 4-1 n + 22n n +1+丄+丄=亠vln + 1n + 1 n + 1丄+丄+丄

3、9;n +1 n + 22n111 n 1-j . ,.,- 2n 2n2n 2n 21+a+a+a 宀a/2 v3 vn vn vn11 n f41产= = vnvn v n竺竺v 11 vo注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若a>b,bc,c>d,则ad。2、 使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一 般用于两边差别较人的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等 式证明中局部放缩。1、添加或舍弃一些正项（或负项）n 1 a. a. a. /“、2 3 勺色+1证明：5 =务+1_ 2a -1 _ 1 1 _ 1

4、 1 、1 1 1_2a+,-l _2 2(231) 2 3.2*+2*-2一2 3 2k ' 一 '，宀例1、已知色=2"求证:5丄-2 3 2 22，丄 < 鱼+ + . +竺2 3色+1 2若多项式屮加上一些正的值，多项式的值变人，多项式屮加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小, 利用不等式的传递性，达到证明的冃的。木题在放缩时就舍去了 2"-2,从而是使和式得 到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2、函数 f (x) =1 + *求证:/ ( 1 ) 4/(2) + 廿

5、(7?)-(77g/v*).2证明：由心）二 上1=11一一1 + 41 + 4"22"+ +22"得f(1)寸(2) +4/s) >1一一 +1一一!-2-21 2-221 z1 1 1 1、 1 1 z=n (1 + + + + ) = n +(h e n )1 < l(n g n)424 2心2"+25丄+ 例3 (1999年湖南省理16)求证：2 n + 1 n + 2 2n111111n 1+ n+ =9 证明：因为 n + l n + 2n + n n + n n + n n + n n + n 2 又111111 n ,n +

6、l n + 2 n + n n n n n所以原不等式成立。1 h1例 4 求证： 1 x21x2x3 ix2x3xxn证明：因为左边g +丄 + 丄+ +1x22x3占十（t）+g弓理弓+ + + + + vl(nwn)例5求证2!3!4! n!1 1 11=<=,证明：因为k! ix2x3xxk ix2x2xx2 2k 1所以左边1 1 12 + 22 + 231n-l此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征，先将分了变为常数，再对分母进 行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使具屮之 变为常量,分式的放缩対于分子分母均取正值的分式。如需放大，则

7、只要把分子放大或分母缩小即叭 如需缩小，贝帜要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例6、己知an=n ,求证：£<3.n 、k n n证明：e牛工亠<1 +刀i| lk" a；丽 "寸伙一1）心+1）fl1+工k=2血_i）伙+i）火+1)证明火！ <lx 21x x 2_ 12-1(k > 2 ). 1+ i2 +-h +罷< 1+ i2 + 1 + 2 21i12 n 1=1_ q1< 3-4 2 n 1n =i + £ k=2帚祜t <2+t<3-例7、求证屮+抽卄y<

8、3木题观察数列的构成规律，采川通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。例8求证证明 丄匕 _ _1丄 «2、k伙-1） r-l k 1+（古+”+）<1+±+（开9+（計9+（古-+） =1+古+（d< 4本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达冃标.4、放大或缩小“因式”；i口1例8、已知数列血满足+1=,0<<-,求证：为（务一1）务+2 v石.z*=1'厶1+2证明 t 0 v d 5 ,a”+ = ,。3 * * * 当p 1 时,0 < ctk+2 5 偽，2-41616&quo

9、t;1 n|；工（ 一+1）色+2 § 工 一+1）= ；7（°1 一色+i）<石 k=1° 人=11°本题通过对因式绞+2放大，而得到一个容易求和的式子£（务-务+| ），最终得出证明. k=l5、逐项放大或缩小例 9、设=v1 + v23+v34+- + 7h(h4-1) w :川“ 5 <(；7 + 1)tt 2/2 4-1i =1 2证明：/n(n + 1) >= n yjn(n +1) < j(m + )：772/2 +1二 <j/2( + l)v2 c c1 + 3 + + (2斤 +1)二 1 + 2

10、 + 3 + + 兀 < ci n <本题利用x如+ 1） <岂也,对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例1。、求证:存*+*+冷1 1证明:v1+ +丄丄）+（丄一丄）v?222 3n- n 4 in 4此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根 据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。以上介绍了用“放缩法"证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，冇时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，町以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得 不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法吋，如何确定放