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1、“放缩法”在数列求和中的基本策放缩法:为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正(负)项” 而使不等式各项z和变小(大),或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”,或“在乘积 式中用较大(较小)因式代替”等效法,而达到其证题目的。所谓放缩的技巧:即欲证a<b,欲寻找一个(或多个)中间变量c,使a<c<b, 由a到c叫做“放”,由b到c叫做“缩”。常用的放缩技巧有:(1)若t>o,a + t>a,a-t<a,(2vn-1 <vn, 2>/n >vn 4-vn-l,7n + l - 1 >vn -1,n(n -1) n -1
2、1 - (n > l),2(vn 4-1 - vn) n1 1 二 1 = 1 w /n(n + 1) >= n(n > 0), n n + 1 n(n + 1) n2 iv 厂-厂=j= < 2(vn - vn -1).vn + vn +1 vn + vn vn1+丄+丄+2!3!若1,11<1 + - + +n! 2221+戸1+丄 + 丄 + . +丄 <1 + (1丄)+ (丄一丄) + + ( _丄)=2-丄2232n2223n-1 n n丄+丄+丄n 4-1 n + 22n n +1+丄+丄=亠vln + 1n + 1 n + 1丄+丄+丄
3、9;n +1 n + 22n111 n 1-j . ,.,- 2n 2n2n 2n 21+a+a+a 宀a/2 v3 vn vn vn11 n f41产= = vnvn v n竺竺v 11 vo注:1、放缩法的理论依据,是不等式的传递性,即若a>b,bc,c>d,则ad。2、 使用放缩法时,“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形,一 般用于两边差别较人的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”,都是用于不等 式证明中局部放缩。1、添加或舍弃一些正项(或负项)n 1 a. a. a. /“、2 3 勺色+1证明:5 =务+1_ 2a -1 _ 1 1 _ 1
4、 1 、1 1 1_2a+,-l _2 2(231) 2 3.2*+2*-2一2 3 2k ' 一 ',宀例1、已知色=2"求证:5丄-2 3 2 22,丄 < 鱼+ + . +竺2 3色+1 2若多项式屮加上一些正的值,多项式的值变人,多项式屮加上一些负的值,多项式的 值变小。由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小, 利用不等式的传递性,达到证明的冃的。木题在放缩时就舍去了 2"-2,从而是使和式得 到化简.2、先放缩再求和(或先求和再放缩)例 2、函数 f (x) =1 + *求证:/ ( 1 ) 4/(2) + 廿
5、(7?)-(77g/v*).2证明:由心)二 上1=11一一1 + 41 + 4"22"+ +22"得f(1)寸(2) +4/s) >1一一 +1一一!-2-21 2-221 z1 1 1 1、 1 1 z=n (1 + + + + ) = n +(h e n )1 < l(n g n)424 2心2"+25丄+ 例3 (1999年湖南省理16)求证:2 n + 1 n + 2 2n111111n 1+ n+ =9 证明:因为 n + l n + 2n + n n + n n + n n + n n + n 2 又111111 n ,n +
6、l n + 2 n + n n n n n所以原不等式成立。1 h1例 4 求证: 1 x21x2x3 ix2x3xxn证明:因为左边g +丄 + 丄+ +1x22x3占十(t)+g弓理弓+ + + + + vl(nwn)例5求证2!3!4! n!1 1 11=<=,证明:因为k! ix2x3xxk ix2x2xx2 2k 1所以左边1 1 12 + 22 + 231n-l此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分了变为常数,再对分母进 行放缩,从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使具屮之 变为常量,分式的放缩対于分子分母均取正值的分式。如需放大,则
7、只要把分子放大或分母缩小即叭 如需缩小,贝帜要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩,后裂项(或先裂项再放缩)例6、己知an=n ,求证:£<3.n 、k n n证明:e牛工亠<1 +刀i| lk" a;丽 "寸伙一1)心+1)fl1+工k=2血_i)伙+i)火+1)证明火! <lx 21x x 2_ 12-1(k > 2 ). 1+ i2 +-h +罷< 1+ i2 + 1 + 2 21i12 n 1=1_ q1< 3-4 2 n 1n =i + £ k=2帚祜t <2+t<3-例7、求证屮+抽卄y<
8、3木题观察数列的构成规律,采川通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列,从而达到简化证题的目的。例8求证证明 丄匕 _ _1丄 «2、k伙-1) r-l k 1+(古+”+)<1+±+(开9+(計9+(古-+) =1+古+(d< 4本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达冃标.4、放大或缩小“因式”;i口1例8、已知数列血满足+1=,0<<-,求证:为(务一1)务+2 v石.z*=1'厶1+2证明 t 0 v d 5 ,a”+ = ,。3 * * * 当p 1 时,0 < ctk+2 5 偽,2-41616&quo
9、t;1 n|;工( 一+1)色+2 § 工 一+1)= ;7(°1 一色+i)<石 k=1° 人=11°本题通过对因式绞+2放大,而得到一个容易求和的式子£(务-务+| ),最终得出证明. k=l5、逐项放大或缩小例 9、设=v1 + v23+v34+- + 7h(h4-1) w :川“ 5 <(;7 + 1)tt 2/2 4-1i =1 2证明:/n(n + 1) >= n yjn(n +1) < j(m + ):772/2 +1二 <j/2( + l)v2 c c1 + 3 + + (2斤 +1)二 1 + 2
10、 + 3 + + 兀 < ci n <本题利用x如+ 1) <岂也,对中每项都进行了放缩,从而得到可以求和的数列,达到化简的目的。6、固定一部分项,放缩另外的项;例1。、求证:存*+*+冷1 1证明:v1+ +丄丄)+(丄一丄)v?222 3n- n 4 in 4此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根 据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。以上介绍了用“放缩法"证明不等式的几种常用策略,解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法,冇时还需要几种方法融为一体。在证明过程中,适当地进行放缩,町以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握,常常出现放缩后得 不出结论或得到相反的现象。因此,使用放缩法吋,如何确定放
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